В полярных координатах $\rho ,\phi$ положение точки $A$ на плоскости определено, если заданы ее расстояние $\rho$ от начала отсчета $O$ и угол $\phi$ между радиусом-вектором $\rho$ точки и выбранным направлением $O^{\prime }$ — началом отсчета угловой координаты $\phi$ (рис. $1,a$ ).

Введем единичные векторы — орты е p ${}_{\rho }$ и е связанные с движущейся точкой $A$ и направленные в сторону возрастания соответству-
Рис. 1

ющих координат $\rho$ и $\phi$, как показано на рис. $1,a$. В отличие от ортов декартовой системы координат, орты ${\mathrm{e}}_{\rho }$ и ${\mathrm{e}}_{\phi }$ — подвижные (при движении точки $A$ они меняют свое направление). Найдем сразу же их производные по времени — они понадобятся ниже. При движении точки $A$ за промежуток времени $\mathrm{d}t$ оба орта повернутся в одну сторону на один и тот же угол d (рис. 1, б) и получат приращения:
$$d{e}_{\rho }=1\cdot d\phi \cdot e_{\phi },d{e}_{\phi }=1\cdot d\phi \cdot (-e_{\rho }).$$

Поделив оба выражения на $\mathrm{d}t$, получим
$${\dot{\mathrm{e}}}_{\rho }=\dot{\phi }{\mathrm{e}}_{\phi },{\dot{\mathrm{e}}}_{\phi }=-\dot{\phi }{\mathrm{e}}_{\rho },$$

где точка сверху над буквой означает дифференцирование по времени.

Теперь найдем скорость и ускорение точки $A$, записав ее радиусвектор $\rho$ в виде
$$\rho =p{\mathrm{e}}_{\mathrm{p}}.$$

Скорость точки v.
Продифференцируем (2) по времени с учетом (1):
$$\mathbf{v}=\dot{\rho }{\mathrm{e}}_{\rho }+\dot{\rho }\dot{\phi }{\mathrm{e}}_{\phi }.$$

Отсюда видно, что проекции вектора $\mathbf{v}$ на подвикные орты ${\mathbf{e}}_{\rho }$ и ${\mathbf{e}}_{\phi }$ равны:
$$v_{\rho }=\dot{\rho },v_{\phi }=\rho \dot{\phi },$$

а модуль вектора скорости $v=\sqrt{{\dot{\rho }}^2+{\rho }^2{\dot{\phi }}^2}$.
Ускорение точки а. Продифференцировав (3) еще раз по времени, получим
$$\mathbf{a}=\ddot{\rho }{\mathrm{e}}_{\rho }+\rho {\dot{\mathrm{e}}}_{\rho }+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\rho \dot{\phi }){\mathrm{e}}_{\phi }+\rho \dot{\phi }{\dot{\mathrm{e}}}_{\phi }.$$

Учтя (1), после несложных преобразований найдем
$$\mathbf{a}=\ddot{\rho }-\rho {\dot{\phi }}^2){\mathrm{e}}_{\rho }+(\dot{2}\dot{\phi }+\ddot{\phi }){\mathrm{e}}_{\phi },$$
т. е. проекции вектора а на орты ${\mathbf{e}}_p$ и е ${}_{\phi }$ имеют вид
$$a_{\rho }=\ddot{p}-\rho {\dot{\phi }}^2,a_{\phi }=2\dot{p}\dot{\phi }+\ddot{\rho }\ddot{\phi }=\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({\rho }^2\dot{\phi }\right).$$

Основное уравнение динамики в полярных координатах. Основное уравнение динамики $m\mathbf{a}=\mathbf{F}$ в проекциях на подвижные орты ${\mathrm{e}}_p$ и е $\phi$ легко получить сразу, воспользовавшись формулами (6):
$$\begin{array}{c}m(\ddot{\rho }-\rho {\dot{\phi }}^2)=F_{\rho },\\ m\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({\rho }^2\phi \right)=F_{\phi },\end{array}\}$$

где $F_{\rho }$ и $F_{\phi }$ — проекции вектора $F$ на орты е ${}_{\rho }$ и е ${}_{\phi }$ (рис. 2). На этом рисунке $F_{\rho }<0$, а $F_{\phi }>0$.