Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу, и др.).
Наша задача: найти уравнение движения такого тела. Рассмотрим решение этого вопроса для материальной точки, называя ее для краткости телом. Пусть в некоторый момент $t$ масса движущегося тела $A$ равна $m$, а присоединяемое (или отделяемое) вещество имеет скорость и относительно данного тела.

Введем вспомогательную инерциальную $K$-систему отсчета, скорость которой такова же, как и скорость тела $A$ в данный момент $t$. Это значит, что в момент $t$ тело $A$ покоится в $K$-системе.

Пусть далее за промежуток времени от $t$ до $t+\mathrm{d}t$ тело $A$ приобретает в $K$-системе импульс $m\mathrm{dv}$. Этот импульс тело $A$ получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы $\delta m$, которая приносит (уносит) импульс $\delta m\cdot \mathbf{u}$, и, во-вторых, вследствие действия силы $\mathbf{F}$ со стороны окружающих тел или силового поля. Таким образом, можно записать, что
$$m\mathrm{d}\mathbf{v}=\mathbf{F}\mathrm{d}t\pm \delta m\cdot \mathbf{u},$$
где знак плюс соответствует присоединению массы, а знак минус — отделению. Оба эти случая можно объединить, представив $\pm \delta m$ в виде приращения $\mathrm{d}m$ массы тела $A$ (действительно, в случае присоединения массы $\mathrm{d}m=+\delta m$, а в случае отделения $\mathrm{d}m=-\delta m$ ). Тогда предыдущее уравнение примет вид
$$m\mathrm{d}\mathbf{v}=\mathbf{F}\mathrm{d}t+\mathrm{d}m\cdot \mathbf{u}.$$

Поделив это выражение на $\mathrm{d}t$, получим

где $\mathbf{u}$ — скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.

Это уравнение является основным уравнением динамики точки переменной массы. Его называют уравнением Мещерского. Будучи полученным в одной инерциальной системе отсчета, это уравнение в силу принципа относительности справедливо и в любой другой инерциальной системе. Заметим, что если система отсчета неинерциальна, то под силой $\mathbf{F}$ следует понимать результирующую как сил взаимодействия данного тела с окружающими телами, так и сил инерции.

Последний член уравнения (3.13) носит название $\mathrm{pe}-$ активной силы: $\mathbf{R}=(\mathrm{d}m/\mathrm{d}t)\mathbf{u}$. Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если масса присоединяется, то $\mathrm{d}m/\mathrm{d}t>0$ и вектор $\mathbf{R}$ совпадает по направлению с вектором $\mathbf{u}$; если же масса отделяется, то $\mathrm{d}m/\mathrm{d}t<0$ и вектор $\mathbf{R}$ противоположен вектору и.

Уравнение Мещерского по своей форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева — произведение массы тела на ускорение, справа — действующие на него силы, включая реактивную силу. Однако в случае переменной массы нельзя внести массу $m$ под знак дифференцирования и представить левую часть уравнения как производную по времени от импульса, ибо $m\mathrm{d}\mathbf{v}/\mathrm{d}teq\mathrm{d}(m\mathbf{v})/\mathrm{d}t$.
Обратим внимание на два частных случая:

1. Если $\mathbf{u}=0$, т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то $\mathbf{R}=0$ и уравнение (3.13) принимает вид
$$m(t)\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{F};$$
где $m(t)$ — масса тела в данный момент времени. Это уравнение определяет, например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок (см. задачу 3.7, II. 1).
2. Если $\mathbf{u}=-\mathbf{v}$, т. е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (3.13) принимает другой вид: $m(\mathrm{d}\mathbf{v}/\mathrm{d}t)+$ $+(\mathrm{d}m/dt)\mathbf{v}=\mathbf{F}$, или
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\mathbf{v})=\mathbf{F}.$$

Иначе говоря, в этом частном случае — и только этом действия силы $\mathbf{F}$ определяет изменение импульса тела с

переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом из неподвижного бункера (см. задачу 3.7, п. 2).

Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского.

Пример. Ракета движется в инерциальной $К$-системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью u. Найдем зависимость скорости $\mathbf{v}$ ракеты от ее массы $m$, если в момент старта ее масса была равна $m_0$.
В данном случае $\mathbf{F}=0$ и из уравнения (3.13) следует
$$\mathrm{d}\mathbf{v}=\mathbf{u}\mathrm{d}\mathit{m}/\mathit{m}.$$

Проинтегрировав это выражение с учетом начальных условий, получим
$$\mathbf{v}=-\mathbf{u}\ln \left(m_0/m\right),$$

где знак минус показывает, что вектор $\mathbf{v}$ (скорость ракеты) противоположен по направлению вектору и. Отсюда видно, что скорость ракеты в данном случае ( $\mathbf{u}=$ const) не зависит от времени сгорания топлива: $\mathbf{v}$ определяется только отношением начальной массы $m_0$ ракеты к оставшейся массе $m$.

Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью и относительно ракеты, то скорость последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость $\mathbf{v}$, то из закона сохранения импульса для системы ракета — горючее следует
$$0=m\mathbf{v}+(m_0-m)(\mathbf{u}+\mathbf{v}),$$

где $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ — скорость горючего относительно данной системы отсчета. Отсюда
$$\mathbf{v}=-\mathbf{u}(1-m/m_0).$$

Скорость $\mathbf{v}$ ракеты в этом случае оказывается меньше, лем в предыдущем (при одинаковых значениях отношения $m_0/m$ ). В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости $\mathbf{v}$ от $m_0/m$ в обоих случаях. С ростом $m_0/m$ в первом случае (когда вещество отделяется непрерывно) скорость $\mathbf{v}$ ракеты, согласно (1), растет неограниченно, во втором же (когда вещество отделяется одновременно) скорость $\mathbf{v}$, согласно (2), стремится к пределу, равному — u.

Задачи

3.1. Частица движется с импульсом $\mathbf{p}(t)$ под действием силы $\mathbf{F}(t)$. Пусть $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ — постоянные векторы, причем $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$. Полагая, что
1) $\mathbf{p}(t)=\mathbf{a}+t(1-\alpha t)\mathbf{b}$, где $\alpha$ — положительная постоянная, найти вектор $\mathbf{F}$ в те моменты времени, когда $\mathbf{F}\perp \mathbf{p}$;
2) $\mathbf{F}(t)=\mathbf{a}+2t\mathbf{b}$ и $\mathbf{p}(0)={\mathbf{p}}_0$, где ${\mathbf{p}}_0-$ вектор, противоположный по направлению вектору $\mathrm{a}$, найти вектор $\mathrm{p}$ в момент $t_0$, когда он окажется повернутым на ${90}^{\circ }$ по отношению к вектору ${\mathbf{p}}_0$.

Решение. 1. Сила $\mathbf{F}=\mathrm{d}\mathbf{p}/\mathrm{d}t=(1-2\alpha t)\mathbf{b}$, т. е. вектор $\mathbf{F}$ все время перпендикулярен вектору a. Следовательно, вектор $\mathbf{F}$ будет

перпендикулярен вектору р в те моменты, когда коэффициент при b в выражении для $\mathrm{p}(t)$ обращается в нуль. Отсюда $t_1=0$ и $t_2=1/\alpha$. Соответствующие значення вектора $\mathbf{F}$ равны:
$${\mathbf{F}}_1=\mathbf{b},{\mathbf{F}}_2=-\mathbf{b}.$$
2. Приращение вектора р за промежуток времени $\mathrm{d}t$ есть $\mathrm{dp}=$ $=\mathrm{Fd}t$. Интегрируя это уравнение с учетом начальных условий, находим
$$\mathbf{p}-{\mathbf{p}}_0={\int }_0^t\mathbf{F}\mathrm{d}t=\mathbf{a}t+\mathbf{b}{t}^2,$$

где, по условию, ${\mathrm{p}}_0$ противоположен вектору а. Вектор р окажется перпендикулярным вектору ${\mathrm{p}}_0$ в момент $t_0$, когда $a{t}_0=p_0$. В этот момент $\mathrm{p}={\left(p_0/a\right)}^2\mathbf{b}$.

3.2. Орудие массы $m$ соскальзывает по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. В момент, когда скорость орудия оказалась равной $\mathbf{v}$, произвели выстрел, в результате которого орудие остановилось. а вылетевший в горизонтальном на-

Рис. 3.6 правлении снаряд «унес» импульс р. Пусть продолжительность выстрела равна $\tau$. Найти среднее за это время значение силы реакции $\mathbf{R}$ со стороны наклонной плоскости.

Решение.
Здесь система орудие — снаряд незамкнутая. За время $\tau$ эта система получает приращен\»е импульса, равное $\mathbf{p}-m\mathbf{v}$. Изменение импульса системы обусловлено действием двух внешних сил: силы реакции $\mathbf{R}$ (она перпендикулярна наклонной плоскости) и силы тяжести $m\mathrm{g}$. Поэтому можно написать
$$\mathbf{p}-\mathit{m}\mathbf{v}=⟨\mathbf{R}⟩\tau +m^{-}\mathbf{g}\tau ,$$
где $⟨\mathbf{R}⟩$ — среднее за время $\tau$ значение вектора $\mathbf{R}$. Это соотношение очень полезно представить графически (рис. 3.6). Из данного рисунка сразу видно, что искомое значение модуля $<\mathbf{R}>$ определяется формулой
$$⟨R⟩=(p\sin \alpha +mg\tau \cos \alpha )/\tau .$$

3.3. Закон сохранения импульса. Две тележки, каждая массы $M$, движутся друг за другом по инерции (без трения) с одинаковой скоростью ${\mathbf{v}}_0$. На задней тележке находится человек массы $m$. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью и относительно своей тележки. Қакой стала скорость передней тележки?

Решение.
Импульс всей системы в результате того, что человек перепрыгнул из задней (2) тележки в переднюю (1), не изменится поэтому
$$(2M+m){\mathbf{v}}_0=M{\mathbf{v}}_2^{\prime }+(M+m){\mathbf{v}}_1^{\prime },$$

где ${\mathbf{v}}_1{}^{\prime }$ и ${\mathbf{v}}_2{}^{\prime }$ — конечные скорости тележек.

Аналогично запишем баланс импульсов для задней тележки с человеком (до и после перепрыгивания):
$$(M+m){\mathbf{v}}_0=M{\mathbf{v}}_2^{\prime }+m({\mathbf{v}}_2^{\prime }+\mathbf{u}),$$

где ${\mathbf{v}}_2{}^{\prime }+\mathbf{u}$ — скорость спрыгнувшего человека относительно полотна дороги.
Из этих двух уравнений следует, что
$${\mathbf{v}}_1^{\prime }={\mathbf{v}}_0+\frac{mM}{(m+M{)}^2}\mathbf{u}.$$

3.4. На краю покоящейся тележки массы $M$ стоят два человека, каждый массы $m$. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одвой и той же горизонтальной скоростью и относительно тележки: 1) одновременно; 2) друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше и во сколько раз?
Решение. 1. Согласно закону сохранения импульса,
$$M{\mathbf{v}}^{\prime }+2m({\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{u})=0,$$

где ${\mathbf{v}}^{\prime }$ — скорость тележки, ${\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{u}$ — скорость человека (обе скорости относительно полотна дороги). Отсюда
$${\mathbf{v}}^{\prime }=-\frac{2m}{M+2m}\mathbf{u}.$$

Рис. 3.7

2. В этом случае необходимо записать
два
уравнения. Қогда спрыгнул один человек, то
$$(M+m){\mathbf{v}}^{\prime }+m({\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{u})=0,$$

где ${\mathbf{v}}^{\prime }$ — скорость тележки с оставшимся вторым человеком. Қогда же спрыгнул другой человек, то
$$(M+m){\mathbf{v}}^{\prime }=M{\mathbf{v}}^{\prime \prime }+m({\mathbf{v}}^{\prime \prime }+\mathbf{u}),$$

где ${\mathbf{v}}^{\prime \prime }$ — скорость пустой тележки.
Исключив из последних двух уравнений ${\mathbf{v}}^{\prime }$, найдем
$${\mathbf{v}}^{\prime \prime }=-\frac{(2M+3m)m}{(M+m)(M+2m)}\mathbf{u}.$$

Отношение скорости тележки $v^{\prime \prime }$ в случае 2) к скорости $v^{\prime }$ в случае 1) равно
$$\frac{v^{\prime \prime }}{v^{\prime }}=1+\frac{m}{2(M+m)}>1.$$

3.5. Центр масс. Через блок перекинут шнур, на одном конце которого находится лестница с человеком, а на другом конце — уравновешивающий груз массы $M$ (рис. 3.7). Человек, масса которого $m$, совершил вверх перемещение $\mathrm{\Delta }{r}^{\prime }$ относительно лестницы и остановился. Пренебрегая массами блока и шнура, найти перемещение центра масс этой системы.

Решение. В системе отсчета, связанной с осью блока, положение центра масс данной системы характеризуется радиусом-вектором
$${\mathbf{r}}_C=[M{\mathbf{r}}_1+(M-m){\mathbf{r}}_2+m{\mathbf{r}}_3]/2M,$$

где $r_1,r_2$ и $r_3$ — радиусы-векторы центров масс уравновешивающего груза, лестницы и человека — все относительно некоторой точки $O$ выбранной системы отсчета. Отсюда перемещение $\mathrm{\Delta }{\mathbf{r}}_c$ центра масс системы
$$\mathrm{\Delta }{\mathbf{r}}_C=[M\mathrm{\Delta }{\mathbf{r}}_1+(M-m)\mathrm{\Delta }{\mathbf{r}}_2+m\mathrm{\Delta }{\mathbf{r}}_3]/2M,$$

Рис. 3.8

где $\mathrm{\Delta }{\mathrm{r}}_1,\mathrm{\Delta }{\mathrm{r}}_2$ и $\mathrm{\Delta }{\mathrm{r}}_3$ — перемещения уравновешивающего груза, лестницы и человека. Имея в виду, что
$$\mathrm{\Delta }{\mathbf{r}}_1=-\mathrm{\Delta }{\mathbf{r}}_2,\mathrm{\Delta }{\mathbf{r}}_3=\mathrm{\Delta }{\mathbf{r}}_2+\mathrm{\Delta }{\mathbf{r}}^{\prime },$$

получим в результате
$$\mathrm{\Delta }{\mathbf{r}}_C=(m/2M)\mathrm{\Delta }{\mathbf{r}}^{\prime }.$$

Таким образом, перемещение центра масс всей системы совпадает по направлению с перемещением человека относительно лестницы, и полученный результат не зависит от характера движения человека.

Замечание. На первый взгляд может показаться, что данная система «замкнута», т. е. результирующая всех внешних сил равна нулю, и центр масс системы не должен переместиться. Однако это не так. Когда человек начинает подниматься, он действует на лестницу с дополнительной силой, направленной вниз. В результате натяжение шнура возрастает и внешняя сила, действующая на систему со стороны подвеса, окажется больше суммарной силы тяжести. Поэтому результирующая всех внешних сил будет направлена вверх — она и обусловливает перемещение вверх центра масс всей системы.

3.6. Ц-система. Две небольшие шайбы, массы которых $m_1$ и $m_2$, связаны между собой нитью длины $l$ и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент скорость одной шайбы равна нулю, а другой — $v$, причем ее направление перпендикулярно нити (рис. 3.8, a). Найти силу натяжения нити в процессе движения.

Решение. Перейдем в систему центра масс-Ц-систему. В этой системе отсчета шайбы движутся по окружностям вокруг

центра масс $C$ (рис. 3.8, б), поэтому искомую силу можно найти как
$$F=m_1{\tilde{v}}_1^2/l_1,$$

где ${\tilde{v}}_1$ — скорость шайбы массы $m_1,l_1$ — радиус окружности по которой она движется. Подобное выражение можно было бы, конечно, записать и для другой шайбы — это несущественно.

Найдем значения $l_1$ и ${\tilde{v}}_1$. В примере на с. 72 было показано, что отношение $l_1/l_2=m_2/m_1$. Кроме того, $l_1+l_2=l$. Из этих двух соотношений следует
$$l_1=l{m}_2/(m_1+m_2).$$

Далее, скорость ${\tilde{\mathbf{v}}}_1={\mathbf{v}}_1-{\mathbf{V}}_c$. В нашем случае ${\mathbf{v}}_1=0$ и ${\mathbf{V}}_c=m_2\mathbf{v}/m_1+$ $+m_2$ ). Поэтому модуль вектора
$$\widetilde{v_1}=m_{2}v/(m_1+m_2).$$

Эта величина в процессе движения остается постоянной.
После подстановки (2) и (3) в (1) получим
$$F=\mu v^{2}ll,\mu =m_1{m}_2/(m_1+m_2).$$

3.7. Движение тела переменной массы. Железнодорожная платформа в момент $t=0$ начинает двигаться под действием постоянной силы тяги F. Пренебрегая трением в осях, найти зависимость от времени скорости платформы $\mathbf{v}(t)$, если:
1) платформа нагружена песком, который высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью $\mu (кг/\mathrm{c})$, а в момент $t=0$ масса платформы с песком равна $m_0$;
2) на платформу, масса которой $m_0$, в момент $t=0$ начинает высыпаться песок из неподвижного бункера так, что скорость погрузки постоянна и равна $\mu (\kappa \mathrm{г}/\mathrm{c})$.

Решение. 1. В этом случае реактивная сила равна нулю и уравнение (3.13) имеет вид ( $m_0-\mu t)\mathrm{d}\mathbf{v}/\mathrm{d}t=\mathbf{F}$, откуда
$$\mathrm{d}\mathbf{v}=\mathbf{F}\mathrm{d}t/(m_0-\mu t).$$

Проинтегрировав это уравнение с учетом начальных условий, получим
$$\mathbf{v}=\frac{\mathrm{F}}{\mu }\ln \frac{m_0}{m_0-\mu t}.$$
2. Здесь горизонтальная составляющая реактивной силы (а только эта составляющая нас и интересует) $\mathbf{R}=\mu (-\mathbf{v})$, где $\mathbf{v}-$ скорость платформы. Поэтому уравнение (3.13) приводится к виду (3.15), или
$$\mathrm{d}(m\mathrm{v})=\mathbf{F}\mathrm{d}t.$$

Интегрирование с учетом начальных условий дает
$$m\mathbf{v}=\mathrm{F}t,$$

где $m=m_0+\mu t$. Отсюда
$$\mathbf{v}=\mathbf{F}t/(m_0+\mu t).$$
Полученные в обоих случаях выражения справедливы, разумеется, лишь в процессе разгрузки (или погрузки) платформы.

3.8. Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте, выбрасывая вертикально вниз струю газа со скоростью ш. Найти:
1) сколько времени ракета сможет оставаться на этой высоте, если начальная масса топлива составляет $\eta$-ю часть ее массы (без топлива);
2) какую массу $\mu (t)$ газов должна ежесекундно выбрасывать ракета, чтобы оставаться на постоянной высоте, если начальная масса ракеты (с топливом) равна $m_0$.

Решение. 1. В данном случае $\mathrm{dv}/\mathrm{d}t=0$ и уравнение примет вид
$$m\mathrm{g}+(\mathrm{d}m/\mathrm{d}t)\mathbf{u}=0,$$

или после разделения переменных
$$\mathrm{d}m/m=-(g/u)\mathrm{d}t.$$

Интегрирование этого уравнения дает
$$\ln \left(m/m_0\right)=-(g/u)t.$$

Отсюда
$$t=(u/g)\ln \left(m_0/m\right)=(u/g)\ln (1+\eta ),$$

где учтено, что $\eta =(m_0-m)/m$.
2. Из уравнения (1) предыдущего пункта следует, что
$$\mu =-\mathrm{d}m/\mathrm{d}t=(\mathrm{g}/u)m,$$

где $m$ находим из (2): $m=m_0{\mathrm{e}}^{-gt/a}$. В результате
$$\mu =(g/u)m_0{\mathrm{e}}^{—gt/u}.$$

По такому закону $\mu$ меняется со временем в течение промежутка времени, найденного в п. 1.

3.9. Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх в однородном поле тяжести. Первоначальная масса ракеты (с топливом) равна $m_0$. Скорость газовой струи постоянна и равна и относительно ракеты. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость $v$ ракеты в зависимости от ее массы $m$ и времени подъема $t$.

Решение. Запишем уравнение движения ракеты — уравнение (3.13) — в проекциях на вертикальную ось с положительным направлением вверх:
$$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-mg-u\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}.$$

Перепишем это уравнение так:
$$m\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(v+gt)=-u\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t},$$

откуда
$$\mathrm{d}(v+gt)=-u\mathrm{d}m/m.$$

Проинтегрировав с учетом начальных условий последнее уравнение, получим
$$v+gt=-u\ln \left(m/m_0\right).$$

Искомая скорость ракеты
$$v=u\ln \left(m_0/m\right)-gt.$$

3.10. Космический корабль массы $m_0$ движется в отсутствие внешнего силового поля с постоянной скоростью ${\mathbf{v}}_0$. Для изменения направления движения был включен реактивный двигатель, который стал выбрасывать струю газа с постоянной относительно корабля скоростью u, причем вектор и все время перпендикулярен направлению движения корабля. В конце работы двигателя масса корабля стала равной $\mathrm{m}$. На какой угол изменилось направление движения корабля за время работы двигателя?

Решение. Найдем приращение вектора скорости корабля за промежуток времени $\mathrm{d}t$. Умножив обе части уравнения (3.13) на $\mathrm{d}t$ и учитывая, что $\mathrm{F}=0$, получим
$$\mathrm{d}\mathbf{v}=\mathbf{u}\mathrm{d}m/m.$$

Здесь $\mathrm{d}m<0$. Так как вектор и все время перпендикулярен вектору $\mathbf{v}$ (скорости корабля), то модуль вектора $\mathbf{v}$ не меняется и остается равным своему первоначальному значению: $|\mathbf{v}|=v_0$. Отсюда следует, что угол поворота $\mathrm{d}\alpha$ вектора $\mathrm{v}$ за время $\mathrm{d}t$ определяется как
$$\mathrm{d}\alpha =|\mathrm{d}\mathbf{v}|/v_0=\left(u/v_0\right)|\mathrm{d}m/m|.$$

Проинтегрировав это уравнение, найдем
$$\alpha ={\left(u/v_0\right)}_u\ln \left(m_0/m\right).$$