Предварительные сведения.
В этом параграфе мы рассмотрим различные случаи столкновения двух частиц,

используя в качестве инструмента исследования только законы сохранения импульса и энергии. При этом мы увидим, что законы сохранения позволяют сделать ряд весьма общих и существенных заключений о свойствах данного процесса вне какой-либо зависимости от конкретного закона взаимодействия частиц.

Попутно покажем, какие преимущества дает $I L$-система, использование которой, как будет видно, значительно упрощает анализ процесса и многие расчеты.

Хотя мы будем говорить о столкновении частиц, необходимо сразу же оговорить, что все последующие рассуждения и выводы в равной степени относятся и к столкновению любых тел. Надо только иметь в виду, что вместо скорости частицы следует брать скорость центра масс каждого тела, а вместо кинетической энергии частицы – ту часть кинетической энергии каждого тела, которая характеризует его движение как целого.

Прежде чем переходить к рассмотрению теории столкновений, приведем несколько важных и полезных соотношений для системы из двух частиц в ее $L$-системе отсчета.

Ранее (в конце §3.4) были получены выражения (3.12) для импульса каждой частицы в $Ц$-системе. Запишем эти выражения в такой форме:
\[
\tilde{\mathbf{p}}_{1}=\mu\left(\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2}\right), \quad \tilde{\mathbf{p}}_{2}=\mu\left(\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1}\right),
\]

где $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ – скорости частиц в исходной системе отсчета, $\mu$-так называемая приведенная масса системы,
$m_{1}$ и $m_{2}$ – массы частиц.
Из формул (4.58) видно, что импульсы обеих частиц в $I$-системе одинаковы по модулю и противоположны по направлению, причем модуль импульса каждой частицы можно записать как

здесь $v_{\text {отн }}=\left|\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2}\right|-$ скорость одной частицы «относительно другой».

Теперь обратимся к кинетической энергии. Суммарная кинетическая энергия обеих частиц в $Ц$-системе

\[
\widetilde{T}=\tilde{T}_{1}+\tilde{T}_{2}=\tilde{p}^{2} / 2 m_{1}+\tilde{p}^{2} / 2 m_{2} .
\]

Так как, согласно (4.59), $1 / m_{1}+1 / m_{2}=1 / \mu$, то выражение для $\widetilde{T}$ примет следующий вид:

Если частицы взаимодействуют друг с другом, то полная механическая энергия частиц в $Ц$-системе
\[
\widetilde{E}=\widetilde{T}+U,
\]

где $U$ – потенциальная энергия взаимодействия данных частиц.

В дальнейшем при рассмотрении столкновений частиц будем считать:
1) исходная $K$-система отсчета инерциальная,
2) система из двух частиц замкнутая,
3) импульсы (и скорости) частиц до и после столкновения соответствуют достаточно большим расстояниям между ними; при этом потенциальной энергией взаимодействия можно просто пренебречь.

Кроме того, величины, относящиеся к системе после столкновения, будем отмечать штрихом, а величины в $Ц$ системе – значком $\sim$ (тильда) сверху.

Перейдем к существу вопроса. Различают три типа столкновения частиц: абсолютно неупругое, абсолютно упругое и промежуточный случай – неупругое.

Абсолютно неупругое столкновение.
Это такое столкновение, в результате которого обе частицы «слипаются» и далее движутся как единое целое. Пусть две частицы, массы которых $m_{1}$ и $m_{2}$, имеют до столкновения скорости $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ (в $K$-системе). После столкновения образуется частица с массой $m_{1}+m_{2}$, что прямо следует из аддитивности массы в ньютоновской механике. Скорость $\mathbf{v}^{\prime}$ образовавшейся частицы можно найти сразу из закона сохранения импульса:
\[
\left(m_{1}+m_{2}\right) \mathbf{v}^{\prime}=m_{1} \mathbf{v}_{1}+m_{2} \mathbf{v}_{2} .
\]

Ясно, что скорость $\mathbf{v}^{\prime}$ равна скорости центра масс системы.

В $Ц$-системе этот процесс выглядит наиболее просто: до столкновения обе частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми импульсами $\tilde{p}$, а после столкновения образовавшаяся частица оказывается неподвижной.

При этом суммарная кинетическая энергия $\tilde{T}$ частиц целиком переходит во внутреннюю энергию $Q$ образовавшейся частицы, т. е. $\widetilde{T}=Q$. Отсюда с учетом формулы (4.61) найдем
\[
Q=\frac{\mu v_{\mathrm{OTH}}^{2}}{2}=\frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+n_{2}}\left(\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2}\right)^{2} .
\]

Таким образом, величина $Q$ для данной пары частиц зависит только от их относительной скорости.

Абсолютно упругое столкновение.
Это такое столкновение, в результате которого внутренняя энергия частиц не меняется, а поэтому не меняется и кинетическая энергия системы. Рассмотрим два частных случая; лобовое и не лобовое упругие столкновения.
1. Лобовое столкновение-обе частицы до и после столкновения движутся по од. ной и той же прямой.

Пусть до столкновения скорости частиц в $K$-системе отсчета равны $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ (частицы движутся или навстречу друг другу, или одна частица догоняет другую). Каковы скорости этих частиц после столкновения?

Рассмотрим этот процесс сначала в $Ц$-системе, где до и после столкновения обе частицы имеют одинаковые по модулю и противоположные по направлению импульсы (рис. 4.11). Более того, так как суммарная кинетическая энергия частиц до и после столкновения одинакова, как и их приведенная масса, то, согласно (4.61), импульс каждой частицы в результате столкновения изменит только направление на противоположное, не меняясь при этом по модулю, т. е. $\tilde{\mathrm{p}}_{i}{ }^{\prime}=-\tilde{\mathrm{p}_{i}}$, где $i=1,2$. Последнее относится и к скорости каждой частицы в Ц-системе:
\[
\tilde{\mathbf{v}}_{i}^{\prime}=-\tilde{\mathbf{v}}_{i} \text {. }
\]

Теперь найдем скорость каждой частицы после столкновения в $K$-системе отсчета. Для этого используем формулы преобразования скоростей при переходе от $L$ – к $K$ системе, а также предыдущее равенство. Тогда
\[
\mathbf{v}_{i}^{\prime}=\mathbf{v}_{C}+\tilde{\mathbf{v}}_{i}^{\prime}=\mathbf{v}_{C}-\tilde{\mathbf{v}}_{i}=\mathbf{v}_{C}-\left(\mathbf{v}_{i}-\mathbf{v}_{C}\right)=2 \mathbf{v}_{C}-\mathbf{v}_{i},
\]

где $\mathbf{V}_{C}$-скорость центра масс (IL-системы) в $K$-системе отсчета; эта скорость определяется формулой (3.9). Итак,

скорость $i$-й частицы в $k$-системе после столкновения есть
\[
\mathbf{v}_{i}^{\prime}=2 \mathbf{V}_{C}-\mathbf{v}_{i},
\]

где $i=1,2$. В проекциях на произвольную ось $x$ это равенство имеет вид
\[
v_{i x}^{\prime}=2 V_{C x}-v_{i x} .
\]

В частности, если массы частиц одинаковы, то легко убедиться, что частицы в результате столкновения просто обмениваются скоростями, т. е. $\mathbf{v}_{1}{ }^{\prime}=\mathbf{v}_{2}$ и $\mathbf{v}_{2}{ }^{\prime}=\mathbf{v}_{1}$.

Рис. 4.12
Рис. 4.13

2. Не лобовое столкновение. Ограничимся случаем, когда одна из частиц покоится до столкновения. Пусть в $K$-системе отсчета частица массы $m_{1}$ с импульсом $\mathrm{p}_{1}$ испытала упругое не лобовое столкновение с покоившейся частицей массы $m_{2}$. Каковы возможные импульсы этих частиц после столкновения?

Рассмотрим этот процесс также сначала в $Ц$-системе. Здесь, как и в предыдущем случае, обе частицы в любой момент времени до и после столкновения имеют одинаковые по модулю и противоположные по направлению импульсы. Кроме того, импульс каждой частицы не изменится по модулю в результате столкновения, т. е.
\[
\tilde{p}^{\prime}=\tilde{p} \text {. }
\]

Однако направление разлета частиц теперь будет иным. Оно будет составлять с первоначальным направлением движения некоторый угол $\tilde{\theta}$ (рис. 4.12), зависящий от закона взаимодействия частиц и их взаимного расположения в процессе столкновения.

Найдем импульс каждой частицы в $K$-системе отсчета после столкновения. С помощью формул преобразования скоростей при переходе от $Ц$ – к $K$-системе получим:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{p}_{1}^{\prime}=m_{1} \mathbf{v}_{1}^{\prime}=m_{1}\left(\mathbf{V}_{C}+\tilde{\mathbf{v}}_{1}^{\prime}\right)=m_{1} \mathbf{V}_{C}+\tilde{\mathbf{p}}_{1}^{\prime}, \\
\mathbf{p}_{2}^{\prime}=m_{2} \mathbf{v}_{2}^{\prime}=m_{2}\left(\mathbf{V}_{C}+\tilde{\mathbf{v}}_{2}^{\prime}\right)=m_{2} \mathbf{V}_{C}+\tilde{\mathbf{p}}_{2}^{\prime},
\end{array}
\]

где $\mathbf{V}_{C}$ – скорость $L$-системы относительно $K$-системы отсчета.

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств с учетом того, что $\tilde{\mathbf{p}}_{1}{ }^{\prime}=-\tilde{\mathbf{p}}_{2}{ }^{\prime}$, получим
\[
\mathbf{p}_{1}^{\prime}+\mathbf{p}_{2}^{\prime}=\left(m_{1}+m_{2}\right) \mathbf{v}_{C}=\mathbf{p}_{1},
\]

как и должно быть в соответствии с законом сохранения импульса.

Построим теперь так называемую векторную диаграмму импульсов. Сначала изобразим вектор p $_{1}$ отрезком $A B$ (рис. 4.13), затем векторы $\mathbf{p}_{1}^{\prime}$ и $\mathbf{p}_{2}{ }^{\prime}$, каждый из которых представляет собой, согласно (4.65), сумму двух векторов.

Заметим, что это построение справедливо вне зависимости от угла $\tilde{\vartheta}$. Отсюда следует, что точка $C$ (рис. 4.13) может находиться только на окружности радиуса $\tilde{p}$ с центром в точке $O$, которая делит отрезок $A B$ на две части в отношении $A O: O B=m_{1}: m_{2}$. Более того, в рассматриваемом случае (частица массы $m_{2}$ покоится до столкновения) эта окружность проходит через точку $B$ конец вектора $\mathrm{p}_{\mathrm{I}}$, ибо отрезок $O B=\tilde{p}$. Действительно,
\[
O B=m_{2} V_{C}=m_{2} \frac{m_{1} v_{1}}{m_{1}+m_{2}},
\]

где $v_{1}$ – скорость налетающей частицы. А так как в нашем случае $v_{1}=v_{\text {отн }}$, то, согласно (4.59) и (4.60),
\[
O B=\mu v_{\text {отн }}=\tilde{p} .
\]

Таким образом, для построения векторной диаграммы импульсов, соответствующей упругому столкновению двух частиц (одна из которых первоначально покоилась) необходимо:
1) изобразить отрезок $A B$, равный импульсу $p_{1}$ налетающей частицы;
2) через точку $B$ – конец вектора $\mathrm{p}_{1}$ – провести окружность радиуса
\[
\tilde{p}=\mu v_{\text {отн }}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} p_{1},
\]
центр которой – точка $O$ – делит отрезок $A B$ на две части в отношении $A O: O B=m_{1}: m_{2}$.

Эта окружность есть геометрическое место точек всех возможных положений вершины $C$ треугольника импульсов $A B C$, стороны $A C$ и $C B$ которого и представляют собой возможные импульсы частиц после столкновения (в $K$-системе отсчета).

В зависимости от соотношения масс частиц точка $A$ начало вектора $p_{1}$ – может находиться внутри данной окружности, на ней или снаружи (рис. 4.14, а, б, в). При этом во всех трех случаях угол $\tilde{\vartheta}$ может принимать все
Рис. 4.14

значения от 0 до $\pi$. Возможные же значения угла рассеяния налетающей частицы $\vartheta_{1}$ и угла разлета частиц $\theta$ будут такими:
а) $m_{1}<m_{2} \quad 0<\vartheta_{1} \leqslant \pi \quad \theta>\pi / 2$
б) $m_{1}=m_{2} \quad 0<\vartheta_{1} \leqslant \pi / 2 \quad \theta=\pi / 2$
в) $m_{1}>m_{2} \quad 0<\boldsymbol{\vartheta}_{1} \leqslant \boldsymbol{\vartheta}_{1 \text { макс }} \quad \theta<\pi / 2$
Здесь $\vartheta_{1 \text { макс }}$ – предельный угол. Он определяется формулой
\[
\sin i_{1 \text { макс }}=m_{2} / m_{1},
\]

которая непосредственно следует из рис. 4.14, в:
\[
\sin v_{1 \text { макс }}=O C^{\prime} / A O=O B / A O=m_{2} / m_{1} .
\]

Кроме того, обнаруживается еще один интересный факт. В последнем случае $\left(m_{1}>m_{2}\right.$ ) под одним и тем же углом $\vartheta_{1}$ возможно рассеяние частицы $m_{1}$ как с импульсом $A C$, так и с импульсом $A D$ (рис. $4.14,8$ ), т. е. в этом случае решение неоднозначно. Аналогично обстоит дело и с частицей $m_{2}$.

И наконец, из той же векторной диаграммы импульсов можно найти связь между углами $\vartheta_{1}$ и $\tilde{\vartheta}$.

Этим исчерпываются сведения, которые можно получить о данном процессе, исходя из одних только законов сохранения импульса и энергии.

Мы видим, таким образом, что уже сами по себе законы сохранения импульса и энергии действительно позволяют сделать ряд важных заключений о свойствах рассматриваемого процесса. При этом особенно существен тот факт, что эти свойства имеют общий характер, т. е. совершенно не зависят от рода взаимодействия частиц.

Следует, однако, обратить внимание на одно принципиальное обстоятельство. Векторная диаграмма импульсов, в основе которой лежат законы сохранения импульса и энергии, давая нам полную картину всех возможных случаев разлета частиц после столкновения результат сам по себе весьма существенный, – совершенно не говорит о том, какой из этих возможных случаев реализуется конкретно. Для установления этого необходимо обратиться к более детальному рассмотрению процесса столкновения с помощью уравнений движения. При этом выясняется, например, что угол рассеяния $\vartheta_{1}$ налетающей частицы зависит от характера взаимодействия сталкивающихся частиц и от так называемого прицельного параметра*, неоднозначность же решения в случае $m_{1}>m_{2}$ объясняется тем, что один и тот же угол рассеяния $\vartheta_{1}$ может реализоваться при двух значениях прицельного параметра, причем независимо от закона взаимодействия частиц.

Указанное обстоятельство представляет собой очень характерную и принципиальную черту законов сохранения вообще. Законы сохранения никогда не дают и не могут дать однозначного ответа на вопрос о том, что́ произойдет. Но если, исходя из каких-либо других соображений, можно указать, что́ именно должно произойти, го законы сохранения дают ответ на вопрос, как это должно произойти.

Неупругое столкновение. Это такое столкновение, в результате которого внутренняя энергия разлетающихся частиц (или одной из них) изменяется, а следовательно изменяется и суммарная кинетическая энергия системы. Соответствующее приращение кинетической энергии системы принято обозначать через $Q$. В зависимости от знака $Q$ неупругое столкновение называют экзоэнергетическим $(Q>0)$ или эндоэнергетическим $(Q<0)$. В первом случае

кинетическая энергия системы увеличивается, во втором-уменьшается. При упругом столкновении, разумеется, $Q=0$.

Наша задача: найти возможные импульсы частиц после неупругого столкновения.

Этот вопрос наиболее просто решается в Ц-системе. Согласно условию, приращение суммарной кинетической энергии системы в данном процессе
\[
\tilde{T}^{\prime}-\tilde{T}=Q .
\]
что импульсы частиц после столкновения изменятся по модулю. Импульс каждой частицы после сголкновения $\tilde{p}^{\prime}$ легко найти, заменив $\widetilde{T}^{\prime}$ в (4.68) его выражением $\widetilde{T}=\tilde{p}^{\prime 2} / 2 \mu$. В результате получим
\[
\tilde{p}^{\prime}=\sqrt{2 \mu(\widetilde{T}+Q)} .
\]

Теперь рассмотрим тот же вопрос в $K$-системе отсчета, где частица массы $m_{1}$ с импульсом $\mathbf{p}_{1}$ ис. пытывает столкновение с покоя. щейся частицей массы $m_{2}$. Для определения возможных случаев разлета частиц после столкновения здесь также полезно восполь. зоваться векторной диаграммой импульсов. Ее построение анало. гично тому, как это было сделано для упругого столкновения. Им. пульс налетающей частицы $p_{1}=$ $=A B$ (рис. 4.15) делят точкой $O$ на две части, пропорциональные массам частиц ( $A O: O B=m_{1}: m_{2}$ ). Затем из точки $O$ проводят окружность радиуса $\tilde{p}^{\prime}$, определяемого формулой (4.69). Эта окружность и является геометрическим местом точек всех возможных положений вершины $C$ треугольника импульсов $A B C$, стороны $A C$ и $C B$ которого равны импульсам соответствующих частиц после столкновения.

Отметим, что теперь в отличие от упругого столкновения точка $B$ – конец вектора $\mathbf{p}_{1}$ – не лежит на окружности, а именно: при $Q>0$ эта точка находится внутри окружности, а при $Q<0$ – вне ее. Рис. 4.15 соответствует последнему случаю- эндоэнергетическому столкновению.

Порог. Существует много неупругих столкновений, в которых внутренняя энергия частиц способна изменяться только на совершенно определенную величину, зависящую от свойств самих частиц (таковы, например, неупругие столкновения атомов и молекул). Несмотря на это, экзоэнергетические столкновения ( $Q>0$ ) могут происходить при сколь угодно малой кинетической энергии налетающей частицы. Эндоэнергетические же процессы $(Q<0$ ) в таких случаях обладают порогом. Порогом называют минимальную кинетическую энергию налетающей частицы, начиная с которой данный процесс становится энергетически возможным.

Итак, пусть нам необходимо осуществить такое эндоэнергетическое столкновение, в котором внугренняя энергия частиц способна получить приращение не меньше некоторого значения $|Q|$. При каком условии такой процесс окажется возможным?

Этот вопрос наиболее просто решается также в Ц-системе, где ясно, что суммарная кинетическая энергия $T$ частиц до столкновеиия

во всяком случае должна быть не меньше $|Q|$, т. е. $T \geqslant|Q|$. Отсюда следует, что существует минимальное значение $\tilde{T}_{\text {мин }}=|Q|$, при котором кинетическая энергия системы целиком пойдет на увеличение внутренней энергии частиц, и частицы после столкновения остановятся в -системе.
Рассмотрим этот же вопрос в $K$-системе отсчета, где частица массы $m_{1}$ налетает на noкоящуюся частицу массы $m_{2}$. Так как в Ц-системе при $\tilde{T}_{\text {мин }}$ частицы после столкновения останавливаются, то это значит, что в $K$-системе при соответствующей пороговой кинетической энергии $T_{1 \text { пор }}$ налетающей частицы обе частицы после столкновения будут двигаться как единое целое, причем с суммарным импульсом, равным импульсу $\mathbf{p}_{1}$ налетающей частицы, и кинетической энергией $p_{\mathrm{l}}^{2} / 2\left(m_{1}+m_{2}\right)$. Поэтому
\[
\left.T_{1 \text { нор }}=\mid Q\right\rfloor+p_{1}^{2} / 2\left(m_{1}+m_{2}\right) .
\]

А так как $T_{1 \text { пор }}=p_{1}{ }^{2} / 2 m_{1}$, то, исключив $p_{1}{ }^{2}$ из этих двух уравнений, получим
\[
T_{1 \text { пор }}=\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{2}}|Q| .
\]

Это и есть та пороговая кинетическая энергия налетающей частицы, начиная с которой данный эндоэнергетический процесс становится энергетически возможным.

Заметим, что формула (4.70) играет большую роль особенно в атомной и ядерной физике. С помощью ее определяют как порог различных эндоэнергетических процессов, так и соответствующее им значение энергии $|Q|$.

Задачи

4.1. Работа и мощность. Қамень массы $m$ бросили с поверхности Земли под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $\mathbf{v}_{0}$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти мощность силы тяжести через $t$ секунд после начала движения, а также работу этой силы за первые $t$ секунд движения.

Решение. Скорость камня через $t$ секунд после начала движения $\mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}+\mathbf{g} t$. Мощность, развиваемая силой тяжести в этот момент,
\[
N=m \mathrm{gv}=m\left(\mathrm{gv}_{0}+g^{2} t\right) .
\]

В нашем случае $\mathrm{gv}_{0}=g v_{0} \cos (\pi / 2+\alpha)=-g v_{0} \sin \alpha$, поэтому
\[
N=m g\left(g t-v_{0} \sin \alpha\right) .
\]

Отсюда видно, что при $t<t_{0}=\left(v_{0} / g\right) \sin \alpha$ мощность $N<0$, а при $t>t_{0}$, наоборот, $N>0$.

Работа силы тяжести за первые $t$ секунд
\[
A=\int_{0}^{t} N \mathrm{~d} t=m g t\left(g t / 2-v_{0} \sin \alpha\right) .
\]

Графики зависимостей $N(t)$ и $A(t)$ показаны на рис. 4.16.

4.2. Консервативность сил поля. Имеются два стационарных силовых поля: 1) $\mathbf{F}=a y \mathbf{i}$; 2) $\mathbf{F}=a x \mathbf{i}+b y \mathbf{j}$, где $\mathbf{i}, \mathbf{j}$ – орты осей $x$ и $y$; $a$ и $b$ – постоянные. Консервативны ли силы этих полей?

Решение. Найдем работу силы каждого поля на пути от некоторой точки 1 ( $\left.x_{1}, y_{1}\right)$ до некоторой точки $2\left(x_{2}, y_{2}\right)$ :
1) $\delta A=\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=a y \mathrm{i} \mathrm{d}=a y \mathrm{~d} x, \quad A=a \int_{x_{1}}^{x_{2}} y \mathrm{~d} x$;
2) $\delta A=(a x \mathbf{i}+b y \mathbf{j}) \mathrm{d} \mathbf{r}=a x \mathrm{~d} x+b y \mathrm{~d} y$,
\[
A=a \int_{x_{1}}^{x_{2}} x \mathrm{~d} x+b \int_{y_{1}}^{y_{2}} y \mathrm{~d} y .
\]

В первом случае интеграл зависит от вида функции $y(x)$, т. е. от пути, поэтому первая сила неконсервативная. Во втором же случае оба интеграла не зависят от пути: они зависят только от координат начальной и конечной точек пути, следовательно, вторая сила консервативная.

4.3. Потенциальная энергия частицы в поле. Сила, действующая на частицу в некотором поле консервативных сил, имеет вид $\mathbf{F}=a(y \mathbf{i}+x \mathbf{j})$, где $a$ – постоянная, $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ – орты осей $x$ и $y$. Найти потенциальную энергию $U(x, y)$ частицы в этом поле.

Решение. Вычислим элементарную работу силы $\mathbf{F}$ на перемещении $\mathrm{dr}$ и представим ее, согласно (4.14), в виде убыли некоторой функции $U$. Эта функция и есть потенциальная энергия частицы в данном поле. Итак,
\[
\delta A=\mathrm{F} \mathrm{d}=a(y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y)=-\mathrm{d}(-a x y) .
\]

Отсюда $U(x, y)=-a x y+$ const.

4.4. О разных подходах к решению. Шарик массы $m$ подвесили на упругой невесомой нити, жесткость которой $\chi$. Затем шарик подняли так, чтобы нить оказалась в недеформированном состоянии, и без толчка отпустили. Найти максимальное удлинение $x_{m}$ нити в процессе движения шарика.

Решение. Рассмотрим три эквивалентных способа решения, основанных на энергетических соображениях.

1. Исходим из уравнения (4.29): приращение кинетической энергии шарика должно быть равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на него. В нашем случае это сила тяжести $m g$ и упругая сила со стороны нити $F_{\text {упр }}=x x$, где $x$ – удлинение нити. В начальном и конечном положениях шарика его кинетическая энергия равна нулю (ясно, что при максимальном растяжении нити ша-

рик остановится), поэтому, согласно (4.29), сумма работ $A_{\text {тнж }}+$ $+A_{\text {упр }}=0$, или
\[
m g x_{m}+\int_{0}^{x_{m}}(-x x) \mathrm{d} x=m g x_{m}-x x_{m}^{2} / 2=0 .
\]

Отсюда $x_{m}=2 \mathrm{mg} /$.
2. Можно рассматривать шарик в поле тяжести Земли. При таком подходе следует говорить о полной механической энергии шарика в поле тяжести Земли. Приращение этой энергии, согласно (4.31), равно работе сторонних сил. В данном случае сторонней силой надо считать силу упругости, приращение же полной механической энергии шарика равно приращению только его потенциальной энергии в поле тяжести Земли. Поэтому
\[
\Delta E=0-m g x_{m}=\int_{0}^{x_{m}}(-x x) \mathrm{d} x=-x x_{m}^{2} / 2 .
\]

Отсюда тот же результат для $x_{m}$.
Заметим, что можно было бы поступить и наоборот, т. е. рассматривать шарик в поле упругой силы, тогда роль сторонней силы играла бы сила тяжести. Полезно убедиться, что и в этом случае результат будет тем же.
3. И наконец, можно рассматривать шарик в поле, образованном совместным действием и силы тяжести, и упругой силы. Тогда сторонние силы отсутствуют и полная механическая энергия шарика в таком поле остается постоянной в процессе движения, т. е. $\Delta E=$ $=\Delta T+\Delta U=0$. При переходе шарика из начального положения в конечное (нижнее) $\Delta T=0$, а следовательно, и $\Delta U=\Delta U_{\text {тяж }}+\Delta U_{\text {упр }}=$ $=0$, или
\[
-m g x_{m}+x x_{m}^{2} / 2=0 .
\]

Результат опять тот же.

4.5. Небольшое тело массы $m$ поднимается без начальной скорости с поверхности Земли под действием двух сил: силы $\mathbf{F}$, меняющейся с высотой подъема $y$ по закону $\mathrm{F}=-2 \mathrm{mg}(1-a y)$, где $a$ – положительная постоянная, и силы тяжести $\mathrm{mg}$. Найти работу силы $\mathbf{F}$ на первой половине пути подъема и соответствующее приращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли. (Поле тяжести предполагается однородным.).

Решение. Сначала найдем весь путь подъема. В начале и конце пути скорость тела равна нулю, поэтому равно нулю и приращение кинетической энергии тела. Согласно же (4.29), $\Delta T$ равно алгебраической сумме работ $A$ силы $\mathbf{F}$ и силы тяжести. А так как $\Delta T=0$, то, значит, и $A=0$. Учитывая, что положительное направление оси $y$ взято вверх, запишем
\[
A=\int_{0}^{h}\left(F_{y}-m g\right) \mathrm{d} y=m g \int_{0}^{h}(1-2 a y) \mathrm{d} y=m g h(1-a h)=0 .
\]

Отсюда $h=1 / a$.

Работа силы $\mathbf{F}$ на первой половине пути подъема
\[
A_{F}=\int_{0}^{h / 2} F_{y} \mathrm{~d} y=2 m g \int_{0}^{h / 2}(1-a y) \mathrm{d} y=3 m g / 4 a .
\]

Соответствующее приращение потенциальной энергии
\[
\Delta U=m g h / 2=m g / 2 a .
\]

4.6. Потенциал и напряженность поля. Найти потенциал и напряженность гравитационного поля, созданного однородным шаром массы $M$ и радиуса $R$, в зависимости от расстояния $r$ до его центра.

Решение. Сначала определим потенциал поля, создаваемого тонким однородным сферическим слоем вещества массы $m$ и радиуса a. Для этого найдем потенциал $\mathrm{dq}$ в точке $P(r>a)$, который создает элементарный пояс $\mathrm{d} S$ данного слоя (рис. $4.17, a$ ). Если масса этого

Рис. 4.17

пояса $\mathrm{d} m$ и его точки находятся на расстоянии $x$ от точки $P$, то $\mathrm{d} \varphi=-\gamma \mathrm{d} m / x$. Учитывая, что $\mathrm{d} m=1 / 2 m \sin \vartheta \mathrm{d} \vartheta$, получим
\[
\mathrm{d} \varphi=-\frac{1}{2}(\gamma m / x) \sin \vartheta \mathrm{d} \vartheta .
\]

Далее, из теоремы косинусов (для $\triangle O A P$ ) следует, что $x^{2}=a^{2}+r^{2}$ $-2 a r \cos \vartheta$. Взяв дифференциал этого выражения, найдем
\[
x \mathrm{~d} x=a r \sin \vartheta \mathrm{d} \vartheta .
\]

Преобразуем (1) с помощью (2) к виду $\mathrm{d} \varphi=1 / 2(\gamma m / a r) \mathrm{d} x$ и проинтегрируем это уравнение по всему слою. Тогда
\[
\rho_{\text {вне }}=-\frac{1}{2}(\gamma m / a r) \int_{r-a}^{r+a} \mathrm{~d} x=-\gamma m / r .
\]

Таким образом, потенциал в точке $P$ вне тонкого однородного сферического слоя таков, как если бы вся масса этого слоя была сосредоточена в его центре.

Если же точка $P$ находится внутри слоя $(r<a)$, то предыдущие расчеты остаются в силе вплоть до интегрирования. Теперь пределы интегрирования по $x$ будут от $a-r$ до $a+r$. В результате

\[
\varphi_{\text {вну трн }}=-\gamma m / a,
\]
т. е. потенциал внутри слоя не зависит от положения точки $P$, а следовательно, он одинаков во всех точках внутри слоя.
Напряженность поля в точке $P$, согласно (4.26),
\[
G_{r}=-\frac{\partial \varphi}{\partial r}=\left\{\begin{array}{cl}
-\gamma m / r^{2} & \text { вне слоя, } \\
0 & \text { внутри слоя. }
\end{array}\right.
\]

Графики зависимостей $\varphi(r)$ и $G(r)$ для тонкого однородного сферического слоя показаны на рис. 4.17, б.
Рис. 4.18
Рис. 4.19
Обобщим полученные результаты на однородный шар массы $M$ и радиуса $R$. Если точка $P$ находится вне шара ( $r>R$ ), то из формулы (3) сразу следует
\[
\varphi_{\text {вне }}=-\gamma . M / r .
\]

Если же точка $P$ находится внутри шара $(r<R)$, то потенциал $\varphi$ в этой точке можно представить как сумму:
\[
\varphi_{\text {вну три }}=\varphi_{1}+\varphi_{2},
\]

где $\varphi_{1}$ – потенциал от шара радиуса $r, \varphi_{2}$ – потенциал от слоя с радиусами от $r$ до $R$. Согласно (5),
\[
\varphi_{1}=-\gamma \frac{M(r / R)^{3}}{r}=-\gamma \frac{M}{R^{3}} r^{2} .
\]

Потенциал же $\varphi_{2}$, создаваемый слоем, одинаков во всех точках внутри этого слоя. Проще всего $\varphi_{2}$ вычислить для точки, находящейся в центре слоя:
\[
\varphi_{2}=-\gamma \int_{r}^{R} \frac{\mathrm{d} M}{r}=-\frac{3}{2} \frac{\gamma M}{R^{3}}\left(R^{2}-r^{2}\right),
\]

где $\mathrm{d} M=3\left(M / R^{3}\right) r^{2} \mathrm{~d} r$ – масса тонкого слоя между радиусами $r$ и $r+\mathrm{d} r$. В результате
\[
\varphi_{\text {внутри }}=\varphi_{1}+\varphi_{2}=-1 / 2(\gamma M / R)\left(3-r^{2} / R^{2}\right) .
\]

Напряженность поля в точке $P$, как следует из (5) и (6),
\[
G_{\boldsymbol{r}}=-\frac{\partial \varphi}{\partial r}=\left\{\begin{array}{lll}
-\gamma M / r^{2} & \text { при } & r \geqslant R, \\
-\gamma M r / R^{3} & \text { при } & r \leqslant R .
\end{array}\right.
\]

Графики зависимостей $\varphi(r)$ и $G(r)$ для однородного шара радиуса $R$ показаны на рис. 4.18.

4.7. Космические скорости. Показать, что кинетическая энергия $T_{2}$, которую необходимо сообщить телу для удаления его за пределы земного притяжения, в два раза превышает кинетическую энергию $T_{1}$, необходимую для выведения этого тела на круговую орбиту искусственного спутника Земли (вблизи ее поверхности). Сопротивлением воздуха и вращением Земли пренебречь.

Решение. Найдем скорость $v_{1}$ тела, движущегося по круговой орбите. Согласно основному уравнению динамики,
\[
m v_{1}^{2} / R=m g,
\]

где $m$ – масса тела, $R$ – радиус орбиты, приблизительно равный радиусу Земли. Отсюда
\[
v_{1}=\sqrt{g R}=7,9 \text { км } / \mathrm{c} .
\]

Это первая космическая скорость.
Для того чтобы тело могло преодолеть поле тяготения Земли, ему необходимо сообщить вторую космическую скорость $v_{2}$. Ее можно найти из закона сохранения энергии: кинетическая энергия тела вблизи поверхности Земли должна быть равна глубине потенциальной ямы в этом месте. Последняя равна приращению потенциальной энергии тела в поле тяготения Земли между точками $r_{1}=R$ и $r_{2}=\infty$. Таким образом,
\[
m v_{2}^{2} / 2=\gamma m M / R,
\]

где $M$ – масса Земли. Отсюда
\[
v_{2}=\sqrt{2 \gamma M / R}=\sqrt{2 g R}=11 \mathrm{KM} / \mathrm{c} .
\]

Следовательно, $v_{2}=v_{1} \sqrt{2}$ и $T_{2}=2 T_{1}$.

4.8. Решение в неинерциальной системе отсчета. Плоскую жесткую спираль из гладкой проволоки, расположенную в горизонтальной плоскости, вращают с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг неподвижной вертикальной оси $O$ (рис. 4.19). По спирали скользит небольшая муфта $M$. Найти ее скорость $v^{\prime}$ относительно спирали как функцию расстояния $\rho$ от оси вращения $O$, если муфта начала двигаться от этой оси со скоростью $v_{0}^{\prime}$.

Решение. Этот вопрос наиболее целесообразно решать в системе отсчета, связанной со спиралью. Известно, что приращение кинетической энергии тела должно быть равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на тело. В нашем случае из всех сил работу будет совершать только центробежная сила инерции. Bсе остальные силы – сила тяжести, сила реакции со стороны спирали и сила Кориолиса – перпендикулярны скорости $\mathbf{v}^{\prime}$ муфты, поэтому работы не совершают.

Согласно уравнению (4.29),
\[
\frac{1}{2} m\left(v^{\prime 2}-v_{0}^{\prime 2}\right)=\int m \omega^{2} \rho^{\prime} \mathrm{d} \mathbf{r},
\]

где $m$-масса муфты, $\mathrm{dr}$ – ее элементарное перемещение относительно спирали. Так как скалярное произведение $\rho \mathrm{dr}=\rho(\mathrm{dr}) \rho=$ $=\rho \mathrm{d} \rho$, то интеграл оказывается равным $1 / 2 m \omega^{2} \rho^{2}$. Отсюда искомая скорость
\[
v^{\prime}=\sqrt{v_{0}^{\prime 2}+\omega^{2} p^{2}} .
\]

4.9. Система частиц. Три одинаковые заряженные частицы, каждая массы $m$ и с зарядом $q$, поместили в вершины углов равностороннего треугольника со стороной $a$. Затем частицы одновременно рсвободили, и они стали симметрично разлетаться под действием кулоновских сил отталкивания. Найти:
1) скорость каждой частицы в зависимости от расстояния $r$ между ними;
2) работу $A_{1}$, которую совершили кулоновские силы, действующие на каждую частицу при разлете их на очень большое расстояние друг от друга.

Решение. 1. Данная система замкнутая, поэтому для нее приращение кинетической энергии равно убыли потенциальной, т. ค
\[
\frac{3}{2} m v^{2}=3 k q^{2}(1 / a-1 / r)
\]

Отсюла
\[
v=\sqrt{2 k q} \overline{i(r-a) / m r a} .
\]

Видно, что при $r \rightarrow \infty$ скорость каждой частицы стремится к предельному значению
\[
v_{\text {макс }}=\sqrt{2 k q^{2} / m a} .
\]
2. Работа всех сил взаимодействия при изменении конфигурации этой системы равна убыли потенциальной энергии системы:
\[
A:=U_{1}-U_{2}=3 k q^{2} / a,
\]

где учтено, что в конечном положении $U_{2}=0$. Отсюда искомая работа
\[
A_{1}=1 / 3 \quad A=k q^{2} / a .
\]

Замечание. Следует обратить внимание на одну часто встречающуюся ошибку при решении подобного рода задач. Рассуждают гак: в начальном положении потенциальная энергия каждой частицы в поле других двух равна $2 k q^{2} / a$, а в конечном – нуль. Отсюда искомая работа $A_{1}=2 \mathrm{kq} / \mathrm{a}$. Қак видно, полученный результат отличается вдвое от (*). Почему?

Ошибка здесь в том, что поле, в котором перемещается каждая частица, нестационарное (ведь другие две частицы тоже перемещаются относительно друг друга), поэтому работа сил такого поля не может быть представлена как убыль потенциальной энергии частицы в поле.

4.10. Внутренняя механическая энергия системы. Система состоит из двух шариков с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, которые соединены между собой невесомой пружинкой. Шарикам сообщили скорости $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ соответственно, после чего система начала двигаться в однородном поле сил тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха и счигая, что в начальный момент пружинка не деформирована и $\mathbf{v}_{1} \perp \mathbf{v}_{2}$, найти внутреннюю механическую энергию данной системы в процессе движения.

Решение. Внутренняя механическая энергия системы – это ее энергия $\tilde{E}$ в $Ц$-системе. Здесь Ц-система движется с ускорением $\mathbf{g}$, поэтому в этой системе отсчета на каждый шарик действуют две внешние силы: сила тяжести $m_{i} \mathrm{~g}$ и сила инерции, равная $-m_{i} \mathrm{~g}$. Ясно, что суммарная работа этих внешних сил равна нулю (в Ц-системе), а следовательно, энергия $E$ меняться не будет. Чтобы ее найги, достаточно рассмотреть начальный момент, когда пружинка еще не деформирована и энергия $\tilde{E}$ равна только суммарной кинетической энергии $\widetilde{T}_{0}$ в Ц-системе. Воспользовавшись формулой (4.61), получим
\[
\widetilde{E}=\widetilde{T}_{0}=\frac{\mu}{2}\left(\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2}\right)^{2}=\frac{m_{1} m_{2}}{2\left(m_{1}+m_{2}\right)}\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right) .
\]

4.11. Столкновение частиц. В $K$-системе отсчета частица 1 массы $m_{1}$ налетает на покоящуюся частицу 2 массы $m_{2}$. Заряд каждой частицы равен q. Найти минимальное расстояние, на которое они сблизятся при лобовом «соударении», если кинетическая энергия частицы 1 вдали от частицы 2 равна $T_{1}$.

Решение. Рассмотрим процесс столкновения отдельно в $K$ – и Ц-системах отсчета.

1. В $K$-системе в момент наибольшего сближения обе частицы будут двигаться как единое целое со скоростью $v$, которую можно определить из закона сохранения импульса:
\[
p_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right) v,
\]

где $p_{1}$ – импульс налетающей частицы, $p_{1}=\sqrt{2 m_{1} T_{1}}$.
Из закона сохранения энергии следует, что
\[
T_{1}=1 / 2\left(m_{1}+m_{2}\right) v^{2}+\Delta U,
\]

где приращение потенциальной энергии системы $\Delta U=k q^{2} / r_{\text {мин }}$.
Исключив $v$ из этих двух уравнений, найдем
\[
r_{\text {мин }}=\left(1+m_{1} / m_{2}\right) k q^{2} / T_{1} .
\]

2. В Ц-системе решение наиболее просто: здесь суммарная кинетическая энергия частиц идет целиком на приращение потенциальной энергии системы частиц в момент их наибольшего сближения:
\[
\tilde{T}=\Delta U,
\]
где, согласно (4.61), $T=1 / 2 \mu v_{1}^{2}=T_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right), \Delta U=k q^{2} / r_{\text {мин }}$. Отсюда легко найти $r_{\text {мин }}$.

4.12. Частица массы $m_{1}$ с импульсом $p_{1}$ испытала упругое столкновение с покоившейся частицей массы $m_{2}$. Найти импульс $p_{1}^{\prime}$ первой частицы после столкновения, если в результате столкновения она рассеялась под углом $\vartheta$ к первоначальному направлению движения.
Решение. Из закона сохранения импульса (рис. 4.20) находим
\[
p_{2}^{\prime 2}=p_{1}^{2}+p_{1}^{\prime 2}-2 p_{1} p_{1}^{\prime} \cos \vartheta,
\]

где ${p_{2}}^{\prime}$ – импульс покоившейся частицы после столкновения.

Рис. 4.20
Рис. 4.21

Далее, из закона сохранения энергии следует, что $T_{1}=T_{1}{ }^{\prime}+T_{2^{\prime}}$, где $T_{1}^{\prime}$ и $T_{2}^{\prime}$ – кинетические энергии первой и второй частиц после столкновения. Преобразуем это равенство с помощью соотношения $T=p^{2} / 2 m$ к виду
\[
p_{2}^{\prime 2}=\left(p_{1}^{2}-p_{1}^{\prime 2}\right) m_{2} / m_{1} .
\]

Исключив ${p_{2}}^{\prime 2}$ из (1) и (2), получим
\[
p_{1}^{\prime}=p_{1} \frac{\cos \vartheta \pm \sqrt{\cos ^{2} \vartheta+\left(m_{2}^{2} / m_{1}^{2}-1\right)}}{1+m_{2} / m_{1}} .
\]

Если $m_{1}<m_{2}$, то физический смысл имеет только знак плюс перед корнем. Это следует из того, что при этом условии корень будет больше, чем $\cos \vartheta$, а так как $p_{1}^{\prime}$ – это модуль вектора, то, естественно, он не может быть отрицательным.

Если же $m_{1}>m_{2}$, то физический смысл имеют оба знака перед корнем – ответ в этом случае неоднозначен: под углом $\vartheta$ импульс рассеянной частицы может иметь одно из двух значений (это зависит от относительного расположения частиц в момент соударения). Последний случай соответствует векторной диаграмме, показанной на рис. 4.14, 8 .

4.13. Какую часть $\eta$ своей кинетической энергии теряет частица массы $m_{1}$ при упругом рассеянии под предельным углом на покоящейся частице массы $m_{2}\left(m_{1}>m_{2}\right)$ ?

Решение. Пусть $T_{1}, p_{1}$ и $T_{1}^{\prime}, p_{1}^{\prime}$ – кинетическая энергия и импульс налетающей частицы до и после рассеяния. Тогда
\[
\eta=\left(T_{1}-T_{1}^{\prime}\right) / T_{1}=1-T_{1}^{\prime} / T_{1}=1-\left(p_{1}^{\prime} / p_{1}\right)^{2},
\]
т. е. задача сводится к нахождению отношения $p^{\prime}{ }_{1} / p_{1}$.

Воспользуемся векторной диаграммой импульсов, соответствующей предельному углу $\vartheta_{1 \text { пр }}$ (рис. 4.21). Из прямоугольного треугольника $A C O$ следует, что
\[
p_{1}^{\prime 2}=\left(p_{1}-\tilde{p}\right)^{2}-\tilde{p}^{2}=p_{1}^{2}-2 p_{1} \tilde{p},
\]

откуда
\[
\left(p_{1}^{\prime} / p_{1}\right)^{2}=1-2 \tilde{p} / p_{1}=1-2 m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right) .
\]

После подстановки (2) в (1) получим
\[
\eta_{1}=2 m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right) \text {. }
\]

4.14. Атом массы $m_{1}$ испытал неупругое столкновение с покоившейся молекулой массы $m_{2}$. После соударения обе частицы разлетелись под углом $\theta$ друг к другу с кинетическими энергиями $T_{1}^{\prime}$ и $T_{2}{ }^{\prime}$ соответственно, причем молекула оказалась в возбужденном состоянии – ее внутренняя энергия увеличилась на определенную величину $Q$. Найти $Q$, а также пороговую кинетическую энергию атома, при которой возможен переход молекулы в данное возбужденное состояние.

Решение. Из законов сохранения энергии и импульса в этом процессе следует:
\[
\begin{array}{c}
T_{1,}=T_{1}^{\prime}+T_{2}^{\prime}+Q, \\
p_{1}^{2}=p_{1}^{\prime 2}+p_{2}^{\prime 2}+2 p_{1}^{\prime} p_{2}^{\prime} \cos \theta,
\end{array}
\]

где штрихами отмечены величины после соударения (второе соотношение сразу следует из треугольника импульсов согласно теореме косинусов). Воспользовавшись формулой $p^{2}=2 m T$, исключим $T_{1}$ из этих уравнений. В результате получим
\[
Q=\left(m_{2} / m_{1}-1\right) T_{2}^{\prime}+2 \sqrt{\left(m_{2} / m_{1}\right) T_{1}^{\prime} T_{2}^{\prime}} \cos \theta
\]

и
\[
T_{1 \text { нор }}=|Q|\left(m_{1}+m_{2}\right) / m_{2} .
\]

4.15. Распад частицы. Частица с импульсом $p_{0}$ (в $K$-системе) распалась на лету на две частицы с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. При этом выделилась энергия $Q$ – энергия распада (она перешла в кинетическую энергию). Построить векторную диаграмму импульсов для этого процесса и найти с помощью нее возможные импульсы $\mathbf{p}_{1}$ и $\mathbf{p}_{2}$ возникших частиц.

Решение. Наиболее просто этот процесс выглядит в $L$-системе: здесь распадающаяся частица покоится, а частицы распада разлетаются в противоположные стороны с одинаковыми по модулю импульсами $\tilde{p}_{1}=\tilde{p}_{2}=\tilde{p}$. Энергия распада $Q$ целиком переходит в суммарную кинетическую энергию $\tilde{T}^{T}$ возникающих частиц. Поэтому
\[
\tilde{p}=\sqrt{2 \mu \widetilde{T}}=\sqrt{2 \mu Q},
\]

где $\mu$ – приведенная масса системы возникших частиц.

Найдем импульсы возникших частиц в $K$-системе. Воспользовавшись формулой преобразования скоростей при переходе от Ц-к $К$-системе, запишем:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{p}_{1}=m_{1} \mathbf{v}_{1}=m_{1}\left(\mathbf{V}_{C}+\tilde{\mathbf{v}}_{1}\right)=m_{1} \mathbf{V}_{C}+\tilde{\mathbf{p}}_{1}, \\
\mathbf{p}_{2}=m_{2} \mathbf{v}_{2}=m_{2}\left(\mathbf{V}_{C}+\tilde{\mathbf{v}}_{2}\right)=m_{2} \mathbf{V}_{C}+\tilde{p}_{2},
\end{array}
\]

причем, согласно закону сохранения импульса, $\mathrm{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}=\mathrm{p}_{0}$.
С помощью этих формул построим векторную диаграмму импульсов (рис. 4.22). Изобразим сначала отрезок $A B$, равный импульсу $p_{0}$. Затем радиусом $\tilde{p}$ проведем окружность с центром в точке $O$, которая делит отрезок $A B$ на две части в отношении $m_{1}: m_{2}$. Эта Рис. 4.22 окружность и есть геометрическое место точек всех возможных положений вершины $C$ треугольника импульсов $A B C$.