Главная > Основные законы механики (И. Е. Иродов)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Работа.
Пусть частица под действием силы $\mathbf{F}$ совершает перемещение по некоторой траектории $1-2$ (рис. 4.1). В общем случае сила $\mathbf{F}$ в процессе движения частицы может меняться как по модулю, так и по направлению. Рассмотрим элементарное перемещение $\mathrm{dr}$, в пределах которого силу $\mathbf{F}$ можно считать постоянной.

Действие силы $\mathbf{F}$ на перемещении $d \mathbf{r}$ характеризуют величиной, равной скалярному произведению Fdr, которую называют элементарной работой силы $\mathbf{F}$ на перемещении dr. Ее можно представить и в другом виде:
\[
\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=F \cos \alpha \mathrm{d} s=F_{s} \mathrm{~d} s,
\]

где $\alpha$ – угол между векторами $\mathbf{F}$ и $\mathrm{dr}, \mathrm{d} s=|\mathrm{d} \mathbf{r}|$ – элементарный путь, $F_{s}$ – проекция вектора $\mathbf{F}$ на вектор $\mathrm{dr}$ (рис. 4.1).

Итак, элементарная работа силы $\mathbf{F}$ на перемещении $\mathrm{d} \mathbf{r}$
\[
\delta A=\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=F_{s_{s}}^{\prime} \mathrm{d} s .
\]

Величина $\delta A$ – алгебраическая: в зависимости от угла между векторами $\mathbf{F}$ и $d \mathbf{r}$ (или от знака проекции $F_{s}$ вектора $\mathbf{r}$ на вектор dr) она может быть как положительной, так и отрицательной и, в частности, равной нулю (если $\mathrm{F} \perp \mathrm{dr}$, т. е. $F_{s}=0$ ).

Рис. 4.1
Рис. 4.2

Суммируя (интегрируя) выражение (4.1) по всем элементарным участкам пути от точки 1 до точки 2, найдем работу силы $\mathbf{F}$ на данном пути:

Отметим следующее важное обстоятельство: формула (4.2) справедлива не только для частицы, но и вообще для любого тела (или системы тел). Надо только иметь в виду, что под $\mathrm{dr}$ (или $\mathrm{d} s$ ) следует понимать перемещение точки приложения силы F. Игнорирование этого обстоятельства зачастую приводит к ошибочным результатам.

Выражению (4.2) можно придать наглядный геометрический смысл. Изобразим график $F_{s}$ как функцию положения частицы на траектории. Пусть, например, этот график имеет вид, показанный на рис. 4.2. Из рисунка видно, что элементарная работа $\delta A$ численно равна площади заштрихованной полоски, а работа $A$ на пути от точки 1 до точки 2 – площади фигуры, ограниченной кривой, ординатами 1 и 2 и осью $s$. При этом площадь фигуры над осью $s$ берется со знаком плюс (она соответствует положительной работе), а площадь фигуры под осью $s$ –

со знаком минус (она соответствует отрицательной ра́боте).

Рассмотрим несколько примеров на вычисление работы.

Работа упругой силы $\mathbf{F}=-\chi \mathbf{r}$, где $\mathbf{r}$ – радиус-вектор частицы $M$ относительно точки $O$ (рис. 4.3,a). Переместим частицу $M$, на которую действует эта сила, по произвольному пути из точки 1 в точку 2. Найдем сначала

Рис, 4.3

элементарную работу силы $\mathbf{F}$ на элементарном перемещении dr:
\[
{ } A=\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=-x \mathbf{r} \mathrm{d} \mathbf{r} .
\]

Скалярное произведение $\mathbf{r d r}=r(\mathrm{~d} \mathbf{r})_{\mathbf{r}}$, где $(\mathrm{dr})_{\mathbf{r}}$ – проекция $\mathrm{dr}$ на вектор $\mathbf{r}$. Эта проекция равна $\mathrm{d} r$ – прирацению модуля вектора $\mathbf{r}$. Поэтому $\mathbf{r d r}=r \mathrm{~d} r$ и
\[
\delta A=-x r \mathrm{~d} r=-\mathrm{d}\left(x r^{2} / 2\right) .
\]

Теперь вычислим работу данной силы на всем пути, т. е. проинтегрируем последнее выражение от точки 1 до точки 2:
\[
A=-\int_{1}^{2} \mathrm{~d}\left(\frac{x r^{2}}{2}\right)=\frac{x r_{1}^{2}}{2}-\frac{x r_{2}^{2}}{2} .
\]

Работа гравитационной (или кулоновской) силы.
Пусть в точке $O$ (рис. 4.3,б) находится неподвижный силовой центр – материальная точка, действующая на частицу $M$ с силой $\mathbf{F}$, которая как для гравитационного, так и для кулоновского взаимодействий может быть представлена в виде
\[
\mathbf{F}=\left(\alpha / r^{2}\right) \mathbf{e}_{r},
\]

где $\alpha$-соответствующая постоянная ( $-\gamma m_{1} m_{2}$ или $\left.k q_{1} q_{2}\right), r$ – расстояние от точки $O$ до частицы $M, \mathbf{e}_{r}$ – орт радиуса-вектора r.
Элементарная работа этой силы на перемещении $\mathrm{dr}$
\[
\delta A=\mathbf{F} \mathrm{dr}=\left(\alpha / r^{2}\right) \mathbf{e}_{\boldsymbol{r}} \mathrm{d} \mathbf{r} .
\]

Скалярное произведение $\mathbf{e}_{r} \mathrm{~d} \mathbf{r}=\mathrm{d} r$, т. е. равно приращению модуля вектора r, поэтому
\[
\delta A=\alpha \mathrm{d} r / r^{2}=-\mathrm{d}(\alpha / r) .
\]

Работа же этой силы на всем пути от точки 1 до точки 2
\[
A=-\int_{1}^{2} \mathrm{~d}\left(\frac{\alpha}{r}\right)=\frac{\alpha}{r_{1}}-\frac{\alpha}{r_{2}} \text {. }
\]

Работа однородной силы тяжести $\mathbf{F}=m \mathrm{~g}$. Запишем эту силу в виде $\mathbf{F}=-m g k$, где Рис. 4.4 k – орт вертикальной оси $\boldsymbol{z}$, положительное направление которой выбрано вверх (рис. 4.4). Элементарная работа силы тяжести на перемещении $\mathrm{dr}$
\[
\delta A=\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=-m g \mathbf{k} \mathrm{dr} .
\]

Скалярное произведение $\mathbf{k d r}=(\mathrm{dr})_{\mathbf{k}}$, где $(\mathrm{dr})_{\mathbf{k}}-$ проекция dr на орт $\mathbf{k}$, равная $\mathrm{d} z$ – приращению координаты $z$. Поэтому $\mathbf{k d r}=\mathrm{d} z$ и
\[
\delta A=-m g \mathrm{~d} z=-\mathrm{d}(m g z) .
\]

Работа же данной силы на всем пути от точки 1 до точки 2
\[
A=-\int_{1}^{2} \mathrm{~d}(m g z)=m g\left(z_{1}-z_{2}\right) .
\]

Рассмотренные силы интересны в том отношении, что их работа, как видно из формул (4.3)- (4.5), не зависит от формы пути между точками 1 и 2 , а зависит только от положения этих точек. Эта весьма важная особенность данных сил присуща, однако, не всем силам. Например, сила трения этим свойством не обладает: работа этой силы зависит не только от положения начальной и конечной точек, но и от формы пути между ними.

До сих пор речь шла о работе одной силы. Если же на частицу в процессе движения действуют несколько сил, результирующая которых $\mathbf{F}=\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}+\ldots$, то нетрудно показать, что работа результирующей силы $\mathbf{F}$ на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности на том же перемещении. Действительно,
\[
\begin{aligned}
A & =\int\left(\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}+\ldots\right) \mathrm{d} \mathbf{r}=\int \mathbf{F}_{1} \mathrm{~d} \mathbf{r}+ \\
& +\int \mathbf{F}_{2} \mathrm{~d} \mathbf{r}+\ldots=A_{1}+A_{2}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Единицей работы в СИ является джоуль (Дж) Джоуль – это работа силы в $1 \mathrm{H}$ на пути в 1 м (при условии, что направление силы совпадает по направлению с перемещением), или 1 Дж $=1 \mathrm{H} \cdot \mathrm{m}$.

Мощность.
Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью. Мощность, по определению,-это работа, совершаемая силой за единицу времени. Если за промежуток времени $\mathrm{d} t$ сила $\mathbf{F}$ совершает работу $\mathbf{F d r}$, то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени, есть $N=\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r} / \mathrm{d} t$. Учитывая, что $\mathrm{dr} / \mathrm{d} t=\mathbf{v}$, получим

Таким образом, мощность, развиваемая силой $\mathbf{F}$, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения данной силы. Қак и работа, мощность-величина алгебраическая.

Зная мощность силы $\mathbf{F}$, можно найти и работу, которую совершает эта сила за промежуток времени $t$. В самом деле, представив подынтегральное выражение в (4.2) в виде $\mathbf{F d r}=\mathbf{F} \mathbf{v} d t=N \mathrm{~d} t$, получим
\[
A=\int_{0}^{t} N \mathrm{~d} t
\]

Единицей мощности в СИ является ватт (Вт), равный джоулю в секунду (Дж/с).

В заключение обратим внимание на одно весьма существенное обстоятельство. Когда говорят о работе (или мощности), то необходимо в каждом конкретном случае четко указывать или представлять себе, работа какой

именно силы (или сил) имеется в виду. В противном случае, как правило, неизбежны недоразумения.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru