Работа.
Пусть частица под действием силы $\mathbf{F}$ совершает перемещение по некоторой траектории $1-2$ (рис. 4.1). В общем случае сила $\mathbf{F}$ в процессе движения частицы может меняться как по модулю, так и по направлению. Рассмотрим элементарное перемещение $\mathrm{dr}$, в пределах которого силу $\mathbf{F}$ можно считать постоянной.

Действие силы $\mathbf{F}$ на перемещении $d \mathbf{r}$ характеризуют величиной, равной скалярному произведению Fdr, которую называют элементарной работой силы $\mathbf{F}$ на перемещении dr. Ее можно представить и в другом виде:
\[
\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=F \cos \alpha \mathrm{d} s=F_{s} \mathrm{~d} s,
\]

где $\alpha$ — угол между векторами $\mathbf{F}$ и $\mathrm{dr}, \mathrm{d} s=|\mathrm{d} \mathbf{r}|$ — элементарный путь, $F_{s}$ — проекция вектора $\mathbf{F}$ на вектор $\mathrm{dr}$ (рис. 4.1).

Итак, элементарная работа силы $\mathbf{F}$ на перемещении $\mathrm{d} \mathbf{r}$
\[
\delta A=\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=F_{s_{s}}^{\prime} \mathrm{d} s .
\]

Величина $\delta A$ — алгебраическая: в зависимости от угла между векторами $\mathbf{F}$ и $d \mathbf{r}$ (или от знака проекции $F_{s}$ вектора $\mathbf{r}$ на вектор dr) она может быть как положительной, так и отрицательной и, в частности, равной нулю (если $\mathrm{F} \perp \mathrm{dr}$, т. е. $F_{s}=0$ ).

Рис. 4.1
Рис. 4.2

Суммируя (интегрируя) выражение (4.1) по всем элементарным участкам пути от точки 1 до точки 2, найдем работу силы $\mathbf{F}$ на данном пути:

Отметим следующее важное обстоятельство: формула (4.2) справедлива не только для частицы, но и вообще для любого тела (или системы тел). Надо только иметь в виду, что под $\mathrm{dr}$ (или $\mathrm{d} s$ ) следует понимать перемещение точки приложения силы F. Игнорирование этого обстоятельства зачастую приводит к ошибочным результатам.

Выражению (4.2) можно придать наглядный геометрический смысл. Изобразим график $F_{s}$ как функцию положения частицы на траектории. Пусть, например, этот график имеет вид, показанный на рис. 4.2. Из рисунка видно, что элементарная работа $\delta A$ численно равна площади заштрихованной полоски, а работа $A$ на пути от точки 1 до точки 2 — площади фигуры, ограниченной кривой, ординатами 1 и 2 и осью $s$. При этом площадь фигуры над осью $s$ берется со знаком плюс (она соответствует положительной работе), а площадь фигуры под осью $s$ —

со знаком минус (она соответствует отрицательной ра́боте).

Рассмотрим несколько примеров на вычисление работы.

Работа упругой силы $\mathbf{F}=-\chi \mathbf{r}$, где $\mathbf{r}$ — радиус-вектор частицы $M$ относительно точки $O$ (рис. 4.3,a). Переместим частицу $M$, на которую действует эта сила, по произвольному пути из точки 1 в точку 2. Найдем сначала

Рис, 4.3

элементарную работу силы $\mathbf{F}$ на элементарном перемещении dr:
\[
{ } A=\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=-x \mathbf{r} \mathrm{d} \mathbf{r} .
\]

Скалярное произведение $\mathbf{r d r}=r(\mathrm{~d} \mathbf{r})_{\mathbf{r}}$, где $(\mathrm{dr})_{\mathbf{r}}$ — проекция $\mathrm{dr}$ на вектор $\mathbf{r}$. Эта проекция равна $\mathrm{d} r$ — прирацению модуля вектора $\mathbf{r}$. Поэтому $\mathbf{r d r}=r \mathrm{~d} r$ и
\[
\delta A=-x r \mathrm{~d} r=-\mathrm{d}\left(x r^{2} / 2\right) .
\]

Теперь вычислим работу данной силы на всем пути, т. е. проинтегрируем последнее выражение от точки 1 до точки 2:
\[
A=-\int_{1}^{2} \mathrm{~d}\left(\frac{x r^{2}}{2}\right)=\frac{x r_{1}^{2}}{2}-\frac{x r_{2}^{2}}{2} .
\]

Работа гравитационной (или кулоновской) силы.
Пусть в точке $O$ (рис. 4.3,б) находится неподвижный силовой центр — материальная точка, действующая на частицу $M$ с силой $\mathbf{F}$, которая как для гравитационного, так и для кулоновского взаимодействий может быть представлена в виде
\[
\mathbf{F}=\left(\alpha / r^{2}\right) \mathbf{e}_{r},
\]

где $\alpha$-соответствующая постоянная ( $-\gamma m_{1} m_{2}$ или $\left.k q_{1} q_{2}\right), r$ — расстояние от точки $O$ до частицы $M, \mathbf{e}_{r}$ — орт радиуса-вектора r.
Элементарная работа этой силы на перемещении $\mathrm{dr}$
\[
\delta A=\mathbf{F} \mathrm{dr}=\left(\alpha / r^{2}\right) \mathbf{e}_{\boldsymbol{r}} \mathrm{d} \mathbf{r} .
\]

Скалярное произведение $\mathbf{e}_{r} \mathrm{~d} \mathbf{r}=\mathrm{d} r$, т. е. равно приращению модуля вектора r, поэтому
\[
\delta A=\alpha \mathrm{d} r / r^{2}=-\mathrm{d}(\alpha / r) .
\]

Работа же этой силы на всем пути от точки 1 до точки 2
\[
A=-\int_{1}^{2} \mathrm{~d}\left(\frac{\alpha}{r}\right)=\frac{\alpha}{r_{1}}-\frac{\alpha}{r_{2}} \text {. }
\]

Работа однородной силы тяжести $\mathbf{F}=m \mathrm{~g}$. Запишем эту силу в виде $\mathbf{F}=-m g k$, где Рис. 4.4 k — орт вертикальной оси $\boldsymbol{z}$, положительное направление которой выбрано вверх (рис. 4.4). Элементарная работа силы тяжести на перемещении $\mathrm{dr}$
\[
\delta A=\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r}=-m g \mathbf{k} \mathrm{dr} .
\]

Скалярное произведение $\mathbf{k d r}=(\mathrm{dr})_{\mathbf{k}}$, где $(\mathrm{dr})_{\mathbf{k}}-$ проекция dr на орт $\mathbf{k}$, равная $\mathrm{d} z$ — приращению координаты $z$. Поэтому $\mathbf{k d r}=\mathrm{d} z$ и
\[
\delta A=-m g \mathrm{~d} z=-\mathrm{d}(m g z) .
\]

Работа же данной силы на всем пути от точки 1 до точки 2
\[
A=-\int_{1}^{2} \mathrm{~d}(m g z)=m g\left(z_{1}-z_{2}\right) .
\]

Рассмотренные силы интересны в том отношении, что их работа, как видно из формул (4.3)- (4.5), не зависит от формы пути между точками 1 и 2 , а зависит только от положения этих точек. Эта весьма важная особенность данных сил присуща, однако, не всем силам. Например, сила трения этим свойством не обладает: работа этой силы зависит не только от положения начальной и конечной точек, но и от формы пути между ними.

До сих пор речь шла о работе одной силы. Если же на частицу в процессе движения действуют несколько сил, результирующая которых $\mathbf{F}=\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}+\ldots$, то нетрудно показать, что работа результирующей силы $\mathbf{F}$ на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности на том же перемещении. Действительно,
\[
\begin{aligned}
A & =\int\left(\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}+\ldots\right) \mathrm{d} \mathbf{r}=\int \mathbf{F}_{1} \mathrm{~d} \mathbf{r}+ \\
& +\int \mathbf{F}_{2} \mathrm{~d} \mathbf{r}+\ldots=A_{1}+A_{2}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Единицей работы в СИ является джоуль (Дж) Джоуль — это работа силы в $1 \mathrm{H}$ на пути в 1 м (при условии, что направление силы совпадает по направлению с перемещением), или 1 Дж $=1 \mathrm{H} \cdot \mathrm{m}$.

Мощность.
Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью. Мощность, по определению,-это работа, совершаемая силой за единицу времени. Если за промежуток времени $\mathrm{d} t$ сила $\mathbf{F}$ совершает работу $\mathbf{F d r}$, то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени, есть $N=\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r} / \mathrm{d} t$. Учитывая, что $\mathrm{dr} / \mathrm{d} t=\mathbf{v}$, получим

Таким образом, мощность, развиваемая силой $\mathbf{F}$, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения данной силы. Қак и работа, мощность-величина алгебраическая.

Зная мощность силы $\mathbf{F}$, можно найти и работу, которую совершает эта сила за промежуток времени $t$. В самом деле, представив подынтегральное выражение в (4.2) в виде $\mathbf{F d r}=\mathbf{F} \mathbf{v} d t=N \mathrm{~d} t$, получим
\[
A=\int_{0}^{t} N \mathrm{~d} t
\]

Единицей мощности в СИ является ватт (Вт), равный джоулю в секунду (Дж/с).

В заключение обратим внимание на одно весьма существенное обстоятельство. Когда говорят о работе (или мощности), то необходимо в каждом конкретном случае четко указывать или представлять себе, работа какой

именно силы (или сил) имеется в виду. В противном случае, как правило, неизбежны недоразумения.