Теорема: момент инерции / твердого тела относительно произвольной оси $O$ равен моменту инерции $I_{C}$ этого тела относительно оси $C$, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы $m$ тела на квадрат расстояния $a$ между осями:
\[
I=I_{C}+m a^{2} .
\]

Доказательство. Пусть положение $i$-го элемента твердого тела относительно осей $O$ и $C$ характеризуется векторами $\rho_{i}$ и $\rho_{i}^{\prime}$, а положение оси $C$ относительно оси $O$-вектором а (рис. 5, плоскость которого перпендикулярно осям $O$ и $C$ ). Воспользовавшись связью между этими векторами ( $\rho_{i}=\rho_{i}^{\prime}+\mathbf{a}$ ), преобразуем выражение для момента инерции тела относительно оси $O$ следующим образом:
\[
I=\sum m_{i} \rho_{i}^{2}=\sum m_{i}\left(\rho_{i}^{\prime}+\mathbf{a}\right)^{2},
\]

или
\[
I=\sum m_{i} \rho_{i}^{\prime 2}+2 \mathrm{a} \sum m_{i} \rho_{i}^{\prime}+\sum m_{i} a^{2} .
\]

В правой части этого равенства первая сумма представляет собой момент инерции тела $I_{C}$ относительно оси $C$, а последняя сумма просто равна $m a^{2}$. Остается показать, что средняя сумма равна нулю.

Пусть $\mathbf{r}_{i^{\prime}}$ – радиус-вектор $i$-го элемента тела относительно центра масс, тогда относительно последнего суммарный вектор $\Sigma m_{i} \mathrm{r}_{\mathbf{2}}^{\prime}=$ $=0$, согласно (3.8). Но $\rho_{l}^{\prime}$ – это составляющая вектора $\mathbf{r}_{i^{\prime}}$, перпендикулярная осям $O$ и $C$. Отсюда ясно, что если суммарный вектор равен нулю, то и сумма его составляющих в плоскости, перпендикулярной осям $O$ и $C$, также равна нулю, т. е. $\Sigma m_{i} \rho_{i}^{\prime}=0$. Теорема, таким образом, доказана.