Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу, и др.).
Наша задача: найти уравнение движения такого тела. Рассмотрим решение этого вопроса для материальной точки, называя ее для краткости телом. Пусть в некоторый момент масса движущегося тела равна , а присоединяемое (или отделяемое) вещество имеет скорость и относительно данного тела.
Введем вспомогательную инерциальную -систему отсчета, скорость которой такова же, как и скорость тела в данный момент . Это значит, что в момент тело покоится в -системе.
Пусть далее за промежуток времени от до тело приобретает в -системе импульс . Этот импульс тело получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы , которая приносит (уносит) импульс , и, во-вторых, вследствие действия силы со стороны окружающих тел или силового поля. Таким образом, можно записать, что
где знак плюс соответствует присоединению массы, а знак минус — отделению. Оба эти случая можно объединить, представив в виде приращения массы тела (действительно, в случае присоединения массы , а в случае отделения ). Тогда предыдущее уравнение примет вид
Поделив это выражение на , получим
где — скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.
Это уравнение является основным уравнением динамики точки переменной массы. Его называют уравнением Мещерского. Будучи полученным в одной инерциальной системе отсчета, это уравнение в силу принципа относительности справедливо и в любой другой инерциальной системе. Заметим, что если система отсчета неинерциальна, то под силой следует понимать результирующую как сил взаимодействия данного тела с окружающими телами, так и сил инерции.
Последний член уравнения (3.13) носит название активной силы: . Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если масса присоединяется, то и вектор совпадает по направлению с вектором ; если же масса отделяется, то и вектор противоположен вектору и.
Уравнение Мещерского по своей форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева — произведение массы тела на ускорение, справа — действующие на него силы, включая реактивную силу. Однако в случае переменной массы нельзя внести массу под знак дифференцирования и представить левую часть уравнения как производную по времени от импульса, ибо .
Обратим внимание на два частных случая:
1. Если , т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то и уравнение (3.13) принимает вид
где — масса тела в данный момент времени. Это уравнение определяет, например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок (см. задачу 3.7, II. 1).
2. Если , т. е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (3.13) принимает другой вид: , или
Иначе говоря, в этом частном случае — и только этом действия силы определяет изменение импульса тела с
переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом из неподвижного бункера (см. задачу 3.7, п. 2).
Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского.
Пример. Ракета движется в инерциальной -системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью u. Найдем зависимость скорости ракеты от ее массы , если в момент старта ее масса была равна .
В данном случае и из уравнения (3.13) следует
Проинтегрировав это выражение с учетом начальных условий, получим
где знак минус показывает, что вектор (скорость ракеты) противоположен по направлению вектору и. Отсюда видно, что скорость ракеты в данном случае ( const) не зависит от времени сгорания топлива: определяется только отношением начальной массы ракеты к оставшейся массе .
Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью и относительно ракеты, то скорость последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость , то из закона сохранения импульса для системы ракета — горючее следует
где — скорость горючего относительно данной системы отсчета. Отсюда
Скорость ракеты в этом случае оказывается меньше, лем в предыдущем (при одинаковых значениях отношения ). В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости от в обоих случаях. С ростом в первом случае (когда вещество отделяется непрерывно) скорость ракеты, согласно (1), растет неограниченно, во втором же (когда вещество отделяется одновременно) скорость , согласно (2), стремится к пределу, равному — u.
Задачи
3.1. Частица движется с импульсом под действием силы . Пусть и — постоянные векторы, причем . Полагая, что
1) , где — положительная постоянная, найти вектор в те моменты времени, когда ;
2) и , где вектор, противоположный по направлению вектору , найти вектор в момент , когда он окажется повернутым на по отношению к вектору .
Решение. 1. Сила , т. е. вектор все время перпендикулярен вектору a. Следовательно, вектор будет
перпендикулярен вектору р в те моменты, когда коэффициент при b в выражении для обращается в нуль. Отсюда и . Соответствующие значення вектора равны:
2. Приращение вектора р за промежуток времени есть . Интегрируя это уравнение с учетом начальных условий, находим
где, по условию, противоположен вектору а. Вектор р окажется перпендикулярным вектору в момент , когда . В этот момент .
3.2. Орудие массы соскальзывает по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. В момент, когда скорость орудия оказалась равной , произвели выстрел, в результате которого орудие остановилось. а вылетевший в горизонтальном на-
Рис. 3.6 правлении снаряд «унес» импульс р. Пусть продолжительность выстрела равна . Найти среднее за это время значение силы реакции со стороны наклонной плоскости.
Решение.
Здесь система орудие — снаряд незамкнутая. За время эта система получает приращен\»е импульса, равное . Изменение импульса системы обусловлено действием двух внешних сил: силы реакции (она перпендикулярна наклонной плоскости) и силы тяжести . Поэтому можно написать
где — среднее за время значение вектора . Это соотношение очень полезно представить графически (рис. 3.6). Из данного рисунка сразу видно, что искомое значение модуля определяется формулой
3.3. Закон сохранения импульса. Две тележки, каждая массы , движутся друг за другом по инерции (без трения) с одинаковой скоростью . На задней тележке находится человек массы . В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью и относительно своей тележки. Қакой стала скорость передней тележки?
Решение.
Импульс всей системы в результате того, что человек перепрыгнул из задней (2) тележки в переднюю (1), не изменится поэтому
где и — конечные скорости тележек.
Аналогично запишем баланс импульсов для задней тележки с человеком (до и после перепрыгивания):
где — скорость спрыгнувшего человека относительно полотна дороги.
Из этих двух уравнений следует, что
3.4. На краю покоящейся тележки массы стоят два человека, каждый массы . Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одвой и той же горизонтальной скоростью и относительно тележки: 1) одновременно; 2) друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше и во сколько раз?
Решение. 1. Согласно закону сохранения импульса,
где — скорость тележки, — скорость человека (обе скорости относительно полотна дороги). Отсюда
Рис. 3.7
2. В этом случае необходимо записать
два
уравнения. Қогда спрыгнул один человек, то
где — скорость тележки с оставшимся вторым человеком. Қогда же спрыгнул другой человек, то
где — скорость пустой тележки.
Исключив из последних двух уравнений , найдем
Отношение скорости тележки в случае 2) к скорости в случае 1) равно
3.5. Центр масс. Через блок перекинут шнур, на одном конце которого находится лестница с человеком, а на другом конце — уравновешивающий груз массы (рис. 3.7). Человек, масса которого , совершил вверх перемещение относительно лестницы и остановился. Пренебрегая массами блока и шнура, найти перемещение центра масс этой системы.
Решение. В системе отсчета, связанной с осью блока, положение центра масс данной системы характеризуется радиусом-вектором
где и — радиусы-векторы центров масс уравновешивающего груза, лестницы и человека — все относительно некоторой точки выбранной системы отсчета. Отсюда перемещение центра масс системы
Рис. 3.8
где и — перемещения уравновешивающего груза, лестницы и человека. Имея в виду, что
получим в результате
Таким образом, перемещение центра масс всей системы совпадает по направлению с перемещением человека относительно лестницы, и полученный результат не зависит от характера движения человека.
Замечание. На первый взгляд может показаться, что данная система «замкнута», т. е. результирующая всех внешних сил равна нулю, и центр масс системы не должен переместиться. Однако это не так. Когда человек начинает подниматься, он действует на лестницу с дополнительной силой, направленной вниз. В результате натяжение шнура возрастает и внешняя сила, действующая на систему со стороны подвеса, окажется больше суммарной силы тяжести. Поэтому результирующая всех внешних сил будет направлена вверх — она и обусловливает перемещение вверх центра масс всей системы.
3.6. Ц-система. Две небольшие шайбы, массы которых и , связаны между собой нитью длины и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент скорость одной шайбы равна нулю, а другой — , причем ее направление перпендикулярно нити (рис. 3.8, a). Найти силу натяжения нити в процессе движения.
Решение. Перейдем в систему центра масс-Ц-систему. В этой системе отсчета шайбы движутся по окружностям вокруг
центра масс (рис. 3.8, б), поэтому искомую силу можно найти как
где — скорость шайбы массы — радиус окружности по которой она движется. Подобное выражение можно было бы, конечно, записать и для другой шайбы — это несущественно.
Найдем значения и . В примере на с. 72 было показано, что отношение . Кроме того, . Из этих двух соотношений следует
Далее, скорость . В нашем случае и ). Поэтому модуль вектора
Эта величина в процессе движения остается постоянной.
После подстановки (2) и (3) в (1) получим
3.7. Движение тела переменной массы. Железнодорожная платформа в момент начинает двигаться под действием постоянной силы тяги F. Пренебрегая трением в осях, найти зависимость от времени скорости платформы , если:
1) платформа нагружена песком, который высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью , а в момент масса платформы с песком равна ;
2) на платформу, масса которой , в момент начинает высыпаться песок из неподвижного бункера так, что скорость погрузки постоянна и равна .
Решение. 1. В этом случае реактивная сила равна нулю и уравнение (3.13) имеет вид ( , откуда
Проинтегрировав это уравнение с учетом начальных условий, получим
2. Здесь горизонтальная составляющая реактивной силы (а только эта составляющая нас и интересует) , где скорость платформы. Поэтому уравнение (3.13) приводится к виду (3.15), или
Интегрирование с учетом начальных условий дает
где . Отсюда
Полученные в обоих случаях выражения справедливы, разумеется, лишь в процессе разгрузки (или погрузки) платформы.
3.8. Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте, выбрасывая вертикально вниз струю газа со скоростью ш. Найти:
1) сколько времени ракета сможет оставаться на этой высоте, если начальная масса топлива составляет -ю часть ее массы (без топлива);
2) какую массу газов должна ежесекундно выбрасывать ракета, чтобы оставаться на постоянной высоте, если начальная масса ракеты (с топливом) равна .
Решение. 1. В данном случае и уравнение примет вид
или после разделения переменных
Интегрирование этого уравнения дает
Отсюда
где учтено, что .
2. Из уравнения (1) предыдущего пункта следует, что
где находим из (2): . В результате
По такому закону меняется со временем в течение промежутка времени, найденного в п. 1.
3.9. Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх в однородном поле тяжести. Первоначальная масса ракеты (с топливом) равна . Скорость газовой струи постоянна и равна и относительно ракеты. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость ракеты в зависимости от ее массы и времени подъема .
Решение. Запишем уравнение движения ракеты — уравнение (3.13) — в проекциях на вертикальную ось с положительным направлением вверх:
Перепишем это уравнение так:
откуда
Проинтегрировав с учетом начальных условий последнее уравнение, получим
Искомая скорость ракеты
3.10. Космический корабль массы движется в отсутствие внешнего силового поля с постоянной скоростью . Для изменения направления движения был включен реактивный двигатель, который стал выбрасывать струю газа с постоянной относительно корабля скоростью u, причем вектор и все время перпендикулярен направлению движения корабля. В конце работы двигателя масса корабля стала равной . На какой угол изменилось направление движения корабля за время работы двигателя?
Решение. Найдем приращение вектора скорости корабля за промежуток времени . Умножив обе части уравнения (3.13) на и учитывая, что , получим
Здесь . Так как вектор и все время перпендикулярен вектору (скорости корабля), то модуль вектора не меняется и остается равным своему первоначальному значению: . Отсюда следует, что угол поворота вектора за время определяется как
Проинтегрировав это уравнение, найдем