Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу, и др.).
Наша задача: найти уравнение движения такого тела. Рассмотрим решение этого вопроса для материальной точки, называя ее для краткости телом. Пусть в некоторый момент $t$ масса движущегося тела $A$ равна $m$, а присоединяемое (или отделяемое) вещество имеет скорость и относительно данного тела.

Введем вспомогательную инерциальную $K$-систему отсчета, скорость которой такова же, как и скорость тела $A$ в данный момент $t$. Это значит, что в момент $t$ тело $A$ покоится в $K$-системе.

Пусть далее за промежуток времени от $t$ до $t+\mathrm{d} t$ тело $A$ приобретает в $K$-системе импульс $m \mathrm{dv}$. Этот импульс тело $A$ получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы $\delta m$, которая приносит (уносит) импульс $\delta m \cdot \mathbf{u}$, и, во-вторых, вследствие действия силы $\mathbf{F}$ со стороны окружающих тел или силового поля. Таким образом, можно записать, что
\[
m \mathrm{~d} \mathbf{v}=\mathbf{F} \mathrm{d} t \pm \delta m \cdot \mathbf{u},
\]
где знак плюс соответствует присоединению массы, а знак минус – отделению. Оба эти случая можно объединить, представив $\pm \delta m$ в виде приращения $\mathrm{d} m$ массы тела $A$ (действительно, в случае присоединения массы $\mathrm{d} m=+\delta m$, а в случае отделения $\mathrm{d} m=-\delta m$ ). Тогда предыдущее уравнение примет вид
\[
m \mathrm{~d} \mathbf{v}=\mathbf{F} \mathrm{d} t+\mathrm{d} m \cdot \mathbf{u} .
\]

Поделив это выражение на $\mathrm{d} t$, получим

где $\mathbf{u}$ – скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.

Это уравнение является основным уравнением динамики точки переменной массы. Его называют уравнением Мещерского. Будучи полученным в одной инерциальной системе отсчета, это уравнение в силу принципа относительности справедливо и в любой другой инерциальной системе. Заметим, что если система отсчета неинерциальна, то под силой $\mathbf{F}$ следует понимать результирующую как сил взаимодействия данного тела с окружающими телами, так и сил инерции.

Последний член уравнения (3.13) носит название $\mathrm{pe-}$ активной силы: $\mathbf{R}=(\mathrm{d} m / \mathrm{d} t) \mathbf{u}$. Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если масса присоединяется, то $\mathrm{d} m / \mathrm{d} t>0$ и вектор $\mathbf{R}$ совпадает по направлению с вектором $\mathbf{u}$; если же масса отделяется, то $\mathrm{d} m / \mathrm{d} t<0$ и вектор $\mathbf{R}$ противоположен вектору и.

Уравнение Мещерского по своей форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева – произведение массы тела на ускорение, справа – действующие на него силы, включая реактивную силу. Однако в случае переменной массы нельзя внести массу $m$ под знак дифференцирования и представить левую часть уравнения как производную по времени от импульса, ибо $m \mathrm{~d} \mathbf{v} / \mathrm{d} t
eq \mathrm{d}(m \mathbf{v}) / \mathrm{d} t$.
Обратим внимание на два частных случая:

1. Если $\mathbf{u}=0$, т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то $\mathbf{R}=0$ и уравнение (3.13) принимает вид
\[
m(t) \frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t}=\mathbf{F} ;
\]
где $m(t)$ – масса тела в данный момент времени. Это уравнение определяет, например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок (см. задачу 3.7, II. 1).
2. Если $\mathbf{u}=-\mathbf{v}$, т. е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (3.13) принимает другой вид: $m(\mathrm{~d} \mathbf{v} / \mathrm{d} t)+$ $+(\mathrm{d} m / d t) \mathbf{v}=\mathbf{F}$, или
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(m \mathbf{v})=\mathbf{F} .
\]

Иначе говоря, в этом частном случае – и только этом действия силы $\mathbf{F}$ определяет изменение импульса тела с

переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом из неподвижного бункера (см. задачу 3.7, п. 2).

Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского.

Пример. Ракета движется в инерциальной $К$-системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью u. Найдем зависимость скорости $\mathbf{v}$ ракеты от ее массы $m$, если в момент старта ее масса была равна $m_{0}$.
В данном случае $\mathbf{F}=0$ и из уравнения (3.13) следует
\[
\mathrm{d} \mathbf{v}=\mathbf{u} \mathrm{d} \boldsymbol{m} / \boldsymbol{m} .
\]

Проинтегрировав это выражение с учетом начальных условий, получим
\[
\mathbf{v}=-\mathbf{u} \ln \left(m_{0} / m\right),
\]

где знак минус показывает, что вектор $\mathbf{v}$ (скорость ракеты) противоположен по направлению вектору и. Отсюда видно, что скорость ракеты в данном случае ( $\mathbf{u}=$ const) не зависит от времени сгорания топлива: $\mathbf{v}$ определяется только отношением начальной массы $m_{0}$ ракеты к оставшейся массе $m$.

Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью и относительно ракеты, то скорость последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость $\mathbf{v}$, то из закона сохранения импульса для системы ракета – горючее следует
\[
0=m \mathbf{v}+\left(m_{0}-m\right)(\mathbf{u}+\mathbf{v}),
\]

где $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ – скорость горючего относительно данной системы отсчета. Отсюда
\[
\mathbf{v}=-\mathbf{u}\left(1-m / m_{0}\right) .
\]

Скорость $\mathbf{v}$ ракеты в этом случае оказывается меньше, лем в предыдущем (при одинаковых значениях отношения $m_{0} / m$ ). В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости $\mathbf{v}$ от $m_{0} / m$ в обоих случаях. С ростом $m_{0} / m$ в первом случае (когда вещество отделяется непрерывно) скорость $\mathbf{v}$ ракеты, согласно (1), растет неограниченно, во втором же (когда вещество отделяется одновременно) скорость $\mathbf{v}$, согласно (2), стремится к пределу, равному – u.

Задачи

3.1. Частица движется с импульсом $\mathbf{p}(t)$ под действием силы $\mathbf{F}(t)$. Пусть $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ – постоянные векторы, причем $\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$. Полагая, что
1) $\mathbf{p}(t)=\mathbf{a}+t(1-\alpha t) \mathbf{b}$, где $\alpha$ – положительная постоянная, найти вектор $\mathbf{F}$ в те моменты времени, когда $\mathbf{F} \perp \mathbf{p}$;
2) $\mathbf{F}(t)=\mathbf{a}+2 t \mathbf{b}$ и $\mathbf{p}(0)=\mathbf{p}_{0}$, где $\mathbf{p}_{0}-$ вектор, противоположный по направлению вектору $\mathrm{a}$, найти вектор $\mathrm{p}$ в момент $t_{0}$, когда он окажется повернутым на $90^{\circ}$ по отношению к вектору $\mathbf{p}_{0}$.

Решение. 1. Сила $\mathbf{F}=\mathrm{d} \mathbf{p} / \mathrm{d} t=(1-2 \alpha t) \mathbf{b}$, т. е. вектор $\mathbf{F}$ все время перпендикулярен вектору a. Следовательно, вектор $\mathbf{F}$ будет

перпендикулярен вектору р в те моменты, когда коэффициент при b в выражении для $\mathrm{p}(t)$ обращается в нуль. Отсюда $t_{1}=0$ и $t_{2}=1 / \alpha$. Соответствующие значення вектора $\mathbf{F}$ равны:
\[
\mathbf{F}_{1}=\mathbf{b}, \quad \mathbf{F}_{2}=-\mathbf{b} .
\]
2. Приращение вектора р за промежуток времени $\mathrm{d} t$ есть $\mathrm{dp}=$ $=\mathrm{Fd} t$. Интегрируя это уравнение с учетом начальных условий, находим
\[
\mathbf{p}-\mathbf{p}_{0}=\int_{0}^{t} \mathbf{F} \mathrm{d} t=\mathbf{a} t+\mathbf{b} t^{2},
\]

где, по условию, $\mathrm{p}_{0}$ противоположен вектору а. Вектор р окажется перпендикулярным вектору $\mathrm{p}_{0}$ в момент $t_{0}$, когда $a t_{0}=p_{0}$. В этот момент $\mathrm{p}=\left(p_{0} / a\right)^{2} \mathbf{b}$.

3.2. Орудие массы $m$ соскальзывает по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. В момент, когда скорость орудия оказалась равной $\mathbf{v}$, произвели выстрел, в результате которого орудие остановилось. а вылетевший в горизонтальном на-

Рис. 3.6 правлении снаряд «унес» импульс р. Пусть продолжительность выстрела равна $\tau$. Найти среднее за это время значение силы реакции $\mathbf{R}$ со стороны наклонной плоскости.

Решение.
Здесь система орудие – снаряд незамкнутая. За время $\tau$ эта система получает приращен\”е импульса, равное $\mathbf{p}-m \mathbf{v}$. Изменение импульса системы обусловлено действием двух внешних сил: силы реакции $\mathbf{R}$ (она перпендикулярна наклонной плоскости) и силы тяжести $m \mathrm{~g}$. Поэтому можно написать
\[
\mathbf{p}-\boldsymbol{m} \mathbf{v}=\langle\mathbf{R}\rangle \tau+m^{-} \mathbf{g} \tau,
\]
где $\langle\mathbf{R}\rangle$ – среднее за время $\tau$ значение вектора $\mathbf{R}$. Это соотношение очень полезно представить графически (рис. 3.6). Из данного рисунка сразу видно, что искомое значение модуля $<\mathbf{R}>$ определяется формулой
\[
\langle R\rangle=(p \sin \alpha+m g \tau \cos \alpha) / \tau .
\]

3.3. Закон сохранения импульса. Две тележки, каждая массы $M$, движутся друг за другом по инерции (без трения) с одинаковой скоростью $\mathbf{v}_{0}$. На задней тележке находится человек массы $m$. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью и относительно своей тележки. Қакой стала скорость передней тележки?

Решение.
Импульс всей системы в результате того, что человек перепрыгнул из задней (2) тележки в переднюю (1), не изменится поэтому
\[
(2 M+m) \mathbf{v}_{0}=M \mathbf{v}_{2}^{\prime}+(M+m) \mathbf{v}_{1}^{\prime},
\]

где $\mathbf{v}_{1}{ }^{\prime}$ и $\mathbf{v}_{2}{ }^{\prime}$ – конечные скорости тележек.

Аналогично запишем баланс импульсов для задней тележки с человеком (до и после перепрыгивания):
\[
(M+m) \mathbf{v}_{0}=M \mathbf{v}_{2}^{\prime}+m\left(\mathbf{v}_{2}^{\prime}+\mathbf{u}\right),
\]

где $\mathbf{v}_{2}{ }^{\prime}+\mathbf{u}$ – скорость спрыгнувшего человека относительно полотна дороги.
Из этих двух уравнений следует, что
\[
\mathbf{v}_{1}^{\prime}=\mathbf{v}_{0}+\frac{m M}{(m+M)^{2}} \mathbf{u} .
\]

3.4. На краю покоящейся тележки массы $M$ стоят два человека, каждый массы $m$. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одвой и той же горизонтальной скоростью и относительно тележки: 1) одновременно; 2) друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше и во сколько раз?
Решение. 1. Согласно закону сохранения импульса,
\[
M \mathbf{v}^{\prime}+2 m\left(\mathbf{v}^{\prime}+\mathbf{u}\right)=0,
\]

где $\mathbf{v}^{\prime}$ – скорость тележки, $\mathbf{v}^{\prime}+\mathbf{u}$ – скорость человека (обе скорости относительно полотна дороги). Отсюда
\[
\mathbf{v}^{\prime}=-\frac{2 m}{M+2 m} \mathbf{u} .
\]

Рис. 3.7

2. В этом случае необходимо записать
два
уравнения. Қогда спрыгнул один человек, то
\[
(M+m) \mathbf{v}^{\prime}+m\left(\mathbf{v}^{\prime}+\mathbf{u}\right)=0,
\]

где $\mathbf{v}^{\prime}$ – скорость тележки с оставшимся вторым человеком. Қогда же спрыгнул другой человек, то
\[
(M+m) \mathbf{v}^{\prime}=M \mathbf{v}^{\prime \prime}+m\left(\mathbf{v}^{\prime \prime}+\mathbf{u}\right),
\]

где $\mathbf{v}^{\prime \prime}$ – скорость пустой тележки.
Исключив из последних двух уравнений $\mathbf{v}^{\prime}$, найдем
\[
\mathbf{v}^{\prime \prime}=-\frac{(2 M+3 m) m}{(M+m)(M+2 m)} \mathbf{u} .
\]

Отношение скорости тележки $v^{\prime \prime}$ в случае 2) к скорости $v^{\prime}$ в случае 1) равно
\[
\frac{v^{\prime \prime}}{v^{\prime}}=1+\frac{m}{2(M+m)}>1 .
\]

3.5. Центр масс. Через блок перекинут шнур, на одном конце которого находится лестница с человеком, а на другом конце – уравновешивающий груз массы $M$ (рис. 3.7). Человек, масса которого $m$, совершил вверх перемещение $\Delta r^{\prime}$ относительно лестницы и остановился. Пренебрегая массами блока и шнура, найти перемещение центра масс этой системы.

Решение. В системе отсчета, связанной с осью блока, положение центра масс данной системы характеризуется радиусом-вектором
\[
\mathbf{r}_{C}=\left[M \mathbf{r}_{1}+(M-m) \mathbf{r}_{2}+m \mathbf{r}_{3}\right] / 2 M,
\]

где $r_{1}, r_{2}$ и $r_{3}$ – радиусы-векторы центров масс уравновешивающего груза, лестницы и человека – все относительно некоторой точки $O$ выбранной системы отсчета. Отсюда перемещение $\Delta \mathbf{r}_{c}$ центра масс системы
\[
\Delta \mathbf{r}_{C}=\left[M \Delta \mathbf{r}_{1}+(M-m) \Delta \mathbf{r}_{2}+m \Delta \mathbf{r}_{3}\right] / 2 M,
\]

Рис. 3.8

где $\Delta \mathrm{r}_{1}, \Delta \mathrm{r}_{2}$ и $\Delta \mathrm{r}_{3}$ – перемещения уравновешивающего груза, лестницы и человека. Имея в виду, что
\[
\Delta \mathbf{r}_{1}=-\Delta \mathbf{r}_{2}, \quad \Delta \mathbf{r}_{3}=\Delta \mathbf{r}_{2}+\Delta \mathbf{r}^{\prime},
\]

получим в результате
\[
\Delta \mathbf{r}_{C}=(m / 2 M) \Delta \mathbf{r}^{\prime} .
\]

Таким образом, перемещение центра масс всей системы совпадает по направлению с перемещением человека относительно лестницы, и полученный результат не зависит от характера движения человека.

Замечание. На первый взгляд может показаться, что данная система «замкнута», т. е. результирующая всех внешних сил равна нулю, и центр масс системы не должен переместиться. Однако это не так. Когда человек начинает подниматься, он действует на лестницу с дополнительной силой, направленной вниз. В результате натяжение шнура возрастает и внешняя сила, действующая на систему со стороны подвеса, окажется больше суммарной силы тяжести. Поэтому результирующая всех внешних сил будет направлена вверх – она и обусловливает перемещение вверх центра масс всей системы.

3.6. Ц-система. Две небольшие шайбы, массы которых $m_{1}$ и $m_{2}$, связаны между собой нитью длины $l$ и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент скорость одной шайбы равна нулю, а другой – $v$, причем ее направление перпендикулярно нити (рис. 3.8, a). Найти силу натяжения нити в процессе движения.

Решение. Перейдем в систему центра масс-Ц-систему. В этой системе отсчета шайбы движутся по окружностям вокруг

центра масс $C$ (рис. 3.8, б), поэтому искомую силу можно найти как
\[
F=m_{1} \tilde{v}_{1}^{2} / l_{1},
\]

где $\tilde{v}_{1}$ – скорость шайбы массы $m_{1}, l_{1}$ – радиус окружности по которой она движется. Подобное выражение можно было бы, конечно, записать и для другой шайбы – это несущественно.

Найдем значения $l_{1}$ и $\tilde{v}_{1}$. В примере на с. 72 было показано, что отношение $l_{1} / l_{2}=m_{2} / m_{1}$. Кроме того, $l_{1}+l_{2}=l$. Из этих двух соотношений следует
\[
l_{1}=l m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right) .
\]

Далее, скорость $\tilde{\mathbf{v}}_{1}=\mathbf{v}_{1}-\mathbf{V}_{c}$. В нашем случае $\mathbf{v}_{1}=0$ и $\mathbf{V}_{c}=m_{2} \mathbf{v} / m_{1}+$ $+m_{2}$ ). Поэтому модуль вектора
\[
\tilde{v_{1}}=m_{2} v /\left(m_{1}+m_{2}\right) .
\]

Эта величина в процессе движения остается постоянной.
После подстановки (2) и (3) в (1) получим
\[
F=\mu v^{2} l l, \quad \mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right) .
\]

3.7. Движение тела переменной массы. Железнодорожная платформа в момент $t=0$ начинает двигаться под действием постоянной силы тяги F. Пренебрегая трением в осях, найти зависимость от времени скорости платформы $\mathbf{v}(t)$, если:
1) платформа нагружена песком, который высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью $\mu(к г / \mathrm{c})$, а в момент $t=0$ масса платформы с песком равна $m_{0}$;
2) на платформу, масса которой $m_{0}$, в момент $t=0$ начинает высыпаться песок из неподвижного бункера так, что скорость погрузки постоянна и равна $\mu(\mathrm{\kappa г} / \mathrm{c})$.

Решение. 1. В этом случае реактивная сила равна нулю и уравнение (3.13) имеет вид ( $\left.m_{0}-\mu t\right) \mathrm{d} \mathbf{v} / \mathrm{d} t=\mathbf{F}$, откуда
\[
\mathrm{d} \mathbf{v}=\mathbf{F} \mathrm{d} t /\left(m_{0}-\mu t\right) .
\]

Проинтегрировав это уравнение с учетом начальных условий, получим
\[
\mathbf{v}=\frac{\mathrm{F}}{\mu} \ln \frac{m_{0}}{m_{0}-\mu t} .
\]
2. Здесь горизонтальная составляющая реактивной силы (а только эта составляющая нас и интересует) $\mathbf{R}=\mu(-\mathbf{v})$, где $\mathbf{v}-$ скорость платформы. Поэтому уравнение (3.13) приводится к виду (3.15), или
\[
\mathrm{d}(m \mathrm{v})=\mathbf{F} \mathrm{d} t .
\]

Интегрирование с учетом начальных условий дает
\[
m \mathbf{v}=\mathrm{F} t,
\]

где $m=m_{0}+\mu t$. Отсюда
\[
\mathbf{v}=\mathbf{F} t /\left(m_{0}+\mu t\right) .
\]
Полученные в обоих случаях выражения справедливы, разумеется, лишь в процессе разгрузки (или погрузки) платформы.

3.8. Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте, выбрасывая вертикально вниз струю газа со скоростью ш. Найти:
1) сколько времени ракета сможет оставаться на этой высоте, если начальная масса топлива составляет $\eta$-ю часть ее массы (без топлива);
2) какую массу $\mu(t)$ газов должна ежесекундно выбрасывать ракета, чтобы оставаться на постоянной высоте, если начальная масса ракеты (с топливом) равна $m_{0}$.

Решение. 1. В данном случае $\mathrm{dv} / \mathrm{d} t=0$ и уравнение примет вид
\[
m \mathrm{~g}+(\mathrm{d} m / \mathrm{d} t) \mathbf{u}=0,
\]

или после разделения переменных
\[
\mathrm{d} m / m=-(g / u) \mathrm{d} t .
\]

Интегрирование этого уравнения дает
\[
\ln \left(m / m_{0}\right)=-(g / u) t .
\]

Отсюда
\[
t=(u / g) \ln \left(m_{0} / m\right)=(u / g) \ln (1+\eta),
\]

где учтено, что $\eta=\left(m_{0}-m\right) / m$.
2. Из уравнения (1) предыдущего пункта следует, что
\[
\mu=-\mathrm{d} m / \mathrm{d} t=(\mathrm{g} / u) m,
\]

где $m$ находим из (2): $m=m_{0} \mathrm{e}^{-g t / a}$. В результате
\[
\mu=(g / u) m_{0} \mathrm{e}^{–g t / u} .
\]

По такому закону $\mu$ меняется со временем в течение промежутка времени, найденного в п. 1.

3.9. Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх в однородном поле тяжести. Первоначальная масса ракеты (с топливом) равна $m_{0}$. Скорость газовой струи постоянна и равна и относительно ракеты. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость $v$ ракеты в зависимости от ее массы $m$ и времени подъема $t$.

Решение. Запишем уравнение движения ракеты – уравнение (3.13) – в проекциях на вертикальную ось с положительным направлением вверх:
\[
m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=-m g-u \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{~d} t} .
\]

Перепишем это уравнение так:
\[
m \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(v+g t)=-u \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{~d} t},
\]

откуда
\[
\mathrm{d}(v+g t)=-u \mathrm{~d} m / m .
\]

Проинтегрировав с учетом начальных условий последнее уравнение, получим
\[
v+g t=-u \ln \left(m / m_{0}\right) .
\]

Искомая скорость ракеты
\[
v=u \ln \left(m_{0} / m\right)-g t .
\]

3.10. Космический корабль массы $m_{0}$ движется в отсутствие внешнего силового поля с постоянной скоростью $\mathbf{v}_{0}$. Для изменения направления движения был включен реактивный двигатель, который стал выбрасывать струю газа с постоянной относительно корабля скоростью u, причем вектор и все время перпендикулярен направлению движения корабля. В конце работы двигателя масса корабля стала равной $\mathrm{m}$. На какой угол изменилось направление движения корабля за время работы двигателя?

Решение. Найдем приращение вектора скорости корабля за промежуток времени $\mathrm{d} t$. Умножив обе части уравнения (3.13) на $\mathrm{d} t$ и учитывая, что $\mathrm{F}=0$, получим
\[
\mathrm{d} \mathbf{v}=\mathbf{u} \mathrm{d} m / m .
\]

Здесь $\mathrm{d} m<0$. Так как вектор и все время перпендикулярен вектору $\mathbf{v}$ (скорости корабля), то модуль вектора $\mathbf{v}$ не меняется и остается равным своему первоначальному значению: $|\mathbf{v}|=v_{0}$. Отсюда следует, что угол поворота $\mathrm{d} \alpha$ вектора $\mathrm{v}$ за время $\mathrm{d} t$ определяется как
\[
\mathrm{d} \alpha=|\mathrm{d} \mathbf{v}| / v_{0}=\left(u / v_{0}\right)|\mathrm{d} m / m| .
\]

Проинтегрировав это уравнение, найдем
\[
\alpha=\left(u / v_{0}\right)_{u} \ln \left(m_{0} / m\right) .
\]