Прежде всего введем понятие замкнутой (или изолированной) системы. Так называют систему частиц, на которую не действуют никакие посторонние тела (или их воздействие пренебрежимо мало). Другими словами, система замкнута, если внешние силы отсутствуют. Очевидно, что понятие замкнутой системы имеет смысл только по отношению к инерциальным системам отсчета, поскольку в неинерциальных системах отсчета всегда действуют силы инерции, играющие роль внешних сил. Понятие замкнутой системы является естественным обобщением понятия изолированной материальной точки и играет весьма важную роль в физике.

Согласно уравнению (3.4), импульс системы может изменяться под действием только внешних сил. Внутренние силы не могут изменить импульс системы. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения имп у ль с а:
импульс замкнутой системы частиц остается постоянным, т. е. не меняется со временем:

При этом импульсы отдельных частиц или частей замкнутой системы могут меняться со временем, что и подчеркнуто в последнем выражении. Однако эти измснения всегда происходят так, что приращение импульса одной части системы равно убыли импульса оставшейся части сис.

темы. Другими словами, отдельные части замкнутой системы могут только обменнваться импульсами. Обнаружив в некоторой системе прирашение импульса, мы можем утверждать, что это приращение произошло за счет убыли импульса в окружающих телах.

В этом смысле уравнения (3.4) и (3.5) следует рассматривать как более общую формулировку закона сохранения импульса, формулировку, в которой указана причина изменения импульса у незамкнутой системы действие других тел (внешних сил). Сказанное справедливо, разумеется, только по отношению к инерциальным системам отсчета.

Импульс может сохраняться и у незамкнутой системы при условии, что результирующая всех внешних сил равна нулю. Это непосредственно вытекает из уравнений (3.4) и (3.5). В практическом отношении со-

Рис. 3.2

хранение импульса в этих случаях представляет особый интерес, ибо дает возможность получать достаточно простым путем ряд сведений о поведении системы, не вникая в детальное рассмотрение процесса.
$И$ еще. У незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс $\mathbf{p}$, а его проекция $p_{x}$ на некоторое направление $x$. Это бывает тогда, когда проекция результирующей внешней силы $\mathbf{F}_{\text {внеш }}$ на направление $x$ равна нулю, т. е. вектор $\mathbf{F}_{\text {внеш }}$ перпендикулярен ему. Действительно, спроецировав уравнение (3.4), получим
\[
\mathrm{d} p_{x} / \mathrm{d} t=F_{\text {внеш } x}^{-},
\]

откуда следует, что если $F_{\text {Rнеш }} \equiv \equiv 0$, то $p_{x}=$ const. Например, при движении системы в однородном поле сил тяжести сохраняется проекция ее импульса на любое горизонтальное направление, что бы в системе ни происходило.
Рассмотрим примеры на закон сохранення импульса.

Пример 1.
Движущаяся частица распалась на две частицы с импульсами $\mathbf{p}_{1}$ и $\mathbf{p}_{2}$, угол между которыми равен $\theta$. Найдем модуль им, пульга $n$ паспавшейся частицы.

Подобного рода вопросы проще всего решать с помощью треугольника импульсов (рис. 3.2), который выражает закон сохранения

импульса: $\mathbf{p}=\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}$. Остается вогпользоваться теоремой косинусов, и мы сразу можем записать, что
\[
p=\sqrt{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2 p_{1} p_{2} \cos \theta} .
\]

В этих рассуждениях предполагалось, что система замкнута. Если же она находится под действием каких-то внешних сил, то под импульсами $\mathrm{p}, \mathrm{p}_{1}$ и $\mathrm{p}_{2}$ надо понимать те значения этих величин, которые они имели непосредственно до и после распада, а сам процесс распада считать протекающим за очень малое время. Последнее необходимо для того, чтобы импульс внешних сил за время распада был пренебрежимо мал.

Пример 2. Человек массы $m_{1}$ находится на узком плоту массы $m_{2}$, который покоится на поверхности озера. Человек совершил перемещение $\Delta r^{\prime}$ относительно плота и остановился. Сопротивление воды пренебрежимо мало. Найдем соответствующее перемещение $\Delta \mathbf{r}_{2}$ плота относительно берега.

В данном случае результирующая всех внешних сил, действующих на систему человек – плот, равіа нулю, поэтому импульс этой системы меняться не будет, оставаясь равным нулю в процессе движения:
\[
m_{1} \mathbf{v}_{1}+m_{2} \mathbf{v}_{2}=0,
\]

где $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ – скорости человека и плота относительно берега. Но скорость человека относительно берега можно представить в виде $\mathbf{v}_{1}=$ $=\mathbf{v}_{2}+\mathbf{v}^{\prime}$, где $\mathbf{v}^{\prime}$ – скорость человека относительно плота. Исключив $\mathbf{v}_{1}$ из этих двух уравнений, получим
\[
\mathbf{v}_{2}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \mathbf{v}^{\prime} .
\]

Умножив обе части на $\mathrm{d} t$, найдем связь между элементарными перемещениями плота $\mathrm{dr}_{2}$ и человека $\mathrm{dr}^{\prime}$ относительно плота. Такая же связь будет, очевидно, и для конечных перемещений:
\[
\Delta \mathbf{r}_{2}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \Delta \mathbf{r}^{\prime} .
\]

Отсюда видно, что перемещение плота $\mathrm{dr}_{2}$ не зависнт от характера движения человека, т. е. не зависит от закона $\mathbf{v}^{\prime}(t)$.

Подчеркнем еще раз: закон сохранения импульса выполняется только в инерциальных системах. Это, однако, не исключает случаев, когда импульс системы сохранялся бы и в неинерциальных системах отсчета. Для этого достаточно, чтобы в уравнении (3.4), справедливом и в неинерциальных системах отсчета, внешняя сила $\mathbf{F}_{\text {внеш }}$ (она включает в себя и силы инерции) была равна нулю. Ясно, что такое полокение может осуществляться лишь при специальных условиях. Соответствующие случаи довольно редки и имеют частный характер,

Теперь покажем, что если импульс системы сохраняется в одной инерциальной $K$-системе отсчета, то он сохраняется и в любой другой инерциальной $K^{\prime}$-системе. Пусть в $K$-системе
\[
\sum m_{i} \mathbf{v}_{i}=\text { const. }
\]

Если $K^{\prime}$-система движется относительно $K$-системы со скоростью $\mathbf{V}$, то скорость $i$-й частицы в $K$-системе можно представить как $\mathbf{v}_{i}=$ $=\mathbf{v}_{i}^{\prime}+\mathbf{V}$, где $\mathbf{v}_{i}{ }^{\prime}-$ скорость этой частицы в $K^{\prime}$-системе. Тогда выраженне для импульса системы можно преобразовать к следующему виду:
\[
\sum m_{i} \mathbf{v}_{i}^{\prime}+\sum m_{i} \mathbf{V}=\text { const } .
\]

Вторая сумма в этом равенстве не зависит от времени. А это значит, что и первая сумма – импульс системы в $K^{\prime}$-системе отсчета – тоже не зависит от времени, т. е.
\[
\sum m_{i} \mathbf{v}_{i}^{\prime}=\text { const }^{\prime} .
\]

Полученный результат полностью соответствует принципу относительности Галилея, согласно которому законы механикн одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Рассуждения, которые привели нас к закону сохранения импульса, целиком опирались на справедливость законов Ньютона. В частности, предполагалось, что материальные точки замкнутой системы взаимодействуют между собой попарно и это взаимодействие подчиняется третьему закону Ньютона. А как обстоит дело в случае систем, не подчиняющихся законам Ньютона, например в системах с электромагнитным излучением?

Ответ на этот вопрос дает опыт, который со всей убедительностью показывает, что закон сохранения импульса оказывается справедливым и для таких систем. Однако в этих случаях в общем балансе импульса необходимо учитывать не только импульсы частиц, но и импульс, которым обладает, как выясняется в электродинамике, само электромагнитное поле.

Таким образом, опыт показывает, что закон сохранения импульса, надлежащим образом обобщенный, представляет собой фундаментальный закон природы, ме знающий никаких исключений. Но в таком широком понимании он уже не является следствием законов Ньютона, а должен рассматриваться как самостоятельный общий принцип, являющийся обобщением опытных фактов.