Об энергии и импульсе системы.
До сих пор мы ограничивались рассмотрением поведения одной частицы. В отличие от динамики одной частицы построение динамики системы частиц в теории относительности является гораздо более сложной задачей. Тем не менее и в этом случае можно установить ряд важных общих законов.

Если нас интересует движение системы как целого, то, отвлекаясь от внутренних процессов в системе и пренебрегая ее пространственной протяженностью, систему можно считать одной материальной точкой – частицей. Поскольку это так, систему релятивистских частиц как целое можно характеризовать полной энергией $E$, импульсом р, массой покоя $M_{0}$ и утверждать, что полученные ранее выражения справедливы и для системы частиц как целого.

Остается выяснить, что следует понимать под полной энергией $E$, импульсом $\mathrm{p}$ и массой покоя $M_{0}$ системы как целого. В общем случае, если система состоит из взаимодействующих релятивистских частиц, ее полная энергия
\[
E=\sum m_{i} c^{2}+W,
\]

где $m_{i} c^{2}$ – полная энергия $i$-й частицы (напомним, что в эту величину не включается энергия взаимодействия с другими частицами); $W$-суммарная энергия взаимодействия всех частиц системы.

В ньютоновской механике $W$ представляет собой потенциальную энергию взаимодействия частиц системы величину, зависящую при данном характере взаимодействий только от конфигурации системы. В релятивистской же динамике, оказывается, не существует понятия потенциальной энергии взаимодействия частиц. Это обусловлено тем обстоятельством, что само понятие потенциальной энергии тесно связано с представлением о дальнодействии (мгновенной передаче взаимодействий). Являясь функцией конфигурации системы, потенциальная энергия в каждый момент времени определяется относительным расположением частиц системы в этот момент. Изменение конфигурации системы должно мгновенно вызвать изменение и потенциальной энергии. Так как в действительности этого нет (взаимодействия передаются с конечной скоростью), то для системы релятивистских частиц понятие потенциальной энергии взаимодействия не может быть введено.

В общем случае написать выражение для энергии взаимодействия $W$, а следовательно, и для полной энергии $E$ системы взаимодействующих релятивистских частиц не представляется возможным. Это же относится и к импульсу системы, так как в релятивистской динамике импульс не является величиной, независимой от энергии $E$. Так же сложно обстоит дело и с массой покоя $M_{0}$ системы, о которой в общем случае можно сказать только одно: это масса в системе отсчета, где данная механическая система как целое покоится (т. е. в Ц-системе).

Вследствие указанных трудностей построение динамики системы релятивистских частиц ограничено сравнительно немногими простейшими случаями, на двух из которых мы и остановимся. Это система из невзаимодействующих релятивистских частиц и важный в практическом отношении случай столкновения двух частиц.

Система невзаимодействующих частиц.
В этом случае полная энергия $E$ и импульс р обладают аддитивными свойствами и для системы их можно представить в виде
\[
E=\sum m_{i} c^{2}, \quad \mathbf{p}=\sum \mathbf{p}_{i}
\]

где $m_{i}$ и $\mathbf{p}_{i}$ – релятивистская масса и импульс $i$-й частицы системы. Так как взаимодействий в данном случае нет, то скорости всех частиц постоянны, а следовательно постоянны во времени полная энергия и импульс всей системы.

Введем понятие энергии покоя $E_{0}$ системы частиц как полную энергию ее в $Ц$-системе, где суммарный импульс $\tilde{\mathrm{p}}=\sum \tilde{\mathrm{p}}_{i}=0$, и система как целое покоится. Таким образом,
\[
E_{0}=\sum \widetilde{E}_{i}
\]

где $E_{i}$ – полная энергия $i$-й частицы в $Ц$-системе. Это значит, что в энергию покоя входит кроме энергии покоя каждой частицы и их кинетическая энергия $\widetilde{T}_{i}$ в $Ц$-системе: $\tilde{E}_{i}=m_{0 i} c^{2}+\widetilde{T}_{i}$.
Это же относится, очевидно, и к массе покоя системы:
\[
M_{0}=E_{0} / c^{2} .
\]

Отсюда, в частности, следует, что масса покоя системы не равна сумме масс покоя отдельных частиц, а именно:
\[
M_{0}>\sum m_{0 i} \text {. }
\]

Введение энергии и массы покоя системы ( $E_{0}$ и $M_{0}$ ) позволяет рассматривать систему невзаимодействующих релятивистских частиц как одну частицу с полной энергией $E=\sum m_{i} c^{2}$, импульсом $\mathbf{p}=\sum \mathbf{p}_{i}$, массой покоя $M_{0}=$ $=E_{0} / c^{2}$ и утверждать, что выражения (7.12) и (7.14) справедливы и для системы частиц:
\[
\begin{array}{c}
E^{2}-p^{2} c^{2}=M_{0}^{2} c^{4}=\mathrm{inv}, \\
\mathbf{p}=E \mathbf{V} / c^{2},
\end{array}
\]

где $\mathbf{V}$ – скорость системы частиц как целого, т. е. скорость Ц-системы. Эту скорость, согласно (7.32), можно представить в таком виде:
\[
\mathbf{V}=\frac{\sum \mathrm{p}_{i}}{\sum m_{l}},
\]

где $m_{i}$ – релятивистская масса $i$-й частицы системы. Заметим, что (7.33) по форме совпадает с соответствующим нерелятивистским выражением (4.9) для скорости центра масс системы.

Столкновение двух частиц.
Рассмотрим процесс столкновения, происходящим в два этапа: сначала образование некоторой составной частицы $A^{*}$ и затем ее распад на какие-то в общем случае другие частицы:
\[
A_{1}+A_{2} \rightarrow A^{*} \rightarrow A_{3}+A_{4}+\ldots .
\]

В процессе сближения частиц $A_{1}$ и $A_{2}$ взаимодействие между ними может становиться не малым, и формулы (7.28) теряют свою применимость. Однако после того, как возникшие частицы разойдутся на большое расстояние друг от друга, эти формулы опять применимы.

В данном случае можно показать, что сумма полных энергий двух исходных частиц (когда они находятся настолько далеко друг от друга, что их взаимодействие пренебрежимо мало) равна полной энергии составной частицы. Это же относится и ко второй стадии процесса-распаду. Другими словами, можно показать, что для этого процесса оказывается справедливым закон сохранения полной энергии в таком виде:
\[
E_{1}+E_{2}=E^{*}=E_{3}+E_{4}+\ldots .
\]

Убедимся, что это именно так, на следующем простом примере.

Представим себе столкновение двух одинаковых частиц 1 и 2 , в результате которого образуется некоторая составная частица. Пусть частицы до столкновения движутся навстречу друг другу в $K$-системе с одинаковыми скоростями $v$, как показано на рис. 7.6. Рассмотрим теперь этот процесс в $K^{\prime}$-системе, движущейся влево со скоростью $\mathbf{V}$ относительно $K$ системы. Так как в $K$-системе скорость каждой частицы перпендикулярна вектору $\mathbf{V}$, то, согласно (6.14), обе частицы в $K^{\prime}$-системе имеют $x$-компоненту скорости, равную $V$. Такую же скорость в $K^{\prime}$-системе будет иметь и образовавшаяся частица, peлятивистскую массу которой обозначим $M$. Из закона сохранения импульса до и после столкновения получим

(для $x$-составляющей импульса) $2 m\left(v^{\prime}\right) V=M V$, где $v^{\prime}-$ скорость каждой исходной частицы в $K^{\prime}$-системе. Отсюда
\[
2 m\left(v^{\prime}\right)=M,
\]
т. е. сумма релятивистских масс исходных частиц равна релятивистской массе образовавшейся частицы. Аналогично дело обстоит и в $K$-системе. Действительно, при очень малом значении скорости $V$ скорость $v^{\prime}$ практически равна $v$, а масса $M$ – массе покоя $M_{0}$ образовавшейся частицы, так что в $K$-системе
\[
2 m(v)=M_{0} .
\]

Отсюда видно, что масса покоя образовавшейся частицы больше суммы масс покоя исходных частиц. Кинетическая энергия исходных частиц претерпела превращение, в результате которого масса покоя образовавшейся частицы превысила сумму масс покоя исходных частиц.

Итак, мы показали, что вследствие сохранения импульса системы сумма релятивистских масс исходных частиц равна релятивистской массе образовавшейся частицы. Это же, очевидно, относится и к полной энергии. Поэтому можно утверждать, что сохранение полной энергии в форме (7.34) действительно имеет место для рассматриваемых стадий этого процесса.

Применение закона сохранения энергии к ядерным процессам позволило, как уже говорилось в конце $\$ 7.3$, экспериментально проверить справедливость одного из фундаментальных законов теории относительности закона взаимосвязи массы и энергии. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Энергетический выход ядерных реакций. Возьмем ядерную реакцию типа
\[
A_{1}+A_{2} \rightarrow A_{3}+A_{4},
\]

где слева – исходные ядра, справа – ядра – продукты реакции. Применим к этой реакции закон сохранения полной энергии:
\[
E_{1}+E_{2}=E_{3}+E_{4} .
\]

Имея в виду, что полная энергия каждой частицы может быть представлена как $E=m_{0} c^{2}+T$, где $m_{0}$ – масса покоя соответствующего ядра, $T$ – его кинетическая энергия, перепишем предыдущее равенство так:
\[
\left(m_{1}+m_{2}\right) c^{2}+T_{12}=\left(m_{3}+m_{4}\right) c^{2}+T_{34},
\]

где $T_{12}$ и $T_{34}$ – суммарные кинетические энергии ядер до и после реакции. Отсюда
\[
T_{34}-T_{12}=\left(m_{1}+m_{2}\right) c^{2}-\left(m_{3}+m_{4}\right) c^{2} .
\]

Левая часть этого равенства есть приращение суммарной кинетической энергии ядер данной системы – то, что называют энергетическим выходом ядерной реакции и обозначают $Q$. Итак,
\[
Q=\left[\left(m_{1}+m_{2}\right)-\left(m_{3}+m_{4}\right)\right] c^{2} .
\]

Эта величина может иметь любой знак – в зависимости от характера той или иной ядерной реакции. Таким образом, энергетический выход ядерной реакции определяется разностью суммарных масс покоя ядер до и после реакции. Все величины, входящие в это соотношение, могут быть экспериментально измерены с достаточно высокой точностью, тем самым можно проверить и само равенство.
Рассмотрим конкретную ядерную реакцию:
\[
7 \mathrm{Li}+1 \mathrm{H} \rightarrow 2^{4} \mathrm{He}
\]

Измеренные массы покоя этих ядер (в атомных единицах массы а. е. м.) равны соответственно $7,0160,1,0078$ и 4,0024 а. е. м. Отсюда нетрудно подсчитать, что сумма масс покоя ядер в результате ядерной реакции уменьшилась на 0,019 а. е. м. Учитывая, что 1 а. е. м. соответствует энергии 931,4 МэВ, найдем $Q=0,019 \cdot 931,4$ МэВ $=$ $=17,7 \mathrm{M}$ В. Этот результат с большой точностью совпадает с данными эксперимента.

Пример 2. Распад частицы. Пусть покоящаяся частица $A_{1}$ самопроизвольно распадается на частицы $A_{2}$ и $A_{3}$. Согласно закону сохранения полной энергии,
\[
E_{1}=E_{2}+E_{3} .
\]

Так как полная энергия каждой частицы $E=m_{0} c^{2}+T$, то предыдущее равенство примет вид

\[
m_{1} c^{2}=\left(m_{2}+m_{3}\right) c^{2}+T_{23},
\]

где $T_{23}$-суммарная кинетическая энергия образовавшихся частиц. Эту энергию называют энергией распада $Q$. Таким образом,
\[
Q=\left[m_{1}-\left(m_{2}+m_{3}\right)\right] c^{2} .
\]

Поскольку $Q$ – величина существенно положительная, самопроизвольный распад частицы возможен только при условии
\[
m_{1}>m_{2}+m_{3},
\]
т. е. если масса покоя первичной частицы больше суммы масс покоя возникающих частиц. В противном случае самопроизвольный распад невозможен. Эксперимент полностью подтверждает этот вывод.

Рассмотрим, например, распад $\pi$-мезона. Экспериментально установлено, что заряженные л-мезоны распадаются на мюон и нейтрино: $\pi \rightarrow \mu+
u$. Согласно табличным данным, массы покоя этих частиц (в единицах массы покоя электрона) равны соответственно 273,2, 206,8 и 0. Отсюда следует, что масса покоя в результате распада уменьшается на 66,4 электронной массы. Так как массе покоя электрона соответствует энергия 0,51 МэВ, то энергия данного распада $Q=66,4 \cdot 0,51$ МэВ $=34$ МэВ, что находится в точном соответствии с результатами эксперимента.

Тот факт, что в результате столкновения частиц и последующего затем распада составной частицы полная энергия системы (а значит, и ее импульс) не меняется, приводит к другому важному выводу: величина $E^{2}-p^{2} c^{2}$ для системы будет инвариантной не только по отношению к разным инерциальным системам отсчета, но и для указанных выше стадий процесса столкновения.

Пусть, например, две релятивистские частицы испытали столкновение, в результате которого образовалась новая частица с массой покоя $M_{0}$. Если в $K$-системе отсчета полные энергии частиц до столкновения равны $E_{1}$ и $E_{2}$, а их импульсы – соответственно $\mathrm{p}_{1}$ и $\mathrm{p}_{2}$, то мы сразу можем записать, что при переходе от $K$-системы (до столкновения) к $Ц$-системе (после столкновения) будет выполняться следующее равенство:
\[
\underbrace{\left(E_{1}+E_{2}\right)^{2-}\left(\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}\right)^{2} c^{2}}_{K \text {-система }}=\underbrace{M_{0}^{2} c^{4},}_{\text {L-сисема }}
\]

где учтено, что в $L$-системе образовавшаяся частица покоится.

Инвариантность величины $E^{2}-p^{2} c^{2}$ дает нам незаменимый инструмент при изучении различных процессов распада и столкновения релятивистских частиц, с помощью которого чрезвычайно упрощается как анализ самих процессов, так и соответствующие расчеты.

Пример. В $K$-системе отсчета частица с массой покоя $m_{0}$ и кинетической энергией $T$ налетает на другую, покоящуюся, частицу с той же массой покоя. Найдем массу покоя $M_{0}$ и скорость $V$ составной частицы, образовавшейся в результате столкновения.
Воспользовавшись инвариантностью величины $E^{2}-p^{2} c^{2}$, запишем
\[
E^{2}-p^{2} c^{2}=M_{0}^{2} c^{4},
\]

где левая часть равенства относится к $К$-системе отсчета (до столкновения), а правая – к Ц-системе (после столкновения). В данном случае $E=T+2 m_{0} c^{2}$. Кроме того, согласно $(7.15), p^{2} c^{2}=T\left(T+2 m_{0} c^{2}\right)$. Поэтому
\[
\left(T+2 m_{0} c^{2}\right)^{2}-T\left(T+2 m_{0} c^{2}\right)=M_{0}^{2} c^{4} .
\]

Отсюда
\[
M_{0}=\frac{1}{c}, \sqrt{2 m_{0}\left(T+2 m_{0} c^{2}\right)} .
\]

Скорость образовавшейся частицы – это скорость Ц-системы. Согласно $(7.32)$,
\[
V=p c^{2} / E=c \sqrt{T /\left(T+2 m_{0} c^{2}\right)} .
\]

Задачи

Внимание! В задачах $7.4-7.11$ использованы сокращенные обозначения, приведенные в конце $\$ 7.4$ (например, $p$ и $m_{0}$ – это сокращенные записи величин $p c$ и $m_{0} c^{2}$ ).

7.1. Движение под действием продольной силы. Частица с массой покоя $m_{0}$ начала двигаться под действием постоянной силы $\mathrm{F}$. Найти зависимость скорости частицы от времени.
Решение. Умножим обе части уравнения (7.5) на $\mathrm{d} t$, тогда
\[
\mathrm{d}\left(\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}\right)=F \mathrm{~d} t .
\]

Проинтегрировав это выражение с учетом того, что в начальный момент $v=0$, получим $m_{0} v / \sqrt{1-(v / c)^{2}}=F t$. Отсюда
\[
v(t)=\frac{F t / m_{0}}{\sqrt{1+\left(F t / m_{0} c\right)^{2}}} .
\]

Сравним полученное выражение с ньютоновским. Согласно второму закону Ньютона, $a=F / m_{0}$ и скорость $v_{\text {н }}=F t / m_{0}$, поэтому предыдущее выражение для скорости $v(t)$ можно представить так:
\[
v(t)=\frac{v_{\mathrm{H}}}{\sqrt{1+\left(v_{\mathrm{H}} / c\right)^{2}}} .
\]

Отсюда видно, что $v<v_{\text {н }}$, т. е. действительная скорость $v$ частицы растет со временем медленнее, чем $v_{\text {н }}$, причем при $t \rightarrow \infty$ скорость $v \rightarrow c$ (рис. 7.7).

Интересно, что импульс частицы при этом будет расти линейно со временем: из уравнения $\mathrm{d} \mathbf{p} / \mathrm{d} t=\mathbf{F}$ следует, что $p=F t$. В этом ха-

рактерная особенность релятивистского движения: в то время как скорость частицы стремится к определенному пределу (т. е. практически устанавливается), импульс частицы продолжает расти.

7.2. Движение под действием поперечной силы. Релятивистская частица с массой покоя $m_{0}$ и зарядом $q$ движется в постоянном однородном магнитном поле, индукция которого В. Движение происходит по окружности радиуса $\rho$ в плоскости, перпендикулярной вектору В. Найти импульс и круговую частоту обращения частицы по окружности.

Решение. В данном случае частица движется под действием силы Лоренца $\mathrm{F}=$ $=q[\mathbf{v B}]$, где $\mathbf{v}$ – скорость частицы. Так как $\mathbf{F} \perp \mathbf{V}$, то модуль скорости частицы $v=$ const и уравнение (7.5) принимает вид
\[
m \mathrm{a}=q[\mathbf{v B}],
\]

где $\quad m$-релятивистская масса частицы. Имея в виду, что а представляет собой нормальное ускорение, равное по модулю $v^{2} /$, перепинем предыдущее уравнение так: $m v^{2} / \rho=q v B$. Отсюда импульс частицы
\[
p=m v=q \rho B .
\]

Видно, что произведение $\rho B$ может служить мерой релятивистского импульса частицы.

Период обращения частицы по окружности $T=2 \pi \rho / v$, откуда круговая частота обращения $\omega=2 \pi / T=v / \rho$. Учитывая (1), получим $\omega=q B / m$.

Значит, круговая частота ю зависит от скорости частицы: чем больше скорость частицы, а следовательно, и ее релятивистская масса $m$, тем меньше частота $\omega$. Однако при малых скоростях ( $v \ll c) m \rightarrow m_{0}$ и
\[
\omega=q B / m_{0}=\text { const },
\]
т. е. при нерелятивистских скоростях частота $\omega$ практически не зависит от скорости.

7.3. Релятивистский протон с импульсом $\mathrm{p}_{0}$ влетел в момент $t=0$ в область, где имеется поперечное однородное электрическое поле с напряженностью E, причем $\mathrm{p}_{0} \perp$ E. Найти зависимость от времени угла $\vartheta$, на который протон будет отклоняться от первоначального направления движения.

Решение. Выбрав оси координат ( $x$ – вдоль вектора ро, $y$ вдоль вектора Е), залншем уравнение (7.4) в проекциях на эти оси:
\[
\mathrm{d} p_{x} / \mathrm{d} t=0, \quad \mathrm{~d} p_{y} / \mathrm{d} t=e E,
\]

где $e$-заряд протона. Из этих уравнений следует, что $p_{x}=p_{0}, p_{y}=$ $=e E t$, или

\[
\frac{m_{0} v_{x}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}=p_{0}, \frac{m_{0} v_{y}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}=e E t .
\]

Взяв отношение последних двух равенств, найдем
\[
\operatorname{tg} \vartheta=v_{y} / v_{x}=e E t / p_{0} .
\]

Интересно отметить, что в отличие от нерелятивистского случая здесь $v_{x}$ уменьшается со временем. Чтобы в этом убедиться, возведем оєа равенства (1) в квадрат и затем сложим отдельно их левые н правые части:
\[
\frac{m_{0}^{2}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}{1-(v / c)^{2}}=p_{0}^{2}+(e E t)^{2} .
\]

Заметив, что $v_{x}^{2}+v_{y}^{2}=v^{2}$, получим
\[
\left(\frac{v}{c}\right)^{2}=\left[1+\frac{m_{0}^{2} c^{2}}{p_{0}^{2}+(e E t)^{2}}\right]^{-1} .
\]

Подставив это выражение в первое из (1), найдем
\[
v_{x}=\frac{c}{\sqrt{1+\left(m_{0} c / p_{0}\right)^{2}+\left(e E t / p_{0}\right)^{2}}},
\]
т. е. действительно, $v_{x}$ уменьшается с ростом $t$.

7.4. Симметричное упругое рассеяние. Релятивистский протон с кинетической энергией $T$ испытал упругое столкновение с покоившимся протоном, в результате чего оба протона разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения. Найти угол между направлениями разлета протонов после столкновения.

Решение. При симметричном разлете протонов их импульсы и энергии должны быть одинаковы по модулю. Это сразу видно из треугольника импульсов (рис. 7.8), выражающего закон сохранения импульсов. Из этого треугольника, согласно теореме косинусов, следует, что $p^{2}=2 p^{\prime 2}+2 p^{\prime 2} \cos \theta$, откуда
\[
\cos \theta=p^{2} / 2 p^{\prime 2}-1 .
\]

Воспользовавшись формулой (7.25) и учтя, что $T=2 T^{\prime}$, где $T^{\prime}-$ кинетическая энергия каждого протона после столкновения, найдем
\[
\frac{p^{2}}{p^{\prime 2}}=\frac{T\left(T+2 m_{0}\right)}{T^{\prime}\left(T^{\prime}+2 m_{0}\right)}=4 \frac{T+2 m_{0}}{T+4 m_{0}},
\]

где $m_{0}$ – масса покоя протона. После подстановки этого выражения в формулу для $\cos \theta$ получим
\[
\cos \theta=T /\left(T+4 m_{0}\right) .
\]

Заметим, что в отличие от нерелятивистского случая, когда $\theta=\pi / 2$, здесь $\theta<\pi / 2$.

7.5. Рассеяние фотона на электроне. Фотон с энергией $\varepsilon$ испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне. Найти энергию $\varepsilon^{\prime}$ рассеянного фотона, если угол между направлениями движения рассеянного и налетающего фотонов равен $\vartheta$.

Решение. Воспользуемся законами сохранения энергии и импульса. В данном процессе
\[
T_{e}=\varepsilon-\varepsilon^{\prime}, \quad \mathbf{p}_{e}=\mathbf{p}-\mathbf{p}^{\prime},
\]

где $T_{e}$ и $\mathbf{p}_{e}$ – кинетическая энергия и импульс электрона отдачи, $\mathbf{p}$ и $\mathrm{p}^{\prime}$ – импульсы налетающего и рассеянного фотонов. Из треугольника импульсов (рис. 7.9), согласно теореме косинусов, следует, что
\[
p_{e}^{2}=p^{2}+p^{\prime 2}-2 p p^{\prime} \cos \vartheta .
\]

Подставив сюда $p=\varepsilon, p^{\prime}=\varepsilon^{\prime}$ и
\[
p_{e}=\sqrt{T_{e}\left(T_{e}+2 m_{e}\right)}=\sqrt{\left(\varepsilon-\varepsilon^{\prime}\right)\left(\varepsilon-\varepsilon^{\prime}+2 m_{e}\right)},
\]

Рис. 7.8
Рис. 7.9

где $m_{c}$ – масса покоя электрона, получим после несложных преобра. зований
\[
\varepsilon^{\prime}=\frac{\varepsilon}{1+2\left(\varepsilon / m_{e}\right) \sin ^{2}(\vartheta / 2)} .
\]

7.6. К методу встречных пучков. Два протона движутся навстречу друг другу с одинаковыми кинетическими энергиями $T$ (в $K$-системе отсчета). Найти кинетическую энергию $T^{\prime}$ одного протона в $K^{\prime}$-системе отсчета, где другой протон покоится.

Решение. Воспользуемся инвариантностью величины $E^{2}-p^{2}$, записав ее в $K$-системе (она здесь является одновременно и $Ц$-системой), а также в $K^{\prime}$-системе:
\[
\left[2\left(T+m_{0}\right)\right]^{2}=\left(T^{\prime}+2 m_{0}\right)^{2}-T^{\prime}\left(T^{\prime}+2 m_{0}\right),
\]

где $m_{0}$ – масса покоя протона. Отсюда
\[
T^{\prime}=2 T\left(T+2 m_{0}\right) / m_{0} .
\]

Например, для протонов ( $m_{0} \approx 1$ ГэВ) при $T=50$ ГэВ величина $T^{\prime}=5 \cdot 10^{3}$ ГэВ. Возможность получения такого большого «выигрыша» в энергии лежит в основе метода встречных пучков.

7.7. Энергетическая схема ядерной реакции. Частица $A_{1}$ с кинетической энергией $T_{1}$ налетает на покоящееся ядро $A_{2}$ (в $K$-системе). В результате реакции образуются ядра $A_{3}$ и $A_{4}$ :
\[
A_{1}+A_{2} \rightarrow A_{3}+A_{4} .
\]

Массы покоя частиц равны соответственно $m_{1}, m_{2}, m_{3}, m_{4}$. Изобразить энергетическую схему ядерной реакции для двух случаев а) $\left.\left(m_{1}+m_{2}\right)>\left(m_{3}+m_{4}\right) ; \sigma\right)\left(m_{1}+m_{2}\right)<\left(m_{3}+m_{4}\right)$.

Найти для второго случая пороговую кинетическую энергию $T_{1 \text { пор }}$ налетающей частицы в $K$-системе отсчета.

Решение.
Из закона сохранения полной энергии следует, что в $L$-системе
\[
\tilde{T}_{12}+m_{1}+m_{2}=\tilde{T}_{34}+m_{3}+m_{4},
\]

где $\widetilde{T}_{12}$ и $\widetilde{T}_{34}$– суммарные кинетические энергии частиц до и после реакции. Обозначив приращение кинетической энергии $\widetilde{T}_{34}-\widetilde{T}_{12}$ через $Q$, запишем предыдущее выражение так:
\[
Q=\left(m_{1}+m_{2}\right)-\left(m_{3}+m_{4}\right) .
\]

Величину $Q$ называют энергетическим выходом ядерной реакции или, короче, энергией реакции.

Рис. 7.10

Энергетическая схема ядерной реакции показана на рис. 7.10. В случае а эффект будет положительным, $Q>0$ : суммарная кинетическая энергия увеличивается за счет уменьшения суммы масс покоя частиц системы; в случае б – наоборот.

В последнем случае, как видно из рис. 7.10 , б, ядерная реакция возможна лишь при условии $\widetilde{T}_{12} \geqslant|Q|$, где знак равенства соответствует пороговому значению энергии $\widetilde{T}_{12}$. При нерелятивистских скоростях, согласно (4.16), $\tilde{T}_{12}=1 / 2 \mu v_{\text {отн }}^{2}$ или
\[
\widetilde{T}_{12}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} T_{1} .
\]

Отсюда, имея в виду, что $T_{12}=|Q|$ и $T_{1}=T_{1 \text { пор }}$, получим
\[
T_{1 \text { пор }}=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{2}}|Q| .
\]

7.8. Пороговая энергия. Релятивистская частица с массой покоя $m_{0}$ налетает на покоящуюся частицу с массой покоя $M_{0}$. В результате столкновения возникают частицы с массами покоя $m_{1}$, $m_{2}, \ldots$ по схеме
\[
m_{0}+M_{0} \rightarrow m_{1}+m_{2}+\ldots .
\]

Найти пороговую (минимальную) кинетическую энергию $T_{\text {пор }}$ налетающей частицы, необходимую для осуществления данного процесса.

Решение.
Прежде всего ясно, что о пороговой энергии может идти речь только в том случае, когда сумма масс покоя возникших частиц превышает сумму масс покоя первичных частиц. Чтобы найти $T_{\text {пор }}$, воспользуемся инвариантностью величины $E^{2}-p^{2}$. Запишем эту величину до столкновения при $T=T_{\text {пор }}$ в системе отсчета, где частица $M_{0}$ покоилась, и после столкновения – в $Ц$-системе: $E^{2}-p^{2}=\widetilde{E}^{2}$, или
\[
\left(T_{\text {пор }}+m_{0}+M_{0}\right)^{2}-T_{\text {пор }}\left(T_{\text {пор }}+2 m_{0}\right)=\left(m_{1}+m_{2}+\ldots\right)^{2} .
\]

Здесь учтено, что в $Ц$-системе кинетическая энергия возникших частиц равна нулю на пороге реакции, поэтому их полная энергия равна просто сумме масс покоя отдельных частиц. Из последнего уравнения находим
\[
T_{\text {rop }}=\frac{\left(m_{1}+m_{2}+\ldots\right)^{2}-\left(m_{0}+M_{0}\right)^{2}}{2 M_{0}} .
\]

7.9. Найти пороговую энергию фотона для рождения пары электрон – позитрон в поле покоящегося протона, если массы покоя электрона и позитрона равны $m_{0}$, а протона – $M_{0}$.

Решение. Воспользуемся инвариатностью величины $E^{2}-p^{2}$ и запишем ее до взаимодействия в системе отсчета, где протон покоится, а после взаимодействия – в Ц-системе. При пороговом значении энергии $\varepsilon$ налетающего фотона
\[
\left(\varepsilon_{\text {IIOp }}+M_{0}\right)^{2}-\varepsilon_{\text {пор }}^{2}=\left(M_{0}+2 m_{0}\right)^{2} .
\]

Отсюда
\[
\varepsilon_{\text {пор }}=2 m_{0}\left(1+m_{0} / M_{0}\right) .
\]

Видно, что для рождения пары необходимо, чтобы энергия фотона была больше $2 m_{0}$ (этого требует закон сохранения импульса).

7.10. Энергии частиц в Ц-системе. Фотон с энергией $\varepsilon$ в лабораторной системе отсчета налетает на неподвижную частицу $A$, масса покоя которой равна $m_{0}$. Найти:

1) скорость Ц-системы этих двух частиц;
2) энергию фотона и частицы $A$ в данной $L$-системе.
Решение 1. Согласно формуле (7.32), скорость $Ц$-системы
\[
\beta_{C}=p / E=\varepsilon /\left(m_{3}+\varepsilon\right) .
\]
2. Из преобразования (7.26) для энергии следует, что в $Ц$-системе энергия фотона
\[
\widetilde{\varepsilon}=\left(\varepsilon-\beta_{C} p\right) / \sqrt{1-\beta_{C}^{2}},
\]

где $\beta_{c}$-скорость $Ц$-системы. Подставив сюда $p=\varepsilon$ и выражение для $\beta_{c}$ из предыдущего пункта, получим
\[
\tilde{\varepsilon}=\frac{\varepsilon}{\sqrt{1+2 \varepsilon / m_{0}}} .
\]

Частица $A$ движется в $L$-системе со скоростью $\beta=\beta_{c}$, поэтому ее полная энергия в Ц-системе

\[
\widetilde{E}_{A}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\beta_{C}^{2}}}=\frac{m_{0}+\varepsilon}{\sqrt{1+2 \boldsymbol{\varepsilon} / m_{0}}} .
\]

В правильности полученных формул можно убедиться, воспользовавшись инвариантностью величины $E^{2}-p^{2}$ при переходе от лабораторной к $Ц$-системе отсчета:
\[
\left(\varepsilon+m_{0}\right)^{2}-\varepsilon^{2}=\left(\tilde{\varepsilon}+\widetilde{E}_{A}\right)^{2} .
\]

7.11. Распад движущейся частицы. Релятивистский $\pi^{0}$-мезон с массой покоя $m_{0}$ распался на лету на два $\gamma$ фотона с энергиями $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$ (в $K$-системе отсчета). Найти угол $\theta$ между направлениями разлета этих фотонов.

Решение. Исходя из инвариантности величины $E^{2}-p^{2}$, запишем ее до распада в Ц-системе, а после распада — в $К$-системе:
\[
m_{0}^{2}=\left(\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}\right)^{2}-\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2} .
\]

где $\mathrm{p}_{1}$ и $\mathrm{p}_{2}$ – импульсы фотонов. Преобразуем правую часть этого уравнения, учитывая, что $p_{1}=\varepsilon_{1}$ и $p_{2}=\varepsilon_{2}$. Тогда
\[
m_{0}^{2}=2 \varepsilon_{1} \varepsilon_{2}-2 \mathbf{p}_{1} p_{2}=2 \varepsilon_{1} \varepsilon_{2}(1-\cos \theta) .
\]

Отсюда
\[
\sin \frac{\theta}{2}=\frac{m_{0}}{2 \sqrt{\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}}} .
\]