До сих пор мы ограничивались рассмотрением поведения одной частицы с энергетической точки зрения. Теперь перейдем к системе частиц. Это может быть любое тело, газ, какой-то механизм, Солнечная система и т. д.

Собственная потенциальная энергия системы.
Рассмотрим систему, между частицами которой действуют одни лишь центральные силы, т. е. силы, зависящие при данном характере взаимодействия только от расстояния между частицами и направленные по прямой, проходящей через эти частицы.

Покажем, что независимо от системы отсчета работа всех этих внутренних сил при переходе системы частиц из одного положения в другое может быть представлена как убыль некоторой функции, зависящей при данном характере взаимодействия только от относительного расположения частиц системы, т. е. от ее конфигурации. Эту функцию называют собственной потенциальной энергией системы (в отличие от внешней потенциальной энергии, характеризующей взаимодействие данной системы с другими телами).

Сначала возьмем систему из двух частиц 1 и 2 . Определим алгебраическую сумму элементарных работ сил $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$, с которыми эти частицы взаимодействуют. Пусть в произвольной $K$-системе отсчета за время $\mathrm{d} t$ частицы совершили перемещения $\mathrm{d} \mathbf{r}_{1}$ и $\mathrm{d}_{2}$. Тогда соответствующая сумма работ этих сил
\[
\delta A_{1,2}=\mathrm{F}_{1} \mathrm{~d} \mathbf{r}_{1}+\mathrm{F}_{2} \mathrm{~d} \mathbf{r}_{2} .
\]

Учитывая, что $\mathbf{F}_{2}=-\mathbf{F}_{1}$ (согласно третьему закону Ньютона), перепишем предыдущее уравнение так:
\[
\delta A_{1,2}=\mathbf{F}_{1}\left(\mathrm{dr}_{1}-\mathrm{d} \mathbf{r}_{2}\right) .
\]

Величина, стоящая в скобках, представляет собой не что иное, как перемещение частицы 1 относительно частицы 2 , точнее, перемещение частицы 1 в $K^{\prime}$-системе отсчета, жестко связанной с частицей 2 и перемещающейся вместе с ней поступательно относительно исходной $K$-системы отсчета. Действительно, перемещение $\mathrm{dr}_{1}$ частицы 1 в $K$-системе отсчета может быть представлено как перемещение $\mathrm{dr}_{2} K^{\prime}$-системы отсчета (связанной с частицей 2 ) плюс перемещение $\mathrm{dr}_{1}^{\prime}$ частицы $l$ относительно этой $K^{\prime}$ системы, т. е. $d \mathbf{r}_{1}=\mathrm{d} \mathbf{r}_{2}+\mathrm{d} \mathbf{r}_{1}^{\prime}$. Отсюда $\mathrm{dr}_{1}-\mathrm{d} \mathbf{r}_{2}=\mathrm{d} \mathbf{r}_{1}^{\prime}$ и
\[
\delta A_{1,2}=\mathrm{F}_{1} \mathrm{~d} \mathbf{r}_{1}^{\prime} .
\]

Полученный таким образом результат весьма замечателен: алгебраическая сумма элементарных работ пары сил взаимодействия в произвольной $K$-системе отсчета оказывается всегда равной элементарной работе, которую совершает сила, действующая на одну частицу, в системе отсчета, где другая частица покоится. Иначе говоря, работа $\delta A_{1,2}$ не зависит от выбора исходной $K$-системы отсчета.

Сила $\mathbf{F}_{1}$, действующая на частицу 1 со стороны частицы 2 , является центральной, а значит и консервативной. Поэтому работа данной силы на перемещении $\mathrm{dr}_{1}{ }^{\prime}$ может быть представлена, согласно (4.10), как убыль потенциальной энергии частицы 1 в поле частицы 2 или как убыль потенциальной энергии взаимодействия рассматриваемой пары частиц:
\[
\delta A_{1,2}=-\mathrm{d} U_{12},
\]

где $U_{12}$ – функция, зависящая только от расстояния между этими частицами.
При конечном же перемещении
\[
A_{1,2}=-\Delta U_{12} \text {. }
\]

Рассмотрим теперь систему из трех частиц. (Полученный в этом случае результат легко обобщить и на систему из произвольного числа частиц.) Работа, которую совершают все силы взаимодействия при перемещении всех частиц, может быть представлена как алгебраическая сумма работ всех трех пар сил взаимодействий, т. е. $A=A_{1,2}+A_{1,3}+A_{2,3}$. Но для каждой пары этих сил, как только что было показано, $A_{i k}=-\Delta U_{i k}$, поэтому
\[
A=-\Delta\left(U_{12}+U_{13}+U_{23}\right)=-\Delta U_{\text {c } 06},
\]

где функция $U_{\text {соб }}$-собственная потенциальная энергия данной системы частиц:
\[
U_{\text {соб }}=U_{12}+U_{13}+U_{23} .
\]

Так как каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соответствующими частицами, то очевидно, что собственная потенциальная энергия данной системы зависит от относительного расположения частиц (в один и тот же момент), или, другими словами, от конфигурации системы.

Ясно, что подобные рассуждения справедливы и для системы из любого числа частиц. Поэтому можно утверждать, что каждой конфигурации системы частиц присуще свое значение собственной потенциальной энергии и работа всех внутренних центральных (консервативных) сил при изменении этой конфигурации равна убыли собственной потенциальной энереии системы:

где $U_{1 \text { соб }}$ и $U_{2 \text { соб }}$ – значения собственной потенциальной энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Мы видим, таким образом, что суммарная работа внутренних центральных сил не зависит от того, как конкретно система переходит от конфигурации 1 к конфигурации 2. Данная работа определяется исключительно самими конфигурациями системы. Все это позволяет дать более общее определение консервативных сил: консервативными называют силь, зависящие только от конфигурации системы и суммарная работа которых не зависит от «пути» перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы.

Собственная потенциальная энергия системы – величина не аддитивная, т. е. она не равна в общем случае сумме собственных потенциальных энергий ее частей. Необходимо учесть еще потенциальную энергию взаимодействия $U_{\text {вз }}$ отдельных частей системы:
\[
U_{\text {соб }}=\sum U_{n}+U_{\text {вз }},
\]

где $U_{n}$ – собственная потенциальная энергия $n$-й части системы.

Следует также иметь в виду, что собственная потенциальная энергия системы, как и потенциальная энергия взаимодействия каждой пары частиц, определяется с точностью до произвольной постоянной.

В заключение приведем полезные формулы для расчета собственной потенциальной энергии системы Прежде всего покажем, что эта энергия может быть представлена как

где $U_{i}$ – потенциальная энергия взаимодействия $i$-й частицы со всеми остальными частицами системы. Здесь сумма берется по всем частицам системы.

Убедимся в справедливости этой формулы сначала для системы из трех частиц. Выше было показано, что собственная потенциальная энергия данной системы $U_{\text {соб }}=U_{12}+U_{13}+U_{23}$. Преобразуем эту сум. му следующим образом Представим каждое слагаемое $U_{i k}$ в симметричном виде: $U_{\imath k}=\left(U_{i k}+U_{k i}\right) / 2$, ибо ясно, что $U_{i k}=U_{k \imath}$. Тогда
\[
U_{\text {соб }}=\frac{1}{2}\left(U_{12}+U_{21}+U_{13}+U_{31}+U_{23}+U_{32}\right) .
\]

Сгруппируем члены с одинаковым первым индексом:

\[
U_{\text {coб }}=\frac{1}{2}\left[\left(U_{12}+U_{13}\right)+\left(U_{21}+U_{23}\right)+\left(U_{31}+U_{32}\right)\right] .
\]

Каждая сумма в круглых скобках представляет собой потенциальную энергию $U_{i}$ взаимодействия $i$-й частицы с остальными двумя. Поэтому последнее выражение можно переписать так:
\[
U_{\text {c } 06}=\frac{1}{2}\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}\right)=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} U_{i},
\]

что полностьіо соответствует формуле (4.35).
Обобщение полученного результата на произвольную систему очевидно, ибо ясно, что подобные рассуждения совершенно не зависят от числа частиц, составляющих систему.

Для системы, взаимодействие между частицами которой носит гравитационный или кулоновский характер, формулу (4.35) можно преобразовать и к другому виду, воспользовавшись понятием потен. циала. Заменим в (4.35) потенциальную энергию $i$-й частицы выра. жением $U_{i}=m_{i} \varphi_{i}$, где $m_{i}$ – масса (заряд) $i$-й частицы, а $\varphi_{i}$ – потенциал, создаваемый всеми остальными частицами системы в точкө нахождения $i$-й частицы. Тогда
\[
U_{\mathrm{c} \text { б }}=\frac{1}{2} \sum m_{i} \varphi_{i} .
\]

Если массы (заряды) распределены в системе иепрерывно, то суммирование сводится к интегрированию:
\[
U_{\text {соб }}=\frac{1}{2} \int \varphi \mathrm{d} m=\frac{1}{2} \int \varphi \rho \mathrm{d} V,
\]

где $\rho$ – объемная плотность массы (заряда), dV-элемент объема. Здесь интегрирование проводится по всему объему, занимаемому массами (зарядами).

«Внешняя» потенциальная энергия системы.
Рассмотрим случай, когда система находится во внешнем стационарном поле консервативных сил. В этом случае каждая частица системы будет характеризоваться своим значением потенциальной энергии $U_{i}$ в данном поле, а вся система – величиной
\[
U_{\text {внеш }}=\sum U_{i} .
\]

Эту величину мы и будем называть «внешней» потенциальной энергией системы в отличие от $U_{\text {соб }}$ – собственной потенциальной энергии, зависящей только от взаимодействия частиц системы между собой.

Согласно (4.10), убыль потенциальной энергии каждой частицы во внешнем поле равна работе силы данного поля на соответствующем перемещении, поэтому убыль

$U_{\text {внеш }}$ всей системы равна $A_{\text {внеш }}$ – алгебраической сумме работ всех сил внешнего поля, действующих на все частицы системы:

Получим полезную формулу для вычисления внешней потенциальной энергии системы, находящейся в однородном силовом поле. Пусть, например, это будет поле тяжести, где на $i$-ю частицу системы действует сила $m_{i} g$. В этом случае потенциальная энергия данной частицы, согласно (4.13), есть $m_{i} g z_{i}$, где $z_{i}$ вертикальная координата частицы, отсчитанная от некоторого произвольного уровня $O$. Тогда потенциальная энергия всей системы во внешнем однородном поле (собственная потенциальная энергия нас сейчас не интересует) может быть записана так:
\[
U_{\text {внеш }}=\sum m_{i} g z_{i}=\left(\sum m_{i} z_{i}\right) g .
\]

Сумма, стоящая в скобках, в соответствии с (3.8) есть не что иное, как произведение массы $m$ всей системы на вертикальную координату $z_{C}$ центра масс данной системы, т. е. $\sum m_{i} z_{i}=m z_{C}$. Поэтому выражение для $U_{\text {внеш }}$ можно переписать в окончательном виде:
\[
U_{\text {внеш }}=m g z_{C},
\]
т. е. потенциальная энергия системы во внешнем однородном поле тяжести равна произведению массы $m$ системы на $g$ и на вертикальную координату $z_{C}$ ее центра масс.

Приращение величины $U_{\text {внеш }}$ при перемещении системы определяется формулой
\[
\Delta U_{\text {внеш }}=m g \Delta z_{C},
\]

где $\Delta z_{C}$ – приращение вертикальной координаты центра масс данной системы частиц.