В полярных координатах $\rho, \varphi$ положение точки $A$ на плоскости определено, если заданы ее расстояние $\rho$ от начала отсчета $O$ и угол $\varphi$ между радиусом-вектором $\rho$ точки и выбранным направлением $O^{\prime}$ – началом отсчета угловой координаты $\varphi$ (рис. $1, a$ ).

Введем единичные векторы – орты е p $_{\rho}$ и е связанные с движущейся точкой $A$ и направленные в сторону возрастания соответству-
Рис. 1

ющих координат $\rho$ и $\varphi$, как показано на рис. $1, a$. В отличие от ортов декартовой системы координат, орты $\mathrm{e}_{\rho}$ и $\mathrm{e}_{\varphi}$ – подвижные (при движении точки $A$ они меняют свое направление). Найдем сразу же их производные по времени – они понадобятся ниже. При движении точки $A$ за промежуток времени $\mathrm{d} t$ оба орта повернутся в одну сторону на один и тот же угол d (рис. 1, б) и получат приращения:
\[
d e_{\rho}=1 \cdot d \varphi \cdot e_{\varphi}, \quad d e_{\varphi}=1 \cdot d \varphi \cdot\left(-e_{\rho}\right) .
\]

Поделив оба выражения на $\mathrm{d} t$, получим
\[
\dot{\mathrm{e}}_{\rho}=\dot{\varphi} \mathrm{e}_{\varphi}, \quad \dot{\mathrm{e}}_{\varphi}=-\dot{\varphi} \mathrm{e}_{\rho},
\]

где точка сверху над буквой означает дифференцирование по времени.

Теперь найдем скорость и ускорение точки $A$, записав ее радиусвектор $\rho$ в виде
\[
\rho=p \mathrm{e}_{\mathrm{p}} .
\]

Скорость точки v.
Продифференцируем (2) по времени с учетом (1):
\[
\mathbf{v}=\dot{\rho} \mathrm{e}_{\rho}+\dot{\rho} \dot{\varphi} \mathrm{e}_{\varphi} .
\]

Отсюда видно, что проекции вектора $\mathbf{v}$ на подвикные орты $\mathbf{e}_{\rho}$ и $\mathbf{e}_{\varphi}$ равны:
\[
v_{\rho}=\dot{\rho}, \quad v_{\varphi}=\rho \dot{\varphi},
\]

а модуль вектора скорости $v=\sqrt{\dot{\rho}^{2}+\rho^{2} \dot{\varphi}^{2}}$.
Ускорение точки а. Продифференцировав (3) еще раз по времени, получим
\[
\mathbf{a}=\ddot{\rho} \mathrm{e}_{\rho}+\rho \dot{\mathrm{e}}_{\rho}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\rho \dot{\varphi}) \mathrm{e}_{\varphi}+\rho \dot{\varphi} \dot{\mathrm{e}}_{\varphi} .
\]

Учтя (1), после несложных преобразований найдем
\[
\left.\mathbf{a}=\ddot{\rho}-\rho \dot{\varphi}^{2}\right) \mathrm{e}_{\rho}+(\dot{2} \dot{\varphi}+\ddot{\varphi}) \mathrm{e}_{\varphi},
\]
т. е. проекции вектора а на орты $\mathbf{e}_{p}$ и е $_{\varphi}$ имеют вид
\[
a_{\rho}=\ddot{p}-\rho \dot{\varphi}^{2}, \quad a_{\varphi}=2 \dot{p} \dot{\varphi}+\ddot{\rho} \ddot{\varphi}=\frac{1}{\rho} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\rho^{2} \dot{\varphi}\right) .
\]

Основное уравнение динамики в полярных координатах. Основное уравнение динамики $m \mathbf{a}=\mathbf{F}$ в проекциях на подвижные орты $\mathrm{e}_{p}$ и е $\varphi$ легко получить сразу, воспользовавшись формулами (6):
\[
\left.\begin{array}{c}
m\left(\ddot{\rho}-\rho \dot{\varphi}^{2}\right)=F_{\rho}, \\
m \frac{1}{\rho} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\rho^{2} \varphi\right)=F_{\varphi},
\end{array}\right\}
\]

где $F_{\rho}$ и $F_{\varphi}$ – проекции вектора $F$ на орты е ${ }_{\rho}$ и е ${ }_{\varphi}$ (рис. 2). На этом рисунке $F_{\rho}<0$, а $F_{\varphi}>0$.