Консервативные силы.
Если в каждой точке пространства на помещенную туда частицу действует сила, то говорят, что частица находится в поле сил. Так, например, частица может находиться в поле сил тяжести, в поле упругих сил, в поле сил сопротивления (в потоке жидкости, газа) и т. д.

Рис. 4.5
Pис. 4.6

Поле, остающееся постоянным во времени, называют стационарным. Стационарное поле в одной системе отсчета может оказаться нестационарным в другой системе отсчета. В стационарном силовом поле сила, действующая на частицу, зависит только от ее положения.

Работа, которую совершают силы поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 , зависит, вообще говоря, от пути между этими точками. Вместе с тем имеются стационарные силовые поля, в которых работа, совершаемая над частицей силами поля, не зависит от пути между точками 1 и 2. Силы, обладающие таким свойством, называют кон серв ативным

Это свойство консервативных сил можно сформулировать и иначе: силы поля являются консервативными, если в стационарном слу. чае их работа на любом замкнутом пути равна нулю. Чтобы убедиться в этом, разобьем произвольный замкнутый контур на двө части: $1 \alpha 2$ и $2 b 1$ (рис. 4.5). Тогда работа $A$ на замкнутом пути
\[
A=A_{1 a 2}+A_{2 b 1} \text {. }
\]

Нетрудно сообразить, что $A_{2 b 1}=-A_{1,2}$, поэтому
\[
A=A_{1 a 2}-A_{1 b 2} .
\]

А так как в нашем случае работа не зависит от пути, т. е. $A_{1 a 2}=$ $=A_{1,2}$, то в результате и оказывается, что работа на произвольном замкнутом пути деїствительно равна нулю: $A=0$.

Все силы, не являющиеся консервативными, называют неконсервативными. К числу неконсервативных сил относятся, например, силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит, вообще говоря, от пути между начальным и конечным положениями частицы (и не равна нулю на любом замкнутом пути).

Поле центральных сил.
Всякое силовое поле вызывается действием определенных тел. Сила, действующая на частицу $M$ в таком поле, обусловлена взаимодействием этой частицы с данными телами. Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные по прямой, проходящей через эти частицы, называют центральным и. Примером последних являются силы гравитационные, кулоновские и упругие.

Центральную силу, действующую на частицу $M$ со стороны частицы $O$, можно представить в таком виде:
\[
\mathbf{F}=f(r) \mathbf{e}_{r},
\]

где $f(r)$ – функция, зависящая при данном характере взаимодействия только от $r$ – расстояния между частицами; $\mathbf{e}_{r}$ – единичный вектор, задающий направление радиуса-вектора частицы $M$ относительно частицы $O$ (рис. 4.6).

Оказывается, центральные силы являются консервативными. Для доказательства этого утверждения найдем сначала работу центральной силы в случае, когда силовое поле вызвано наличием одной неподвижной частицы $O$. Элементарная работа силы (4.8) на перемещении $\mathrm{d} \mathbf{r}$ есть $\delta A=\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=f(r) \mathbf{e}_{r} \mathrm{~d} \mathbf{r}$. Так как $\mathbf{e}_{r} \mathrm{~d} \mathbf{r}=\mathrm{d} r-$ проекция вектора dr на вектор $\mathrm{e}_{r}$ или на соответствующий радиусвектор $\mathrm{r}$ (см. рис. 4.4), то $\delta A=f(r) \mathrm{d} r$. Работа же этой силы на произвольном пути от точки 1 до точки 2
\[
A_{12}=\int_{1}^{2} f(r) \mathrm{d} r .
\]

Полученное выражение зависит только от вида функции $f(r)$, т. е. от характера взаимодействия, и от значений $r_{1}$ и $r_{2}$ – начального и конечного расстояний между частицами $M$ и $O$. От пути оно никак не зависит.

Обобщим полученный результат на стационарное силовое поле, вызванное наличием совокупности неподвиж-

ных частиц, действующих на частицу $M$ с силами $\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}$, …, каждая из которых является центральной. В этом случае работа результирующей силы при перемещении частицы $M$ из одной точки в другую равна алгебраической сумме работ отдельных сил. А так как работа каждой из этих сил не зависит от пути, то и работа результирующей силы также не зависит от пути.

Вывод: поскольку центральные силы обладают таким свойством, они являются консервативными.

Потенциальная энергия частицы в поле.
То обстоятельство, что работа консервативных сил в случае стационарного поля зависит только от начального и конечного положений частицы, дает возможность ввести чрезвычайно важное понятие потенциальной энергии.

Представим себе стационарное поле консервативных сил, в котором мы перемещаем частицу из Рис. 4.7 разных точек $P_{i}$ в некоторую фиксированную точку $O$. Так как работа сил поля не зависит от пути, то остается зависимость ее только от положения точки $P$ (при фиксированной точке $O$ ). А это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиуса-вектора $\mathbf{r}$ точки $P$. Обозначив эту функцию $U(\mathbf{r})$, запишем
\[
A_{P O}=\int_{P}^{o} \mathrm{~F} \mathrm{~d} \mathbf{r}=U(\mathbf{r}) .
\]

Функцию $U(\mathbf{r})$ называют потенци альной энергие й частицы в данном поле.

Найдем работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (рис. 4.7). Так как работа не зависит от пути, выберем путь, проходящий через точку $O$. Тогда работа на пути 102 может быть представлена в виде
\[
A_{12}=A_{10}+A_{O 2}=A_{10}-A_{2 O},
\]

или с учетом (4.9)

Выражение, стоящее справа, есть убыль * потенциальной энергии, т. е. разность значений потенциальной энергии частицы в начальной и конечной точках пути.

Таким образом, работа сил поля на пути 1-2 равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле.

Очевидно, частице, находящейся в точке $O$ поля, всегда можно приписать любое наперед выбранное значение потенциальной энергии. Это соответствует тому обстоятельству, что работа сил поля определяет лишь разность потенциальных энергий в двух точках, но не их абсолютное значение. Однако как только фиксирована потенциальная энергия в какой-либо точке, значения ее во всех остальных точках поля однозначно определяются формулой (4.10).

Формула (4.10) дает возможность найти выражение $U(\mathbf{r})$ для любого стационарного поля консервативных сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между двумя точками, и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия $U(\mathbf{r})$.

Именно так и было сделано при вычислении работы в полях упругой и гравитационной (кулоновской) сил, а также в однородном поле сил тяжести [см. формулы (4.3)-(4.5)]. Из этих формул сразу видно, что потенциальная энергия частицы в данных силовых полях имеет следующий вид:

1) в поле упругой силы
\[
U(r)=x r^{2} / 2
\]
2) в гравитационном (кулоновском) поле материальной точки
\[
U(r)=\alpha / r
\]
* Изменение какой-либо величины $X$ можно характеризовать либо ее приращением, либо убылью. Приращением величины $X$ называют разность конечного $\left(X_{2}\right)$ и начального $\left(X_{1}\right)$ значений этой величины:
\[
\text { приращение } \quad \Delta X=X_{2}-X_{1} \text {. }
\]

Убылью величины $X$ называют разность ее начального $\left(X_{1}\right)$ и конечного $\left(X_{2}\right)$ значений:
\[
\text { убыль } X_{1}-X_{2}=-\Delta X,
\]
т. е. убыль величины $X$ равна ее приращению, взятому с обратным знаком.

Приращение и убыль- величины алгебраические: если, например, $X_{2}<X_{1}$, то прираденне отридательно, а убыль положительна.

3) в однородном поле сил тяжести
\[
U(z)=m g z .
\]

Еще раз подчеркнем, что потенциальная энергия $U$ функция, которая определяется с точностью до прибавления некоторой произвольной постоянной. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно, ибо во все формулы входит только разность значений $U$ в двух положениях частицы. Поэтому произвольная постоянная, одинаковая для всех точек поля, выпадает. В связи с этим ее обычно опускают, что и сделано в трех предыдущих выражениях.

И еще одно важное обстоятельство. Потенциальную энергию следует относить не к частице, а к системе взаимодействующих между собой частицы и тел, вызывающих силовое поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия взаимодействия частицы с данными телами зависит только от положения частицы относительно этих тел.

Потенциальная энергия и сила поля.
Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описывать двумя способами: с помощью сил или с помощью потенциальной энергии. В ньютоновской механике оба способа используют одинаково широко. Однако первый способ обладает несколько большей общностью, ибо он применим и к таким силам, для которых нельзя ввести потенциальную энергию (например, к силам трения). Второй же способ применим только в случае консервативных сил.

Наша задача – установить связь между потенциальной энергией и силой поля, точнее, определить поле сил $\mathbf{F}(\mathbf{r})$ по заданной потенциальной энергии $U(\mathbf{r})$ как функции положения частицы в поле.

Мы уже знаем, что при перемещении частицы из одной точки стационарного поля консервативных сил в другую работа, которую производят силы поля, может быть представлена как уб ыль потенциальной энергии частицы, т. е. $A_{12}=U_{1}-U_{2}=-\Delta U$. Это относится и к элементарному перемещению $\mathrm{dr}$, а именно: $\delta A=-\mathrm{d} U$, или
\[
\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=-\mathrm{d} U \text {. }
\]

Имея в виду, что $\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=F_{s} \mathrm{~d} s$, где $\mathrm{d} s=|\mathrm{d} \mathbf{r}|$ – элементарный путь, $F_{s}$ – проекция вектора $\mathbf{F}$ на перемецение $\mathrm{dr}$, перепишем уравнение (4.14) в форме
\[
F_{s} \mathrm{~d} s=-\mathrm{d} U
\]

где – $\mathrm{d} U$ есть убыль потенциальной энергии в направлении перемещения dr. Отсюда
\[
F_{s}=-\partial U / \partial s,
\]
т. е. проекция силы поля – вектора $\mathbf{F}$ – в данной точке на направление перемещения $\mathrm{dr}$ равна с обратным знаком производной потенциальной энергии $U$ по данному направлению. Символ $\partial / \partial s$ – частной производной – подчеркивает, что производная берется по определенному направлению.

Перемецение dr можно взять в любом направлении, в частности вдоль координатных осей $x, y, z$. Если перемещение $\mathrm{dr}$, например, параллельно оси $x$, то его можно представить так: $\mathbf{d r}=\mathbf{i d} x$, где $\mathbf{i}$ – орт оси $x, \mathrm{~d} x$ – приращение координаты $x$. Тогда работа силы $\mathbf{F}$ на перемещении $\mathrm{dr}$, параллельном оси $x$,
\[
\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=\mathbf{F i} \mathrm{d} x=F_{x} \mathrm{~d} x,
\]

где $F_{x}$ – проекция вектора $\mathbf{F}$ на орт $\mathbf{i}$ (а не на перемещение $\mathrm{dr}$, как в случае $F_{s}$ ).

Подставив последнее выражение в уравнение (4.14), получим
\[
F_{x}=-\partial U / \partial x,
\]

где символ частной производной означает, что $U(x, y, z)$ при дифференцировании должна рассматриваться как функция одного аргумента $x$, остальные же аргументы должны оставаться при этом постоянными. Ясно, что для проекций $F_{y}$ и $F_{z}$ уравнения будут аналогичны уравнению для $F_{x}$.

Итак, взяв с обратными знаками частные производные функции $U$ по $x, y$ и $z$, мы найдем проекции $F_{x}, F_{y}$ и $F_{z}$ вектора $\mathbf{F}$ на орты $\mathbf{i}, \mathbf{j}$ и $\mathbf{k}$. Отсюда легко найти и сам вектор: $\mathbf{F}=F_{x} \mathbf{i}+F_{y} \mathbf{j}+F_{z} \mathbf{k}$, или
\[
\mathbf{F}=-\left(\frac{\partial U}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial U}{\partial y} \mathbf{j}+\frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{z}} \mathbf{k}\right) .
\]

Величину, стоящую в скобках, называют градиентом скалярной функции $U$ и обозначают $\operatorname{grad} U$ или $
abla U$. Мы будем пользоваться вторым, более удобным, обозначением, где $
abla$ («набла») означает символический вектор или оператор
\[

abla=\mathbf{i} \frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j} \frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k} \frac{\partial}{\partial z} .
\]

Поэтому $abla U$ формально можно рассматривать как произведение символического вектора $\boldsymbol{
abla}$ на скаляр $U$.

Таким образом, связь между силой поля и потенциальной энергией как функцией координат можно представить в следующем компактном виде:
т. е. сила поля $\mathbf{F}$ равна со знаком минус градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке поля. Последняя формула дает возможность, зная функцию $U(\mathbf{r})$, восстановить поле сил $\mathbf{F}(\mathbf{r})$.

Пример.
Потенциальная энергия пастицы в некотором поле пмеет вид:
a) $U(x, y)=-\alpha x y$, где $\alpha$ – постоянная; ки поля.
Найдем соответствующее каждому случаю поле сил:
а) $\mathbf{F}=-\left(\frac{\partial U}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial U}{\partial y} \mathbf{j}\right)=a(y \mathbf{i}+x \mathbf{j})$;
б) представим функцию $U$ в виде $U=a_{x} x+a_{y} y+a_{z} z$; тогда
\[
\mathbf{F}=-\left(\frac{\partial U}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial U}{\partial y} \mathbf{j}+\frac{\partial U}{\partial z} \mathbf{k}\right)=-\left(a_{x} \mathbf{i}+a_{y} \mathbf{j}+a_{z} \mathbf{k}\right)=-\mathbf{a} .
\]

Смысл градиента станет нагляднее и яснее, если ввести понятие эквипотенциальной поверхности поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия $U$ имеет одно и то же значение. Ясно, что каждому значению $U$ соответствует своя эквипотенциальная поверхность.

Из формулы (4.15) следует, что проекция вектора $\mathbf{F}$ на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. Это значит, что вектор $\mathbf{F}$ нормален эквинотенциальной поверхности в данной точке. Далее, возьмем перемещение $\partial s$ по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения $U$, тогда $\partial U<0$ и, согласно (4.15), $F_{s}>0$, т. е. вектор $\mathbf{F}$ направлен в сторону уменьшения $U$. А так как $\mathbf{F}$ противоположен по направлению вектору $
abla U$, то мы приходим к выводу, что градиент $U$-это вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциальной энергии $U$.

Сказанное поясняет рис. 4.8 , относящийся к двумерному случаю. На нем изображены система эквипотенциалей ( $U_{1}<U_{2}<U_{3}<U_{4}$ ), а также градиент потенциальной

энергии \” $
abla U$ и соответствующий вектор силы $\mathbf{F}$ в точке $A$ поля. Полезно подумать, какими будут векторы этих двух величин, например, в точке $B$ данного поля.

В заключение заметим, что можно говорить о градиенте не только функции $U$, но и любой другой скалярной функции координат. Понятие градиента широко используется в самых различных разделах физики.

Понятие поля.
Опыт показывает, что в случае гравитационных и электростатических взаимодействий сила $\mathbf{F}$, действующая на интересующую нас частицу со стороны окружающих тел, пропорциональна массе (или заряду) частицы, причем сила $\mathbf{F}$ может быть представлена в виде произведения двух величин, например в случае тяготения
\[
\mathbf{F}=m \mathbf{G},
\]

Рис. 4.8
где $m$ – масса частицы, $\mathbf{G}$ – некоторый вектор, зависящий как от положения частицы, так и от

свойств окружающих тел.
Это открывает возможность иной физической интерпретации взаимодействия, связанной с понятием поля. А именно: говорят, что интересующая нас частица находится в поле, создаваемом окружающими ее телами и характеризуемом вектором $\mathbf{G}(\mathbf{r})$. Или, иначе, считают, что в каждой точке пространства вокруг этих тел (источников поля) создаются гакие условия (вектор G), при которых частица, помещенная в эти точки, испытывает действие силы (4.19), причем считают, что поле, характеризуемое $\mathbf{G}(\mathbf{r})$, существует безотносительно к тому, есть в нем частица или нет*.

Вектор $\mathbf{G}$ называют напряженностью поля. Заметим, что напряженность электрического поля обозначают вектором $\mathbf{E}$, а сила $\mathbf{F}$, действующая на точечный заряд $q$ в электростатическом поле, имеет вид, аналогичный (4.19), т. е. $\mathbf{F}=q \mathbf{E}$.

Далее в этом параграфе почти всюду мы будем пользоваться величинами $m$ и $\mathbf{G}$, т. е. рассматривать гравита-

ционное поле. Чтобы получить соответствующие соотношения для электростатического поля, достаточно заменить в формулах $m$ и $\mathbf{G}$ на $q$ и $\mathbf{E}$.

Одно из важнейших свойств полей заключается в том, что поле, образованное несколькими источниками, равно сумме полей, созданных каждым из них. Точнее, напряженность $\mathbf{G}$ результирующего поля в произвольной точке
\[
\mathbf{G}=\Sigma \mathbf{G}_{i}
\]

где $\mathbf{G}_{i}$ – напряженность поля $i$-го источника в этой же точке. Эта формула выражает так называемый пр и н ци п суперпозици и (или наложения) полей.

Обратимся к потенциальной энергии частицы. Согласно (4.19), формулу (4.14) можно записать так: $m \mathbf{G} \mathrm{d} \mathbf{r}=$ $=-\mathrm{d} U$. Поделив обе части на $m$ и обозначив отношение $U / m$ через $\varphi$, получим
\[
\mathbf{G} \mathrm{dr}=-\mathrm{d} \varphi,
\]

или
\[
\int_{1}^{2} \mathbf{G} d \mathbf{r}=\varphi_{1}-\varphi_{2} .
\]

Функцию $\varphi(\mathbf{r})$ называют потенциалом поля в точке с радиусом-вектором $\mathbf{r}$.

Формула (4.22) дает возможность найти потенциал любого гравитационного и электростатического поля. Для этого достаточно вычислить интеграл $\int \mathbf{G d r}$ по произвольному пути между точками 1 и 2 и представить затем полученное выражение в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциал $\varphi(\mathbf{r})$. Так, потенциалы гравитационного поля точечной массы $m$ и кулоновского поля точечного заряда $q$ определяются, согласно (4.12), формулами
\[
\varphi_{\mathrm{rp}}=-\gamma m / r, \quad \varphi_{к у л}=k q / r .
\]

Заметим, что потенциал $\varphi$, как и потенциальная энергия, может быть определен только с точностью до некоторой произвольной постоянной, также совершенно несущественной. Поэтому ее обычно опускают.

Итак, поле можно описывать или в векторном виде $\mathbf{G}(\mathbf{r})$, или в скалярном $\varphi(\mathbf{r})$. Оба способа адекватны. Практически же оказывается, что второй способ описания поля (с помощью потенциала $\varphi$ ) в большинстве случаев значительно удобнее, и вот почему.

1. Зная $\varphi(\mathrm{r})$, можно немедленно вычислить потенциальную энергию $U$ и работу сил поля $A$ :
\[
U=m \varphi, \quad A_{12}=m\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) .
\]
2. Вместо трех компонент векторной функции $\mathbf{G}(\mathbf{r})$ проще задавать скалярную функцию $\varphi(\mathbf{r})$.
3. Когда поле создается многими источниками, потенциал $\varphi$ рассчитывать легче, чем вектор $\mathbf{G}$ : потенциалы скаляры, их можно просто складывать, не заботясь о направлении сил. Действительно, согласно (4.20) и (4.21),
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{G d r}=\sum G_{i} \mathrm{~d} \mathbf{r}=-\Sigma \mathrm{d}_{\varphi_{i}}=-\mathrm{d} \Sigma \varphi_{i}=-\mathrm{d} \varphi, \text { т. е. } \\
\varphi(r)=\sum \varphi_{i}(\mathbf{r}),
\end{array}
\]
где $\varphi_{i}$ – потенциал, создаваемый $i$-й частицей в данной точке поля.
4. И наконец, зная функцию $\varphi(r)$, можно легко восстановить поле $\mathbf{G}(\mathbf{r})$ – как
\[
\mathrm{G}=-
abla \varphi .
\]
Эта формула непосредственно следует из (4.18).