Кинетическая энергия.
Пусть частица массы $m$ движется под действием некоторой силы $\mathbf{F}$ (в общем случае сила $\mathbf{F}$ может быть результирующей нескольких сил). Найдем элементарную работу, которую совершает эта сила на элементарном перемещении dr. Имея в виду, что $\mathbf{F}=m \mathrm{~d} \mathbf{v} / \mathrm{d} t$ и $\mathrm{d} \mathbf{r}=\mathbf{v} \mathrm{d} t$, запишем
\[
\delta A=\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=m \mathbf{v} \mathrm{d} \mathbf{v} .
\]

Скалярное произведение $\mathbf{v d v}=v(\mathrm{dv})_{\mathrm{v}}$, где (dv) $)_{\mathbf{v}}$ — проекция вектора $\mathrm{dv}$ на направление вектора v. Эта проекция равна $\mathrm{d} v$ — приращению модуля вектора скорости. По-
\[
\delta A=m v \mathrm{~d} v=\mathrm{d}\left(m v^{2} / 2\right) .
\]

Отсюда видно, что работа результирующей силы $\mathbf{F}$ идет на приращение некоторой величины (стоящей в скобках), которую называют кинетической энергией:

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы при элементарном перемещении равно
\[
\mathrm{d} T=\delta A,
\]

а при конечном перемещении из точки 1 в точку 2
т. е. приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу на том же перемещении. Если $A_{12}>0$, то $T_{2}>T_{1}$, т. е. кинетическая энергия частицы увеличивается; если же $A_{12}<0$, то кинетическая энергия уменьшается.

Уравнения (4.28) и (4.29) справедливы в инерциальных и неинерциальных системах отсчета. В последних кроме сил, действующих на рассматриваемую частицу со стороны каких-то тел (сил взаимодействия), необходимо учитывать и силы инерции. Поэтому под работой в этих уравнениях надо понимать алгебраическую сумму работ как сил взаимодействия, так и сил инерции.

Полная механическая энергия частицы.
Согласно (4.28), приращение кинетической энергии частицы равно элементарной работе результирующей $\mathbf{F}$ всех сил, действующих на частицу. Что это за силы? Если частица находится в интересующем нас стационарном поле консервативных сил, то на нее действует консервативная сила $\mathbf{F}_{\text {конс }}$ со стороны этого поля. Кроме того, на частицу могут действовать и другие силы, имеющие иное происхождение. Назовем их сторонними силами $\mathbf{F}_{\text {стор }}$.

Таким образом, результирующая $F$ всех сил, действующих на частицу, может быть представлена в виде $\mathbf{F}=\mathbf{F}_{\text {конс }}+\mathbf{F}_{\text {стор }}$. Работа всех этих сил идет на приращение кинетической энергии частицы:
\[
\Delta T=A_{\text {конс }}+A_{\text {с } 10} .
\]

Согласно (4.10), работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы: $A_{\text {конс }}=-\Delta U$. Подставив это выражение в предыдущее и перенеся величину $\Delta U$ влево, получим
\[
\Delta T+\Delta U=\Delta(T+U)=A_{\text {стор }} .
\]

Отсюда видно, что работа сторонних сил идет на приращение величины $T+U$. Эту величину — сумму кинетической и потенциальной энергий — называют полной ме-

ханической энергией частицы в поле и обозначают $E$ :

Заметим, что полная механическая энергия $E$, как и потенциальная $U$, определяется с точностью до произвольной постоянной.

Итак, из предыдущих двух уравнений следует, что приращение полной механической энергии частицы в стационарном поле консервативных сил при перемещении ее из точки 1 в точку 2 можно записать в виде
т. е. приращение полной механической энергии частицы на некотором пути равно алгебраической сумме работ всех сторонних сил, действующих на частицу на том же пути. Если $A_{\text {стор }}>0$, то полная механическая энергия частицы увеличивается, если же $A_{\text {стор }}<0$, то уменьшается.

Пример. Тело массы $m$ бросили со скоростью $v_{0}$ с обрыва высотой $h$ над поверхностью воды. Найдем работу, которую совершила сила сопротивления со стороны воздуха, при условии, что тело упало на поверхность воды со скоростью $ข$.

Если рассматривать движение тела в поле сил тяжести, то сила сопротивления со стороны воздуха будет сторонней и, согласно уравнению (4.31), искомая работа $A_{\text {сопр }}=E_{2}-E_{1}=m v^{2} / 2-\left(m v_{0}^{2} / 2+\right.$ $+m g h)$ или
\[
A_{\text {coIp }}=m_{.}^{*}\left(v^{2}-v_{0}^{2}\right) / 2-m g h .
\]

Интересно, что полученная величина может оказаться не только отрицательной, но и положительной (это зависит, например, от характера ветра в процессе падения тела).

Итак, мы установили, что полная механическая энергия частицы может измениться под действием только сторонних сил. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения механической энергии частиц ы:
если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не совершают работы в течение интересующего нас времени, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается постоянной за это время, т. е.

Уже в такой простейшей форме закон сохранения энергии позволяет достаточно легко получать ответы на ряд важных вопросов без привлечения уравнений движения, что часто сопряжено с проведением громоздких и утомительных расчетов. Именно это обстоятельство и превращает законы сохранения в весьма действенный инструмент исследования.

Проиллюстрируем возможности и преимущества, которые дает применение закона сохранения (4.32), на следующем примере.

Пример.
Пусть частица движется в одномерном стационарном поле, где ее потенциальная энергия $U(x)$ имеет вид, как на рис. 4.9. Если сторонние силы отсутствуют, то полная механическая энергия частицы в данном поле, т. е. $E$, не меняется в процессе движения и мы можем просто решить, например, такие вопросы, как:
1. Определить, не решая основного уравнения динамики, скорость частицы в зависимости от ее координаты. Рис. 4.9 Для этого достаточно знать, согласно уравнению (4.32), конкретный вид потенциальной кривой $U(x)$ и значение полной энергии $E$.
2. Установить область изменения координаты $x$ частицы, в которой она может находиться при данном значении полной энергии $E$. Ясно, что в область, где $U>E$, частица попасть не может, поскольку потенциальная энергия $U$ частицы не должна превышать ее полную энергию. Отсюда сразу следует, что при $E=E_{1}$ (рис. 4.9) частица будет двигаться или в области между координатами $x_{1}$ и $x_{2}$ (совершает колебания) или правее координаты $x_{3}$. Перейти же из первой области во вторую (или обратно) частица не может: этому препятствует потенциальный барьер, разделяющий обе эти области. Заметим, что когда частица движется в ограниченной области поля, то говорят, что она заперта в потенциальной яме (в нашем случае — между $x_{1}$ и $x_{2}$ ).
Иначе ведет себя частица при $E=E_{2}$ (рис. 4.9): для нее доступна вся область правее координаты $x_{0}$. Если в начальный момент частица находилась в точке $x_{0}$, то в дальнейшем она будет двигаться вправо. Полезно самостоятельно проследить, как будет меняться при этом кинетическая энергия частицы в зависимости от ее координаты $x$.