Импульс частицы.
По определению, импульс частицы *
\[
\mathbf{p}=m \mathbf{v},
\]

где $m$ и $\mathbf{v}$ – ее масса и скорость. Воспользовавшись понятием импульса, запишем основное уравнение динамики (2.6) в иной форме:
т. е. производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе. В частности, если $\mathbf{F} \equiv 0$, то $\mathbf{p}=$ const.

Заметим, что в неинерциальной системе отсчета сила $\mathbf{F}$ в (3.1) включает в себя не только силы взаимодействия данной частицы с другими телами, но и силы инерции.

Уравнение (3.1) позволяет найти приращение импульса частицы за любой промежуток времени, если известна зависимость силы $\mathbf{F}$ от времени. Действительно, нз (3.1) следует, что элементарное приращение импульса частицы за промежуток времени $\mathrm{d} t$ есть $\mathrm{d} \mathbf{p}=\mathrm{F} \mathrm{d} t$. Проинтегрировав это выражение по времени, найдем приращение импульса частицы за конечный промежуток времени $t$ :

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют им пульсом с илы. Таким образом, приращение импульса частицы за любой промежуток времени зависит не только от значения силы, но и от продолжительности ее действия, или, другими словами, равно импульсу силы за это время.

Рис. 3.1

B частности, если $\mathrm{F}=$ $=$ const, то вектор $\mathbf{F}$ можно

вынести из-под интеграла и тогда $\mathbf{p}_{2}-\mathbf{p}_{1}=\mathbf{F} t$.
Рассмотрим пример на использование уравнения (3.2).

Пример.
На частицу, которая в момент $t=0$ имела импульс $\mathrm{p}_{0}$, действует в течение промежутка времени $\tau$ сила, зависящая от времени $t$ как $\mathbf{F}=\mathrm{a} t(1-t / \tau)$, где $\mathbf{a}$ – постоянный вектор. Найдем импульс р частицы после окончания действия этой силы.
Согласно
\[
\mathrm{p}=\mathrm{p}_{0}+\int_{0}^{\tau} \mathrm{F} \mathrm{d} t=\mathrm{p}_{0}+\mathbf{a} \tau^{2} / 6 \text { (рис. 3.1). }
\]

Импульс системы.
Рассмотрим произвольную систему частиц. В общем случае частицы этой системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в данную систему. В соответствии с этим силы взаимодействия между частицами системы называют внутренними, а силы, обусловленные действием других тел, не входящих в данную систему,- в н е ними. Ясно, что такое разделение сил на внутренние и внешние условно – оно целиком зависит от выбора интересующей нас системы частиц. Заметим также, что в неинерциальных системах отсчета к внешним силам относятся и силы инерции.

Теперь введем понятие им пульса системы как векторную сумму импульсов ее отдельных частиц:
\[
\mathbf{p}=\sum \mathbf{p}_{i},
\]

где $\mathbf{p}_{l}$ – импульс $l$-й частицы. Заметим, что импульс системы – величина аддитивная, т. е. импульс системы равен сумме импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Найдем физическую величину, которая определяет изменение импульса системы. Для этого продифференцируем (3.3) по времени:
\[
\mathrm{d} \mathbf{p} / \mathrm{d} t=\sum \mathrm{d} \mathbf{p}_{i} / \mathrm{d} t .
\]

Согласно (3.1),
\[
\mathrm{d} \mathbf{p}_{i} / \mathrm{d} t=\sum_{k} \mathrm{~F}_{l k}+\mathrm{F}_{i},
\]

где $\mathbf{F}_{l k}$ – силы, действующие на $i$-ю частицу со стороны других частиц системы (внутренние силы); $\mathbf{F}_{i}$ – сила действующая на эту же частицу со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему (внешние силы). Подставив последнее выражение в предыдущее, получим
\[
\mathrm{d} \mathbf{p} / \mathrm{d} t=\sum_{i} \sum_{k} \mathbf{F}_{i k}+\sum_{i} \mathbf{F}_{i} .
\]

Двойная сумма справа – это сумма всех внутренних сил. В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия между частицами системы попарно одинаковы по модулю и противоположны по направлению. Поэтому результирующая сила в каждой паре взаимодействия равна нулю, а значит, равна нулю и векторная сумма всех внутренних сил. В результате последнее уравнение принимает следующий вид:

где $\mathbf{F}_{\text {внеш }}$ – результирующая всех внешних сил, $\mathbf{F}_{\text {внеш }}=$ $=\sum_{\overline{\text { pa }}} \mathrm{F}_{i}$.

означает: производная импульса сиссил, действующих на частицы системы.

Қак и в случае одной частицы, из уравнения (3.4) следует, что приращение импульса системы за қонечный промежуток времени $t$ есть

т. е. приращение импульса системы равно импульсу результирующей всех внешних сил за соответствующий промежуток времени. И здесь, конечно, $\mathbf{F}_{\text {внеш }}$ – результирующая всех внешних сил.

Уравнения (3.4) и (3.5) справедливы как в инерциальной, так и в неинерциальной системах отсчета. Следует только иметь в виду, что в неинерциальной системе отсчета необходимо учитывать и действие сил инерции, играющих роль внешних сил, т. е. под $\mathbf{F}_{\text {внеш }}$ в этих уравнениях надо понимать сумму $\mathbf{F}_{\text {вз }}+\mathbf{F}_{\text {ин }}$, где $\mathbf{F}_{\text {вз }}$ – результирующая всех внешних сил взаимодействия, а $\mathbf{F}_{\text {ин }}$ – результирующая всех сил инерции.