Приступая к изучению этого вопроса, напомним, что в рамках ньютоновской механики длина масштабов и время считаются абсолютными. Любой масштаб одинаков в разных системах отсчета, т. е. не зависит от движения. Это же касается и течения времени, которое также одинаково во всех системах.

Постановка вопроса. Имеются две произвольные системы отсчета $K$ и $K^{\prime}$, движущиеся определенным образом относительно друг друга. Известны скорость $\mathbf{v}$ и ускорение а некоторой точки $A$ в $K$-системе. Каковы соответствующие значения $\mathbf{v}^{\prime}$ и $\mathbf{a}^{\prime}$ этой точки в $K^{\prime}$-системе?
Рис. 1.13
Рассмотрим последовательно три наиболее важных случая движения одной системы отсчета относительно другой.

1. $K^{\prime}$-система движется поступательно по отношению к $\boldsymbol{K}$-системе. Пусть в $K$-системе начало отсчета $K^{\prime}$-системы характеризуется радиусом-вектором $\mathbf{r}_{0}$, а ее скорость и ускорение – векторами $\mathbf{v}_{0}$ и $\mathbf{a}_{0}$. Если положение точки $A$ в $K$-системе определяется радиусом-вектором $\mathbf{r}$, а в $K^{\prime}$-системе – радиусом-вектором $\mathbf{r}^{\prime}$, то $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{0}+\mathbf{r}^{\prime}$ (рис. 1.13). Пусть далее за промежуток времени $\mathrm{d} t$ точка $A$ совершит в $K$-системе элементарное перемещение $\mathrm{dr}$. Это перемещение складывается из перемещения $\mathrm{d} \mathbf{r}_{0}$ вместе с $K^{\prime}$-системой и перемещения dr $\mathbf{r}^{\prime}$ относительно $K^{\prime}$-системы, т. е. $\mathrm{dr}=\mathrm{d} \mathbf{r}_{0}+\mathrm{dr}^{\prime}$. Поделив данное выражение на $\mathrm{d} t$, получим следующую формулу преобразования скорости:

Продифференцировав (1.21) по времени, найдем формулу преобразования ускорения:

Отсюда видно, в частности, что при $\mathbf{a}_{0}=0 \mathbf{a}=\mathbf{a}^{\prime}$, т. е. при движении $K^{\prime}$-системы без ускорения относительно $K$ системы, ускорения точки $A$ в обеих системах отсчета будут одинаковы.

2. $K^{\prime}$-система вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, неподвижной в $K$-системе.
Рис. 1.14
Возьмем начала отсчета $K$ – и $K^{\prime}$-систем в произвольной точке $O$ на оси вращения (рис. 1.14,a). Тогда радиус-вектор точки $A$ в обеих системах отсчета будет один и тот же: $\mathbf{r} \equiv \mathbf{r}^{\prime}$.

Если точка $A$ неподвижна в $K^{\prime}$-системе; то это значит, что ее перемещение $\mathrm{dr}$ в $K$-системе за время $\mathrm{d} t$ обусловлено только поворотом радиуса-вектора $\mathbf{r}$ на угол-d $\varphi$ (вместе с $K^{\prime}$-системой) и равно, согласно (1.11), векторному произведению $[\mathrm{d} \varphi, \mathrm{r}]$.

Если же точка $A$ движется относительно $K^{\prime}$-системы со скоростью $\mathbf{v}^{\prime}$, то за время $\mathrm{d} t$ она совершит дополнительное перемещение $\mathrm{v}^{\prime} \mathrm{d} t$ (рис. 1.14,a) и тогда
\[
\mathrm{d} \mathbf{r}=\mathbf{v}^{\prime} \mathrm{d} t+[\mathrm{d} \boldsymbol{\varphi}, \mathbf{r}] .
\]

Поделив это выражение на $\mathrm{d} t$, получим следующую формулу преобразования скорости:

где $\mathbf{v}$ и $\mathbf{v}^{\prime}$ – скорости точки $A$ в $K$ – $K^{\prime}$-системах отсчета соответственно.

Теперь перейдем к ускорениям. В соответствии с (1.24) приращение $\mathrm{dv}$ вектора $\mathbf{v}$ за время $\mathrm{d} t$ в $K$-системе

должно складываться из суммы приращений векторов $\mathrm{v}^{\prime}$
\[
\mathrm{d} \mathbf{v}=\mathrm{d} \mathbf{v}^{\prime}+[\omega, \mathrm{d} \mathbf{r}] .
\]

Найдем $\mathrm{d} \mathbf{v}^{\prime}$. Если точка $A$ движется в $K^{\prime}$-системе с $\mathbf{v}^{\prime}=$ $=$ const, то приращение этого вектора в $K$-системе обусловлено только его поворотом на угол $\mathrm{d} \varphi$ (вместе с $K^{\prime}$ системой) и равно, как и в случае с $r$, векторному произведению [d $\left.\varphi, \mathbf{v}^{\prime}\right]$. В этом нетрудно убедиться, совместив начало вектора $\mathbf{v}^{\prime}$ с осью вращения (рис. 1.14, б). Если же точка $A$ имеет ускорение $\mathbf{a}^{\prime}$ в $K^{\prime}$-системе, то за время $\mathrm{d} t$ вектор $\mathbf{v}^{\prime}$ получит еще дополнительное приращение $\mathbf{a}^{\prime} \mathrm{d} t$ и тогда
\[
\mathrm{d}^{\prime}=\mathbf{a}^{\prime} \mathrm{d} t+\left[\mathrm{d} \mathbf{c}, \mathbf{v}^{\prime}\right] .
\]

Подставим (1.26) и (1.23) в равенство (1.25) и полученное выражение разделим на $\mathrm{d} t$. В результате найдем следующую формулу преобразования ускорения:
\[
\mathbf{a}=\mathbf{a}^{\prime}+2\left[\boldsymbol{\omega} \mathbf{v}^{\prime}\right]+[\boldsymbol{\omega}[\cdot \mathbf{r}]],
\]

где а и $\mathbf{a}^{\prime}$ – ускорения точки $A$ в $K$ – и $K^{\prime}$-системах отсчета. Второе слагаемое в правой части этой формулы носит название кориолисова (или поворотного) ускорения $\mathbf{a}_{\text {кор, }}$, а третье слагаемое-осестремительного ускорения $* \mathrm{a}_{\mathrm{oc}}$ :
\[
\mathbf{a}_{\text {кор }}=2\left[\omega \mathbf{v}^{\prime}\right], \quad \mathbf{a}_{\text {oс }}=\left[\omega_{\mathrm{s}}[\omega \mathrm{r}]\right] .
\]

Таким образом, ускорение а точки относительно $K$ системы равно сумме трех ускорений: ускорения а’ относительно $K^{\prime}$-системы, кориолисова ускорения $\mathbf{a}_{\text {кор }}$ и осестремительного ускорения $\mathbf{a}_{\text {oc. }}$.

Осестремительное ускорение можно представить в виде $\mathbf{a}_{\text {oc }}=-\omega^{2} \rho$, где $\rho-$ радиус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризующий положение точки $A$ относительно этой оси. Тогда формулу (1.27) можно записать так:

3. $K^{\prime}$-система вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью $\mathrm{v}_{0}$ и ускорением $\mathrm{a}_{0}$ по отношению к $\boldsymbol{K}$-системе.

Этот случай объединяет два предыдущих. Введем вспомогательную $S$-систему отсчета, которая жестко связана с осью вращения $K^{\prime}$-системы и перемещается поступательно в $K$-системе. Пусть $\mathbf{v}$ и $\mathbf{v}$ – скорости точки $A$ в $K$ – и $S$-системах отсчета, тогда в соответствии с (1.21) $\mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}+\mathbf{v}_{s}$. Заменив $\mathbf{v}_{s}$, согласно (1.24), выражением $\mathbf{v}_{s}=$ $=\mathbf{v}^{\prime}+[\omega \mathbf{r}]$, где $\mathbf{r}$ – радиус-вектор точки $A$ относительно произвольной точки на оси вращения $K^{\prime}$-системы, получим следующую формулу преобразования скорости:

Аналогичным образом, используя (1.22) и (1.29), найдем формулу преобразования ускорения:

Напомним, что в последних двух формулах $\mathbf{v}, \mathbf{v}^{\prime}$ и $\mathbf{a}, \mathbf{a}^{\prime}-$ скорости и ускорения точки $A$ соответственно в $K$ – и $K^{\prime}$ системах отсчета, $\mathbf{v}_{0}$ и $\mathbf{a}_{0}$ – скорость и ускорение оси вращения $K^{\prime}$-системы в $K$-системе, $\mathbf{r}$-радиус-вектор точки $A$ относительно произвольной точки на оси вращения $K^{\prime}$-системы, $\rho$ – радиус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризующий положение точки $A$ относительно этой оси.
Рассмотрим в заключение следующий пример.
Пример. Диск вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг собственной оси, укрепленной на столе. По диску движется точка $A$ с постоянной относительно стола скоростью $\mathbf{v}$. Найдем скорость $\mathbf{v}^{\prime}$ и ускорение $\mathbf{a}^{\prime}$ точки $A$ относительно диска в момент, когда радиус-вектор, характеризующий ее положение по отношению к оси вращения, равен $p$
Скорость $\mathbf{v}^{\prime}$ точки $A$, согласно (1.24),
\[
\mathbf{v}^{\prime}=\mathbf{v}-\left[\omega_{\mathrm{f}}\right] .
\]

Ускорение же $\mathbf{a}^{\prime}$ найдем с помощью (1.29), учтя, что в данном случае $\mathbf{a}=0$, ибо $\mathbf{v}=$ const. Тогда $\mathbf{a}^{\prime}=-2\left[\mathbf{\omega v}^{\prime}\right]+\omega^{2} \rho$. После подстановки в эту формулу выражения для $\mathbf{v}^{\prime}$ получим
\[
\mathbf{a}^{\prime}=2[\mathbf{v} \omega]-\omega^{2} \rho .
\]

Задачи
1.1. Радиус-вектор, характеризующий положение частицы $M$ относительно неподвижной точки $O$, меняется со временем по закону $\mathbf{r}=\mathbf{A} \sin \omega t+\mathbf{B} \cos \omega t$, где $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ – постоянные векторы, причем $\mathbf{A} \perp \mathbf{B} ; \omega$ – положительная постоянная. Найти ускорение а частицы и уравнение ее траектории $y(x)$, взяв оси $x$ и $y$ совпадающими по

направлению с векторами А и В соответственно и имеющими начало в точке $O$.

Решение.
Продифференцировав $\mathbf{r}$ по времени дважды, получим
\[
\mathbf{a}=-\omega^{2}(\mathbf{A} \sin \omega t+\mathbf{B} \cos \omega t)=-\omega^{2} \mathbf{r},
\]
т. е. вектор а все время направлен к точке $O$, а его модуль пропорционален расстоянию частицы до этой точки.

Теперь найдем уравнение траектории. Спроецировав $\mathbf{r}$ нз оси $x$ и $y$, получим
\[
x=A \sin \omega t, \quad y=B \cos \omega t .
\]

Исключив $\omega t$ из этих двух уравнений, найдем
\[
x^{2} / A^{2}+y^{2} / B^{2}=1 .
\]

Это уравнение эллипса, $A$ и $B$ – его полуоси (рис 1.15, где стрелкой показано направление движения частицы $M$ )

Рис. 1.15
Рис. 1.16

1.2. Перемещение и путь. Частице в момент $t=0$ сообщили скорость $\mathbf{v}_{0}$, после чего ее скорость стала меняться со временем $t$ по закону $\mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}(1-t / \tau)$, где $\tau$ – положительная постоянная. Найти за первые $t$ секунд движения: 1) вектор перемещения $\Delta \mathbf{r}$ частицы; 2) пройденный ею путь $s$.

Решение. 1. Согласно (1.1), $\mathrm{d} \mathbf{r}=\mathbf{v} \mathrm{d} t=\mathbf{v}_{0}(1-t / \tau) \mathrm{d} t$. Проинтегрировав это уравнение по времени от 0 до $t$, получим
\[
\Delta \mathbf{r}=\mathbf{v}_{0} t(1-t / 2 \tau) .
\]
2. Путь $s$, пройденный частицей за время $t$, определяется как
\[
s=\int_{0}^{t} v \mathrm{~d} t,
\]

где $v-м о д у л ь ~ в е к т о р а ~ \mathbf{v . ~ В ~ д а н н о м ~ с л у ч а е ~}$
\[
v=v_{0}|1-t / \tau|=\left\{\begin{array}{l}
v_{0}(1-t / \tau), \text { если } t \leqslant \tau, \\
v_{0}(t / \tau-1), \text { если } t \geqslant \tau .
\end{array}\right.
\]

Отсюда следует, что при $t>\tau$ интеграл для вычисления пути необходимо разбить на две части: от 0 до $\tau$ и от $\tau$ до $t$. Проведя интегрирование для обоих случаев, получим
\[
s=\left\{\begin{array}{l}
v_{0} t(1-t / 2 \tau), \text { если } t \leqslant \tau, \\
1 / 2 v_{0} \tau\left[1+(1-t / \tau)^{2}\right], \text { если } t \geqslant \tau .
\end{array}\right.
\]

На рис. 1.16 показаны графики зависимостей $v(t)$ и $s(t)$. Здесь же штриховыми линиями показаны графики зависимостей от $t$ проекций $v_{x}$ и $\Delta x$ векторов $\mathbf{v}$ и $\Delta \mathbf{r}$ на ось $x$, направленную вдоль вектоpa $\mathbf{v}_{0}$.

1.3. Трамвай движется прямолинейно от остановки $A$ до следующей остановки $B$ с ускорением, меняющимся по закону $a=a_{0}$ $-b s$, где $a_{0}$ и $b$ – положительные постоянные, $s$ – расстояние от остановки $A$ до трамвая. Найти расстояние между этими остановками и максимальную скорость трамвая.

Решение. Сначала найдем зависимость скорости от расстояния $s$. За промежуток времени $\mathrm{d} t$ приращение скорости $\mathrm{d} v=a \mathrm{~d} t$. Приведем это выражение к виду, удобному для интегрирования, воспользовавшись тем, что $\mathrm{d} t=\mathrm{d} s / v$; тогда
\[
v \mathrm{~d} v=\left(a_{0}-b s\right) \mathrm{d} s .
\]

Проинтегрировав это уравнение (левую часть – от 0 до $v$, правую от нуля до $s$ ), получим
\[
v^{2} / 2=a_{0} s-b s^{2} / 2, \quad \text { или } v=\sqrt{\left(2 a_{0}-b s\right) s} .
\]

Отсюда видно, что расстояние между остановками, т е. значение $s_{0}$, при котором $v=0$, есть $s_{0}=2 a_{0} / b$. Максимальную же скорость найдем из условия $\mathrm{d} v / \mathrm{d} s=0$ или, проще, из условия максимума подкоренного выражения. Отсюда значение $s_{m}$, соответствующее $v_{\text {макс }}$, определяется как $s_{m}=a_{0} / b$, и $v_{\text {макс }}=a_{0} / \sqrt{b}$.

1.4 Частица движется в плоскостях $x, y$ из точки с координатами $x=y=0$ со скоростью $\mathbf{v}=a \mathbf{i}+b x \mathbf{j}$, где $a$ и $b$ – некоторые постоянные, $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ – орты осей $x$ и $y$. Найти уравнение ее траектории $y(x)$.

Решение. Запишем приращения $y$ – и $x$-координат частицы за промежуток времени $\mathrm{d} t$ :
\[
\mathrm{d} y=v_{y} \mathrm{~d} t, \mathrm{~d} x=v_{x} \mathrm{~d} t,
\]

где $v_{y}=b x, v_{x}=a$. Взяв их отношение, получим
\[
\mathrm{d} y=(b / a) x \mathrm{~d} x .
\]

Интегрируем это уравнение:
\[
y=\int_{0}^{x}(b / a) x \mathrm{~d} x=(b / 2 a) x^{2},
\]
т. е. траекторией точки является парабола.

1.5. Закон движения точки $A$ обода колеса, катящегося равномерно по горизонтальному пути (ось $x$ ), имеет вид
\[
x=b(\omega t-\sin \omega t) ; \quad y=b(1-\cos \omega t),
\]

где $b$ и $\omega$-положительные постоянные. Кайти скорость $v$ точки $A$, путь $s$, пройденный ею между двумя последовательными касаниями полотна дороги, а также модуль и направление вектора ускорения а точки $A$.

Решение. Скорость $v$ точки $A$ и пройденный ею путь $s$ определяются формулами
\[
\begin{array}{c}
v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=b \omega \sqrt{2(1-\cos \omega t)}=2 b \omega|\sin (\omega t / 2)| ; \\
s=\int_{0}^{t_{1}} v_{\sim} \mathrm{d} t=4 b\left[1-\cos \left(\omega t_{1} / 2\right)\right],
\end{array}
\]

где $t_{1}$ – промежуток времени между двумя последовательными касаниями. Из уравнения $y=y(t)$ находим, что $y\left(t_{1}\right)=0$ при $\omega t_{1}=2 \pi$. Поэтому $s=8 b$.
Ускорение точки $A$
\[
a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=b \omega^{2} .
\]

Покажем, что вектор а, постоянный по модулю, все время направлен к центру колеса – точке $C$. Действительно в $K^{\prime}$-системе отсчета, связанной с точкой $C$ и перемещающейся поступательно и равномерно относительно полотна дороги, точка $A$ движется равномерно по окружности с центром в точке $C$. Поэтому ускорение точки $A$ в $K^{\prime}$ системе направлено к центру колеса. А так как $K^{\prime}$-система движется равномерно, то вектор а будет таким же и относительно полотна дороги.

1.6. Тангенциальное и нормальное ускорения. Точка движется замедленно по окружности радиуса $r$ так, что ее тангенциальное и нормальное ускорения в каждый момент равны друг другу по модулю. В начальный момент гочке была сообщеиа скорость $v_{0}$. Найти скорость $v$ и модуль полного ускорения а точки в зависимости от пройденного пути $s$.

Решение. По условию, $\mathrm{d} v / \mathrm{d} t=-v^{2} / r$. Представив $\mathrm{d} t$ как $\mathrm{d} s / v$, преобразуем исходное уравнение к виду
\[
\mathrm{d} v / v=-\mathrm{d} s / r .
\]

Ингегрирование этого уравнения с учетом начальной скорости приводит к следующему результату:
\[
v=v_{0} \mathrm{e}^{-s / r} .
\]

В данном случае $\left|a_{\varepsilon}\right| \equiv a_{n}$, поэтому полное ускорение $a=\sqrt{2} a_{n}=$ $=\sqrt{2} v^{2} / r$, или
\[
a=\sqrt{2}\left(v_{0}^{2} / r\right) \mathrm{e}^{-2 s / r} .
\]

1.7. Точка движется по плоской траектории так, что ее таигенциальное ускорение $a_{\tau}=a_{0}$, а нормальное ускорение $a_{n}=b t^{4}$, где $a_{0}$ и $b$ – положительные постоянные, $t$ – время. В момент $t=0$ точка начала двигаться с нулевой начальной скоростью. Найти радиус кривизны $\rho$ траектории точки и ее полное ускорение $a$ в зависимости от пройденного пути $s$.

Решение.
Элементарное приращение скорости точки $\mathrm{d} v=a_{\tau} \mathrm{d} t$. Проинтегрировав это уравнение, получим $v=a_{0} t$. Пройденный путь $s=a_{0} t^{2} / 2$.

Радиус кривизны траектории, согласно (1.10), можно представить как $\rho=v^{2} / a_{n}=a_{0}^{2} / b t^{2}$, или
\[
\rho=a_{0}^{3} / 2 b s .
\]

Полное ускорение
\[
a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=a_{0} \sqrt{1+\left(4 b s^{2} / a_{0}^{3}\right)^{2}} .
\]

1.8. Частица движется равномерно со скоростью $v$ по параболической траектории $y=k x^{2}$, где $k$ – положительная постоянная. Найти ускорение $a$ частицы в точке $x=0$.

Решение. Продифференцируем дважды уравнение траектории по времени:
\[
\dot{y}=2 k x \dot{x}, y=2 k\left(\dot{x^{2}}+x \ddot{x}\right) .
\]

Так как частица движется равномерно, то это значит, что ее ускорение во всех точках траектории чисто нормальное и в точке $x=0$ совпадает с производной $\ddot{y}$ в этой точке. Имея в виду, что в точке $x=0$ величина $|\dot{x}|=v$, получим
\[
a=(\ddot{y})_{x=0}=2 k v^{2} .
\]

Заметим, что в приведенном способе решения мы обошли вычисление радиуса кривизны траектории в точке $x=0$, который обычно бывает необходимо знать для определения нормального ускорения $\left(a_{n}=v^{2} / \rho\right)$.

1.9. Вращение твердого тела. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловым ускорением $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}_{0} \cos \varphi$, где $\boldsymbol{\beta}_{0}-$ постоянный вектор, $\varphi$ – угол поворота тела из начального положения. Найти угловую скорость $\omega_{z}$ тела в зависимости от угла $\varphi$, если при $\varphi=0$ она была равна нулю.

Решение Выберем положительное направление осн $z$ вдоль вектора $\boldsymbol{\beta}_{0}$ Согласно (1.16), d $\omega_{z}=\boldsymbol{\beta}_{z} \mathrm{~d} t$. Представив $\mathrm{d} t$ по формуле (1.15) как $\mathrm{d} \varphi / \omega_{z}$, преобразуем предыдущее уравнение к виду
\[
\omega_{z} \mathrm{~d} \omega_{z}=\beta_{0} \cos \varphi \mathrm{d} \varphi .
\]

Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия ( $\omega_{z}=$ $=0$ при $\varphi=0$ ) дает $\omega_{z}^{2} / 2=\beta_{0} \sin \varphi$. Отсюда
\[
\omega_{z}= \pm \sqrt{2 \beta_{0} \sin \varphi} .
\]

График зависимости $\omega_{z}(\varphi)$ показан на рис. 1.17. Из него видно, что с ростом угла $\varphi$ вектор $\boldsymbol{\omega}$ сначала увеличивается, совпадая по направлению с вектором $\boldsymbol{\beta}_{0}\left(\omega_{z}>0\right)$, достигает максимума при $\varphi=\pi / 2$ и затем начинает уменьшаться, обращаясь в нуль при $\varphi=\pi$. После этого тело подобным же образом начинает вращаться в противоположном направлении $\left(\omega_{z}<0\right)$. В результате тело будет совершать колебания около положения $\varphi=\pi / 2$ с амплитудой, равной $\pi / 2$.

1.10. Круглый конус с радиусом основания $r$ и высотой $h$ катится без скольжения по поверхности стола, как показано на рис.1.18.

Вершина конуса закреплена шарнирно в точке $O$ на уровне точки $C$-центра основания конуса. Точка $C$ движется с постоянной скоростью $v$. Найти относительно стола: 1) угловую скорость $\omega$ конуса; 2) его угловое ускорение $\boldsymbol{\beta}$.

Решение. 1.
Согласно (1.20), $\omega=\omega_{0}+\omega^{\prime}$, где $\omega_{0}$ и $\omega^{\prime}-$ угловые скорости вращения вокруг осей $O O^{\prime}$ и $O C$ соответственно. Модули векторов $\omega_{0}$ и $\omega^{\prime}$ легко найти с помощью рис. 1.18:
\[
\omega_{0}=v / h, \quad \omega^{\prime}=v / r .
\]

Их отношение $\omega_{0} / \omega^{\prime}=r / h$. Отсюда следует, что вектор $\boldsymbol{\omega}$ совпадает в каждый момент с образующей конуса, которая проходит через точку касания $A$.

Рис. 1.17
Рис. 1.18

Модуль вектора $\omega$
\[
\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}+\omega^{\prime 2}}=(v / r) \sqrt{1+(r / h)^{2}} .
\]

2. Угловое ускорение $\boldsymbol{\beta}$ конуса, согласно (1.14), есть производная вектора $\boldsymbol{\omega}$ по времени. Так как $\boldsymbol{\omega}_{0}=$ const, то
\[
\boldsymbol{\beta}=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} \boldsymbol{t}=\mathrm{d} \omega^{\prime} / \mathrm{d} \boldsymbol{t} .
\]

Вектор $\boldsymbol{\omega}^{\prime}$, оставаясь постоянным по модулю, поворачивается вокруг оси $O O^{\prime}$ с угловой скоростыо $\omega_{0}$. Его приращение за промежуток времени $\mathrm{d} t$ равно по модулю $\left|\mathrm{d} \omega^{\prime}\right|=\omega^{\prime} \cdot \omega_{0} \mathrm{~d} t$, или в векторном виде $\mathrm{d} \omega^{\prime}=\left[\omega_{0} \omega^{\prime}\right] \mathrm{d} t$. Таким образом,
\[
\boldsymbol{\beta}=\left[\omega_{0} \omega^{\prime}\right] .
\]

Модуль этого вектора $\beta=v^{2} / r h$.

1.11. Преобразоваиия скорости и ускореиия. Горизонтально расположенный стержень вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, укрепленной на столе и проходящей через один из концов стержня. По стержню движется небольшая муфта. Ее скорость относительно стержня меняется по закону $\mathbf{v}^{\prime}=b \mathrm{r}$, где $b$ – постоянная, $\mathrm{r}$-радиус-вектор, характеризующий расстояние муфты от оси вращения. Найти: 1) скорость $\mathbf{v}$ и ускорение а муфты относительно стола в зависимости от $\mathrm{r} ; 2$ ) угол между векторами $\mathbf{v}$ и а в процессе движения.

Решение. 1. Согласно (1.24),
\[
\mathbf{v}=b \mathbf{r}+[\omega \mathbf{r}] .
\]

Модуль этого вектора $v=r \sqrt{b^{2}+\omega^{2}}$.
Ускорение а находим по формуле (1.29), где в нашем случае $\mathbf{a}^{\prime}=\mathrm{d} \mathbf{v}^{\prime} / \mathrm{d} t=b^{2} \mathbf{r}$. Тогда
\[
\mathbf{a}=\left(b^{2}-\omega^{2}\right) \mathbf{r}+2 b[\omega \mathbf{r}] .
\]

Модуль этого вектора $a=\left(b^{2}+\omega^{2}\right) r$.

2. Для определения угла $\alpha$ между векторами $\mathbf{v}$ и а воспользуемся их скалярным произведением, из которого следует, что $\cos \alpha=$ $=\mathrm{va} / v a$. После соответствующих преобразований получим
\[
\cos \alpha=1 / \sqrt{1+(\omega / b)^{2}} .
\]

Отсюда видно, что в данном случае угол $\alpha$ остается постоянным при движении.