Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Работа. Действие силы $\mathbf{F}$ на перемещении $d \mathbf{r}$ характеризуют величиной, равной скалярному произведению Fdr, которую называют элементарной работой силы $\mathbf{F}$ на перемещении dr. Ее можно представить и в другом виде: где $\alpha$ – угол между векторами $\mathbf{F}$ и $\mathrm{dr}, \mathrm{d} s=|\mathrm{d} \mathbf{r}|$ – элементарный путь, $F_{s}$ – проекция вектора $\mathbf{F}$ на вектор $\mathrm{dr}$ (рис. 4.1). Итак, элементарная работа силы $\mathbf{F}$ на перемещении $\mathrm{d} \mathbf{r}$ Величина $\delta A$ – алгебраическая: в зависимости от угла между векторами $\mathbf{F}$ и $d \mathbf{r}$ (или от знака проекции $F_{s}$ вектора $\mathbf{r}$ на вектор dr) она может быть как положительной, так и отрицательной и, в частности, равной нулю (если $\mathrm{F} \perp \mathrm{dr}$, т. е. $F_{s}=0$ ). Рис. 4.1 Суммируя (интегрируя) выражение (4.1) по всем элементарным участкам пути от точки 1 до точки 2, найдем работу силы $\mathbf{F}$ на данном пути: Отметим следующее важное обстоятельство: формула (4.2) справедлива не только для частицы, но и вообще для любого тела (или системы тел). Надо только иметь в виду, что под $\mathrm{dr}$ (или $\mathrm{d} s$ ) следует понимать перемещение точки приложения силы F. Игнорирование этого обстоятельства зачастую приводит к ошибочным результатам. Выражению (4.2) можно придать наглядный геометрический смысл. Изобразим график $F_{s}$ как функцию положения частицы на траектории. Пусть, например, этот график имеет вид, показанный на рис. 4.2. Из рисунка видно, что элементарная работа $\delta A$ численно равна площади заштрихованной полоски, а работа $A$ на пути от точки 1 до точки 2 – площади фигуры, ограниченной кривой, ординатами 1 и 2 и осью $s$. При этом площадь фигуры над осью $s$ берется со знаком плюс (она соответствует положительной работе), а площадь фигуры под осью $s$ – со знаком минус (она соответствует отрицательной ра́боте). Рассмотрим несколько примеров на вычисление работы. Работа упругой силы $\mathbf{F}=-\chi \mathbf{r}$, где $\mathbf{r}$ – радиус-вектор частицы $M$ относительно точки $O$ (рис. 4.3,a). Переместим частицу $M$, на которую действует эта сила, по произвольному пути из точки 1 в точку 2. Найдем сначала Рис, 4.3 элементарную работу силы $\mathbf{F}$ на элементарном перемещении dr: Скалярное произведение $\mathbf{r d r}=r(\mathrm{~d} \mathbf{r})_{\mathbf{r}}$, где $(\mathrm{dr})_{\mathbf{r}}$ – проекция $\mathrm{dr}$ на вектор $\mathbf{r}$. Эта проекция равна $\mathrm{d} r$ – прирацению модуля вектора $\mathbf{r}$. Поэтому $\mathbf{r d r}=r \mathrm{~d} r$ и Теперь вычислим работу данной силы на всем пути, т. е. проинтегрируем последнее выражение от точки 1 до точки 2: Работа гравитационной (или кулоновской) силы. где $\alpha$-соответствующая постоянная ( $-\gamma m_{1} m_{2}$ или $\left.k q_{1} q_{2}\right), r$ – расстояние от точки $O$ до частицы $M, \mathbf{e}_{r}$ – орт радиуса-вектора r. Скалярное произведение $\mathbf{e}_{r} \mathrm{~d} \mathbf{r}=\mathrm{d} r$, т. е. равно приращению модуля вектора r, поэтому Работа же этой силы на всем пути от точки 1 до точки 2 Работа однородной силы тяжести $\mathbf{F}=m \mathrm{~g}$. Запишем эту силу в виде $\mathbf{F}=-m g k$, где Рис. 4.4 k – орт вертикальной оси $\boldsymbol{z}$, положительное направление которой выбрано вверх (рис. 4.4). Элементарная работа силы тяжести на перемещении $\mathrm{dr}$ Скалярное произведение $\mathbf{k d r}=(\mathrm{dr})_{\mathbf{k}}$, где $(\mathrm{dr})_{\mathbf{k}}-$ проекция dr на орт $\mathbf{k}$, равная $\mathrm{d} z$ – приращению координаты $z$. Поэтому $\mathbf{k d r}=\mathrm{d} z$ и Работа же данной силы на всем пути от точки 1 до точки 2 Рассмотренные силы интересны в том отношении, что их работа, как видно из формул (4.3)- (4.5), не зависит от формы пути между точками 1 и 2 , а зависит только от положения этих точек. Эта весьма важная особенность данных сил присуща, однако, не всем силам. Например, сила трения этим свойством не обладает: работа этой силы зависит не только от положения начальной и конечной точек, но и от формы пути между ними. До сих пор речь шла о работе одной силы. Если же на частицу в процессе движения действуют несколько сил, результирующая которых $\mathbf{F}=\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}+\ldots$, то нетрудно показать, что работа результирующей силы $\mathbf{F}$ на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности на том же перемещении. Действительно, Единицей работы в СИ является джоуль (Дж) Джоуль – это работа силы в $1 \mathrm{H}$ на пути в 1 м (при условии, что направление силы совпадает по направлению с перемещением), или 1 Дж $=1 \mathrm{H} \cdot \mathrm{m}$. Мощность. Таким образом, мощность, развиваемая силой $\mathbf{F}$, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения данной силы. Қак и работа, мощность-величина алгебраическая. Зная мощность силы $\mathbf{F}$, можно найти и работу, которую совершает эта сила за промежуток времени $t$. В самом деле, представив подынтегральное выражение в (4.2) в виде $\mathbf{F d r}=\mathbf{F} \mathbf{v} d t=N \mathrm{~d} t$, получим Единицей мощности в СИ является ватт (Вт), равный джоулю в секунду (Дж/с). В заключение обратим внимание на одно весьма существенное обстоятельство. Когда говорят о работе (или мощности), то необходимо в каждом конкретном случае четко указывать или представлять себе, работа какой именно силы (или сил) имеется в виду. В противном случае, как правило, неизбежны недоразумения.
|
1 |
Оглавление
|