Теория движения твердого тела помимо самостоятельного значения играет важную роль еще и в другом отношении. С твердым телом, как известно, может быть связана система отсчета, служащая для пространственновременно́го описания различных движений. Поэтому изучение характера движения твердых тел равносильно, по существу, изучению движений соответствующих систем отсчета. Результаты, которые мы получим в этом параграфе, будут неоднократно использоваться в дальнейшем.

Различают пять видов движения твердого тела:
1) поступательное, 2) вращение вокруг неподвижной оси, 3) плоское движение, 4) движение вокруг неподвижной точки и 5) свободное движение. Первые два движения (поступательное и вращение вокруг неподвижной оси) являются основными движениями твердого тела. Остальные виды движения твердого тела, оказывается, можно свести к одному из основных движений или к их совокупности (это будет показано на примере плоского движения).

В данном параграфе будут рассмотрены первые три вида движения и вопрос сложения угловых скоростей.

Поступательное движение.
Это такое движение твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. Например, вагон, движущийся по прямому участку пути; кабина колеса обозрения и др.

При поступательном движении все точки твердого тела совершают за один и тот же промежуток времени равные перемещения. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. Это обстоятельство позволяет свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки тела, т. е. к задаче кинематики точки.

Таким образом, поступательное движение твердого тела может быть полностью описано, если известны зависимость от времени радиуса-вектора $\mathbf{r}(t)$ любой точки этого тела и положение последнего в начальный момент.

Вращение вокруг неподвижной оси.
Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной в данной системе отсчета оси $O O^{\prime}$, совершило за время $\mathrm{d} t$ бесконечно малый поворот. Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором $\mathrm{d} \varphi$, модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью $O O^{\prime}$, причем

так, что направление поворота отвечает правилу п р а в ого винта по отношению к направлению вектора $\mathrm{d} \varphi$ (рис. 1.6).

Теперь найдем элементарное перемещение любой точки $A$ твердого тела при таком повороте. Положение точки $A$ зададим радиусом-вектором $\mathbf{r}$, проведенным из некоторой точки $O$ на оси вращения. Тогда линейное перемещение конца радиуса-вектора $\mathbf{r}$ (рис. 1.6) связано с углом поворота $\mathrm{d} \varphi$ соотношением
\[
|\mathrm{d} r|=r \sin \vartheta \mathrm{d} \varphi,
\]

или в векторном виде
\[
\mathrm{d} \mathbf{r}=[\mathrm{d} \varphi, \mathrm{r}] .
\]

Отметим, что это равенство справедливо лишь для бесконечно малого поворота $\mathrm{d} \varphi$. Другими словами, только бесконечно малые повороты можно рассматривать как векторы*.

Кроме того, введенный нами вектор $\mathrm{d} \varphi$ удовлетворяет основному свойству векторов – векторному сложению. В самом деле, представим себе, что твердое тело совершает два элементарных поворота $\mathrm{d} \varphi_{1}$ и $\mathrm{d} \varphi_{2}$ вокруг разных осей, проходящих через неподвижную точку $U$. Тогда результирующее перемещение $\mathrm{dr}$ произвольной точки $A$ тела, радиус-вектор которой относительно точки $O$ равен $\mathbf{r}$, можно представить так:

где
\[
\mathrm{d} \mathbf{r}=\mathrm{d} \mathbf{r}_{1}+\mathrm{d} \mathbf{r}_{2}=\left[\mathrm{d} \varphi_{1}, \mathbf{r}\right]+\left[\mathrm{d} \varphi_{2}, \mathbf{r}\right]=[\mathrm{d} \boldsymbol{\varphi}, \mathbf{r}],
\]
\[
\mathrm{d} \varphi=\mathrm{d} \varphi_{1}+\mathrm{d} \varphi_{2},
\]

* Как следует из рис. 1.6, для конечного поворота на угол $\Delta \varphi$ линейное перемещение точки $A$
\[
|\Delta \mathbf{r}|=r \sin \vartheta \cdot 2 \sin (\Delta \varphi / 2) .
\]

Отсюда сразу видно, что перемещение $\Delta \mathrm{r}$ нельзя представить как векторное произведение векторов $\Delta \varphi$ и r. Это возможно лишь в случае бесконечно малого поворота $\mathrm{d} \varphi$, в пределах которого радиус-вектор r можно считать неизменным,

т. е. два данных поворота ( $\mathrm{d} \varphi_{1}$ и $\mathrm{d} \varphi_{2}$ ) эквивалентны одному повороту на угол $\mathrm{d} \varphi=\mathrm{d} \varphi_{1}+\mathrm{d} \varphi_{2}$ вокруг оси, совпадающей с вектором $\mathrm{d} \varphi$ и проходящей через точку $U$.

Заметим, что при рассмотрении таких величин, как радиус-вектор $\mathbf{r}$, скорость $\mathbf{v}$, ускорение $\mathbf{a}$, не возникал вопрос о выборе их направления: оно вытекало естественным образом из природы самих величин. Подобные векторы называют пол я р ным и. В отличие от них векторы типа $\mathrm{d} \varphi$, направление которых связывают с направлением вращения, называют ак с и альными.

Введем векторы угловой скорости и углового ускорения. Вектор угловой скорости о определяют как
\[
\omega=\mathrm{d} \varphi / \mathrm{d} t,
\]

где $\mathrm{d} t$ – промежуток времени, за который тело совершает поворот d $\varphi$. Вектор $\omega$ совпадает по направлению с вектором d $\varphi$ и представляет собой аксиальный вектор.

Изменение вектора $\boldsymbol{\omega}$ со временем характеризуют вектором углового ускорения $\boldsymbol{\beta}$, который определяют как
\[
\beta=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t .
\]

Направление вектора $\boldsymbol{\beta}$ совпадает с направлением d $\boldsymbol{-}$ приращения вектора $\boldsymbol{\omega}$. Вектор $\boldsymbol{\beta}$, как и $\boldsymbol{\omega}$, является аксиальным.

Единицей угловой скорости в СИ является радиан в секунду (рад/с), а единицей углового ускорения радиан на секунду в квадрате (рад/ $\mathrm{c}^{2}$ ).

Представление угловой скорости и углового ускорения в виде векторов оказывается чрезвычайно плодотворным, особенно при изучении более сложных движений твердого тела. Это дает возможность во многих случаях получить большую наглядность, а также резко упростить как анализ движения, так и соответствующие расчеты.

Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения в проекциях на ось вращения $z$, положительное направление которой свяжем с положительным направлением отсчета координаты $\varphi$ – угла поворота правилом правого винта (рис. 1.7). Тогда проекции $\omega_{z}$ и $\beta_{z}$ векторов $\boldsymbol{\omega}$ и $\boldsymbol{\beta}$ на ось $\boldsymbol{z}$ определяются формулами
\[
\begin{array}{l}
\omega_{z}=\mathrm{d} \varphi / \mathrm{d} t, \\
\beta_{z}=\mathrm{d} \omega_{z} / \mathrm{d} t .
\end{array}
\]

Здесь $\omega_{z}$ и $\beta_{z}$ – величины алгебраические. Их знак характеризует направление соответствующего вектора. Например, если $\omega_{z}>0$, то направление вектора $\boldsymbol{\omega}$ совпадает с положительным направлением оси $z$; если же $\omega_{z}<0$, то направление вектора о противоположно. Аналогично и для углового ускорения.
Таким образом, зная зависимость $\varphi(t)$ – закон вращения тела, по формулам (1.15) и (1.16) можно найти угловую скорость и угловое ус. корение в каждый момент времени. И наобо. рот, если известны зависимость углового ускорения от времени и начальные условия, т. е. угловая скорость $\omega_{0}$ и угол р $_{0}$ в началь-
Рис. 1.7 ный момент времени, то можно найти $\boldsymbol{\omega}(t)$ и $\varphi(t)$.
Пример. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону $\varphi=a t-b t^{2} / 2$, где $a$ и $b$ – некоторые положительные постоянные. Найдем характер движения этого тела.
Согласно (1.15) и (1.16),
\[
\omega_{z}=a-b t ; \quad \beta_{z}=-b=\text { const. }
\]

Отсюда видно, что тело, вращаясь равнозамедленно $\left(\beta_{z}<0\right)$, останавливается в момент $t_{0}=a / b$, а затем направление вращения (знак $\omega_{z}$ ) изменяется на противоположное.

Отметим, что решение всех задач на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси аналогично по форме задачам на прямолинейное движение точки. Достаточно заменить линейные величины $x, v_{x}$ и $w_{x}$ на соответствующие угловые $\varphi, \omega_{z}$ и $\beta_{z}$, и мы получим все закономерности и соотношения для вращающегося тела.

Связь между линейными и угловыми величинами.
Найдем скорость $v$ произвольной точки $A$ твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси $O O^{\prime}$ с угловой скоростью ю. Пусть положение точки $A$ относительно некоторой точки $O$ оси вращения характеризуется радиусом-вектором $\mathbf{r}$ (рис. 1.8). Воспользуемся формулой (1.11), поделив ее на соответствующий промежуток времени $\mathrm{d} t$. Так как $\mathrm{dr} / \mathrm{d} t=\mathbf{v}$ и $\mathrm{d} \boldsymbol{\varphi} / \mathrm{d} t=\boldsymbol{\omega}$, то
т. е. скорость $\mathbf{V}$ любой точки $A$ твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью $\boldsymbol{1}$,
точки $A$ относительно произвольной точки $O$ оси вращения (рис. 1.8).
Модуль вектора (1.17) $v=\omega r \sin \vartheta$, или
\[
v=\omega \rho,
\]

где $\rho$ – радиус окружности, по которой движется точка $A$.

Продифференцировав (1.17) по времени, найдем полное ускорение а точки $A$ :
\[
\mathbf{a}=[\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t, \mathbf{r}]+[\omega, \mathrm{d} \mathbf{r} / \mathrm{d} t],
\]

или

В данном случае (ось вращения неподвижна) $\beta \| \omega$, поэтому вектор [ $\beta r]$ представляет собой тангенциальное ускорение $\mathbf{a}_{\tau}$. Вектор же $[\omega[\omega r]]$ – это нормальное ускорение $\mathbf{a}_{n}$. Модули этих ускорений равны:
\[
\left|\mathbf{a}_{\tau}\right|=\beta \rho ; \quad a_{n}=\omega^{2} \rho .
\]

Отсюда модуль полного ускорения
Рис. 1.8
\[
a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\rho \sqrt{\beta^{2}+\omega^{4}} .
\]

Плоское движение твердого тела.
Это такое движение, при котором каждая точка твердого тела движется в плоскости, Параллельной некоторой неподвижной (в данной системе отсчета) плоскости. При этом плоская фигура $\Phi$, образованная сечением тела этой неподвижной плоскостью $P$ (рис. 1.9), в процессе движения все время остается в этой плоскости, например цилиндр, катящийся по плоскости без скольжения (но конус в подобном случае совершает уже более сложное движение).

Нетрудно сообразить, что положение твердого тела при плоском движении однозначно определяется положением плоской фигуры $\Phi$ в неподвижной плоскости $P$. Это позволяет свести изучение плоского движения твердого тела к изучению движения плоской фигуры в ее плоскости.

Пусть плоская фигура $\Phi$ движется в своей плоскости $P$, неподвижной в $K$-системе отсчета (рис. 1.10). Положение фигуры $\Phi$ на плоскости можно определить задав радиус-вектор $\mathbf{r}_{0}$ произвольной точки $O^{\prime}$ фигуры и угол $\varphi$ между радиусом-вектором $\mathbf{r}^{\prime}$, жестко связанным с фигурой, и некоторым фиксированным направлением в К-системе отсчета. Тогда плоское движение твердого тела будет описываться дву-
Рис. 1.9 мя уравнениями:
\[
\mathbf{r}_{0}=\mathbf{r}_{0}(t) ; \quad \varphi=\varphi(t) .
\]

Если за промежуток времени $\mathrm{d} t$ радиус-вектор $\mathbf{r}^{\prime}$ точки $A$ (рис. 1.10) повернется на угол $\mathrm{d} \varphi$, то на такой же угол повернется и любой отрезок, связанный с фигурой. Другими словами, поворот фигуры на угол d $\varphi$ не зависит от выбора точки $O^{\prime}$. А это значит, что и угловая скорость $\boldsymbol{\omega}$ фигуры тоже не зависит от выбора точки $O^{\prime}$, и мы имеем право называть ю угловой скоростью твердого тела как такового.

Найдем скорость $\mathbf{v}$ произвольной точки $A$ тела при плоском движении. Введем вспомогательную $K^{\prime}$-систему отсчета, которая жестко связана с точкой $O^{\prime}$ тела и перемещается поступательно относительно $К$-системы (рис.
Рис. 1.10
1.10). Тогда элементарное перемещение $\mathrm{dr}$ точки $A$ в $K$-системе можно записать в виде
\[
\mathrm{d} \mathbf{r}=\mathrm{d} \mathbf{r}_{0}+\mathrm{d} \mathbf{r}^{\prime},
\]

где $d \mathbf{r}_{0}$ – перемещение $K^{\prime}$-системы (точки $O^{\prime}$ ), а $\mathrm{dr}^{\prime}$ перемещение точки $A$ относительно $K^{\prime}$-системы. Перемещение $\mathrm{dr}^{\prime}$ обусловлено вращением тела вокруг неподвижной в $K^{\prime}$-системе оси, проходящей через точку $O^{\prime}$; согласно (1.11), $\mathrm{dr}^{\prime}=\left[\mathrm{d} \varphi, \mathbf{r}^{\prime}\right]$. Подставив это выражение в предыдущее и поделив обе части полученного равенства на $\mathrm{d} t$, найдем

\[
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}+\left[\omega \mathrm{r}^{\prime}\right],
\]
т. е. скорость любой точки $A$ твердого тела при плоском движении * складывается из скорости $\mathbf{v}_{0}$ произвольной точки $O^{\prime}$ этого тела и скорости $\mathbf{v}^{\prime}=\left[\omega \mathbf{r}^{\prime}\right]$, обусловленной вращением тела вокруг оси, проходящей через точку $O^{\prime}$. Подчеркнем еще раз, что $\mathbf{v}^{\prime}$ – это скорость точки $A$ относительно поступательно движущейся $K^{\prime}$-системы отсчета, жестко связанной с точкой $O^{\prime}$.
Рис. 1.11
Рис. 1.12
Иначе говоря, плоское движение твердого тела можно представить как совокупность двух основных видов движения – поступательного (вместе с произвольной точкой $O^{\prime}$ тела) и вращательного (вокруг оси, проходящей через точку $O^{\prime}$ ).

Покажем, что плоское движение можно свести к чисто вращательному. Действительно, при плоском движении скорость $\mathbf{v}_{0}$ произвольной точки $O^{\prime}$ тела перпендикулярна вектору $\omega$, а это значит, что всегда найдется такая точка $M$, жестко связанная с телом**, скорость которой $\mathbf{v}=0$ в данный момент. Из условия $0=\mathbf{v}_{0}+\left[\omega \mathbf{r}^{\prime}{ }_{M}\right]$ можно найти положение точки $M$, т. е. ее радиус-вектор $\mathbf{r}_{\text {м }}^{\prime}$ относительно точки $O^{\prime}$ (рис. 1.11). Этот вектор перпендикулярен векторам $\boldsymbol{\omega}$ и $\mathbf{v}_{0}$, его направление соответствует векторному произведению $\mathbf{v}_{0}=-\left[\omega \mathrm{r}_{M}^{\prime}\right]$, а модуль $\mathbf{r}_{M}^{\prime}=v_{0} / \omega$.

Точка $M$ определяет и положение соответствующей оси (она совпадает по направлению с вектором $\omega$ ). Движение твердого тела в данный момент времени представляет собой чистое вращение вокруг этой оси. Такую ось называют мгновенной осью в р щения.

Положение мгновенной оси, вообще говоря, меняется со временем. Например, в случае катящегося по плоскости цилиндра мгновенная ось в каждый момент совпадает с линией касания цилиндра и плоскости.

Сложение угловых скоростей. Рассмотрим движение твердого тела, вращающегося одновременно вокруг двух пересекающихся осей. Сообщим некоторому телу вращение с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}^{\prime}$ вокруг оси $O A$ (рис. 1.12) и затем эту ось приведем во вращение с угловой скоростью $\omega_{0}$ вокруг оси $O B$, неподвижной в $K$-системе отсчета. Найдем результирующее движение тела в $К$-системе.

Введем вспомогательную $K^{\prime}$-систему отсчета, жестко связанную с осями $O A$ и $O B$. Ясно, что эта система вращается с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}_{0}$, и тело вращается относительно нее с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}^{\prime}$.

За промежуток времени $\mathrm{d} t$ тело совершит поворот $\mathrm{d} \varphi^{\prime}$ вокруг оси $O A$ в $K^{\prime}$-системе и одновременно поворот $\mathrm{d} \varphi_{0}$ вокруг оси $O B$ вместе с $K^{\prime}$-системой. Суммарный поворот, согласно (1.12), есть $\mathrm{d} \varphi=\mathrm{d} \varphi_{0}+\mathrm{d} \varphi^{\prime}$. Поделив обе части этого равенства на $\mathrm{d} t$, получим
\[
\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}_{0}+\boldsymbol{\omega}^{\prime} .
\]

Таким образом, результирующее движение твердого тела в $K$-системе представляет собой чистое вращение с угловой скоростью ш вокруг оси, совпадающей в каждый момент с вектором $\omega$ и проходящей через точку $O$ (рис. 1.12). Эта ось перемещается относительно $К$-системы она поворачивается с угловой скоростью $\omega_{0}$ вместе с осью $O A$ вокруг оси $O B$.

Нетрудно сообразить, что даже в том случае, когда угловые скорости $\boldsymbol{\omega}^{\prime}$ и $\boldsymbol{\omega}_{0}$ не меняются по модулю, тело будет обладать в $K$-системе угловым ускорением $\boldsymbol{\beta}$, направленным, согласно (1.14), за плоскость (рис. 1.12). Вопрос об угловом ускорении твердого тела более подробно рассмотрен в задаче 1.10.

И последнее замечание. Поскольку вектор угловой скорости а удовлетворяет основному свойству векторов – векторному сложению, ю можно представить как векторную сумму составляющих на определенные направления, т. е. $\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}_{1}+\boldsymbol{\omega}_{2}+\ldots$, где все векторы относятся к одной и той же системе отсчета. Этим удобным и полезным приемом часто пользуются при анализе сложного движения твердого тела.