Кинетическая энергия.
Пусть частица массы $m$ движется под действием некоторой силы $\mathbf{F}$ (в общем случае сила $\mathbf{F}$ может быть результирующей нескольких сил). Найдем элементарную работу, которую совершает эта сила на элементарном перемещении dr. Имея в виду, что $\mathbf{F}=m\mathrm{d}\mathbf{v}/\mathrm{d}t$ и $\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathbf{v}\mathrm{d}t$, запишем
$$\delta A=\mathbf{F}\mathrm{d}\mathbf{r}=m\mathbf{v}\mathrm{d}\mathbf{v}.$$

Скалярное произведение $\mathbf{v}\mathbf{d}\mathbf{v}=v(\mathrm{dv}{)}_{\mathrm{v}}$, где (dv) ${)}_{\mathbf{v}}$ — проекция вектора $\mathrm{dv}$ на направление вектора v. Эта проекция равна $\mathrm{d}v$ — приращению модуля вектора скорости. По-
$$\delta A=mv\mathrm{d}v=\mathrm{d}\left(m{v}^2/2\right).$$

Отсюда видно, что работа результирующей силы $\mathbf{F}$ идет на приращение некоторой величины (стоящей в скобках), которую называют кинетической энергией:

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы при элементарном перемещении равно
$$\mathrm{d}T=\delta A,$$

а при конечном перемещении из точки 1 в точку 2
т. е. приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу на том же перемещении. Если $A_{12}>0$, то $T_2>T_1$, т. е. кинетическая энергия частицы увеличивается; если же $A_{12}<0$, то кинетическая энергия уменьшается.

Уравнения (4.28) и (4.29) справедливы в инерциальных и неинерциальных системах отсчета. В последних кроме сил, действующих на рассматриваемую частицу со стороны каких-то тел (сил взаимодействия), необходимо учитывать и силы инерции. Поэтому под работой в этих уравнениях надо понимать алгебраическую сумму работ как сил взаимодействия, так и сил инерции.

Полная механическая энергия частицы.
Согласно (4.28), приращение кинетической энергии частицы равно элементарной работе результирующей $\mathbf{F}$ всех сил, действующих на частицу. Что это за силы? Если частица находится в интересующем нас стационарном поле консервативных сил, то на нее действует консервативная сила ${\mathbf{F}}_{\text{конс }}$ со стороны этого поля. Кроме того, на частицу могут действовать и другие силы, имеющие иное происхождение. Назовем их сторонними силами ${\mathbf{F}}_{\text{стор }}$.

Таким образом, результирующая $F$ всех сил, действующих на частицу, может быть представлена в виде $\mathbf{F}={\mathbf{F}}_{\text{конс }}+{\mathbf{F}}_{\text{стор }}$. Работа всех этих сил идет на приращение кинетической энергии частицы:
$$\mathrm{\Delta }T=A_{\text{конс }}+A_{\text{с }10}.$$

Согласно (4.10), работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы: $A_{\text{конс }}=-\mathrm{\Delta }U$. Подставив это выражение в предыдущее и перенеся величину $\mathrm{\Delta }U$ влево, получим
$$\mathrm{\Delta }T+\mathrm{\Delta }U=\mathrm{\Delta }(T+U)=A_{\text{стор }}.$$

Отсюда видно, что работа сторонних сил идет на приращение величины $T+U$. Эту величину — сумму кинетической и потенциальной энергий — называют полной ме-

ханической энергией частицы в поле и обозначают $E$ :

Заметим, что полная механическая энергия $E$, как и потенциальная $U$, определяется с точностью до произвольной постоянной.

Итак, из предыдущих двух уравнений следует, что приращение полной механической энергии частицы в стационарном поле консервативных сил при перемещении ее из точки 1 в точку 2 можно записать в виде
т. е. приращение полной механической энергии частицы на некотором пути равно алгебраической сумме работ всех сторонних сил, действующих на частицу на том же пути. Если $A_{\text{стор }}>0$, то полная механическая энергия частицы увеличивается, если же $A_{\text{стор }}<0$, то уменьшается.

Пример. Тело массы $m$ бросили со скоростью $v_0$ с обрыва высотой $h$ над поверхностью воды. Найдем работу, которую совершила сила сопротивления со стороны воздуха, при условии, что тело упало на поверхность воды со скоростью $ข$.

Если рассматривать движение тела в поле сил тяжести, то сила сопротивления со стороны воздуха будет сторонней и, согласно уравнению (4.31), искомая работа $A_{\text{сопр }}=E_2-E_1=m{v}^2/2-(m{v}_0^2/2+$ $+mgh)$ или
$$A_{\text{coIp }}=m_{.}^{\ast }(v^2-v_0^2)/2-mgh.$$

Интересно, что полученная величина может оказаться не только отрицательной, но и положительной (это зависит, например, от характера ветра в процессе падения тела).

Итак, мы установили, что полная механическая энергия частицы может измениться под действием только сторонних сил. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения механической энергии частиц ы:
если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не совершают работы в течение интересующего нас времени, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается постоянной за это время, т. е.

Уже в такой простейшей форме закон сохранения энергии позволяет достаточно легко получать ответы на ряд важных вопросов без привлечения уравнений движения, что часто сопряжено с проведением громоздких и утомительных расчетов. Именно это обстоятельство и превращает законы сохранения в весьма действенный инструмент исследования.

Проиллюстрируем возможности и преимущества, которые дает применение закона сохранения (4.32), на следующем примере.

Пример.
Пусть частица движется в одномерном стационарном поле, где ее потенциальная энергия $U(x)$ имеет вид, как на рис. 4.9. Если сторонние силы отсутствуют, то полная механическая энергия частицы в данном поле, т. е. $E$, не меняется в процессе движения и мы можем просто решить, например, такие вопросы, как:
1. Определить, не решая основного уравнения динамики, скорость частицы в зависимости от ее координаты. Рис. 4.9 Для этого достаточно знать, согласно уравнению (4.32), конкретный вид потенциальной кривой $U(x)$ и значение полной энергии $E$.
2. Установить область изменения координаты $x$ частицы, в которой она может находиться при данном значении полной энергии $E$. Ясно, что в область, где $U>E$, частица попасть не может, поскольку потенциальная энергия $U$ частицы не должна превышать ее полную энергию. Отсюда сразу следует, что при $E=E_1$ (рис. 4.9) частица будет двигаться или в области между координатами $x_1$ и $x_2$ (совершает колебания) или правее координаты $x_3$. Перейти же из первой области во вторую (или обратно) частица не может: этому препятствует потенциальный барьер, разделяющий обе эти области. Заметим, что когда частица движется в ограниченной области поля, то говорят, что она заперта в потенциальной яме (в нашем случае — между $x_1$ и $x_2$ ).
Иначе ведет себя частица при $E=E_2$ (рис. 4.9): для нее доступна вся область правее координаты $x_0$. Если в начальный момент частица находилась в точке $x_0$, то в дальнейшем она будет двигаться вправо. Полезно самостоятельно проследить, как будет меняться при этом кинетическая энергия частицы в зависимости от ее координаты $x$.