Диссипативные силы.
Помимо разделения всех сил на внешние и внутренние (в зависимости от выбора системы частиц), силы, как мы уже знаем, принято подразделять на консервативные и неконсервативные (в зависимости от их природы).

К неконсервативным силам относятся так называемые диссипативные силы – это силы трения и сопротивления. Любая диссипативная сила может быть представлена в виде
\[
\mathbf{F}=-k(v) \mathbf{v},
\]

где $\mathbf{v}$ – скорость данного тела относительно другого тела (или среды), с которрым оно взаимодействует; $k(v)$ – положительный коэффициент, зависящий в общем случае от скорости $v$. Сила $\mathbf{F}$ всегда направлена противоположно вектору $\mathbf{v}$.

В зависимости от выбора системы отсчета работа этой силы может быть как положительной, так и отрицательной. Однако, как мы сейчас покажем и что будет важно для дальнейшего, суммарная работа всех внутренних диссипативных сил в системе – величина всегда отрицательная независимо от системы отсчета:

Переходя к доказательству, отметим прежде всего, что внутренние диссипативные силы в данной системе будут встречаться попарно, причем в каждой паре, согласно третьему закону Ньютона, они одинаковы по модулю и противоположны по паправлению. Найдем элементарную работу произвольной пары диссипативных сил взаимодействия между телами 1 и 2 в системе отсчета, где скорости этих тел в данный момент равны $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ :
\[
\delta A^{\text {дис }}=\mathbf{F}_{1} \mathbf{v}_{1} \mathrm{~d} t+\mathbf{F}_{2} \mathbf{v}_{2} \mathrm{~d} t .
\]

Учтем, что $\mathbf{F}_{2}=\mathbf{F}_{1}, \mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2}=\mathbf{v}$ – скорость тела 1 относительно тела 2 , а также то, что $\mathbf{F}_{1}=-k \mathbf{v}$. Тогда выражение для работы преобразуется так:
\[
\delta A^{л и с ~}=\mathbf{F}_{1}\left(\mathbf{v}_{1}-\mathbf{v}_{2}\right) \mathrm{d} t=-k \mathbf{v} \mathrm{d} t=-k v^{\wedge} \mathrm{d} t .
\]

Отсюда видно, что работа произвольной пары внутренних диссипативных сил взаимодействия всегда отрицательна, а значит, и суммарная работа всех пар внутренних диссипативных сил также всегда отрицательна, причем в любой системе отсчета.

Қинетическая энергия системы. Согласно (4.28), приращение кинетической энергии каждой частицы равно работе всех сил, действующих на частицу: $\Delta T_{i}=A_{t}$. Поэтому работу $A$, которую совершают все силы, действующие на все частицы системы, при изменении ее состояния,

можно записать так: $A=\Sigma A_{i}=\boldsymbol{\Sigma} \mathbf{\Delta} T_{i}=\Delta \Sigma T_{i}$, или
\[
A=\Delta T, \quad T=\Sigma T_{i},
\]

где $T$-суммарная кинетическая энергия системы.
Итак, приращение кинетической энергии системы равно работе, которую совершают все силы, действующие на в с е частицы системы:

Заметим полутно, что кинетическая энергия системы величина аддитивная: она равна сумме кинетических энергий отдельных частей системы независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Уравнение (4.45) справедливо как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчета. Следует только помнить, что в неинерциальных системах отсчета кроме работ сил взаимодействия необходимо учитывать и работу сил инерции.

Полная механическая энергия системы. Только что было показано, что приращение $\Delta T$ кинетической энергии системы равно работе, которую совершают в се силы, действующие на все частицы системы. Разделим эти силы на внутренние и внешние, а внутренние, в свою очередь, – на консервативные и диссипативные. Тогда предыдущее утверждение можно записать так:
\[
\Delta T=A_{\text {вну гр }}+A_{\text {внеш }}=A_{\text {внутр }}^{\text {конс }}+A_{\text {внутр }}^{\text {дис }}+A_{\text {внещ }} \cdot
\]

Учтем, что работа внутренних консервативных сил равна, согласно (4.33), убыли собственной потенциальной энергии системы: $A_{\text {внутр }}^{\text {конс }}=-\Delta U_{\text {соб }}$. Тогда предыдущее выражение примет вид
\[
\Delta T+\Delta U_{\text {соб }}=\Delta\left(T+U_{\text {сп } 6}\right)=A_{\text {внутр }}^{\text {дис }}+A_{\text {внеш }} .
\]

Введем понятие полной механической энергии системы, или, короче, механической энергии как сумму кинетической и собственной потенциальной энергии системы:

Очевидно, энергия $E$ зависит от скоростей частиц системы, характера взаимодействия между ними и конфигу-

рации системы. Кроме того, энергия $E$, как и потенциальная энергия $U_{\text {соб }}$, определяется с точностью до прибавления несущественной произвольной постоянной и является величиной неаддитивной, т. е. энергия $E$ системы не равна в общем случае сумме энергий ее отдельных частей. В соответствии с (4.47)
\[
E=\sum E_{n}+U_{\text {в } 3},
\]

где $E_{n}$ – механическая энергия $n$-й части системы, $U_{\text {вз }}$ потенциальная энергия взаимодействия ее отдельных частей.

Вернемся к уравнению (4.46). Перепишем его с учетом (4.47) в виде
– приращение механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внутренних диссипативных сил и всех внешнних сил.

Уравнение (4.49) справедливо как в инерциальной, так и в неинерциальной системах отсчета. Следует только иметь в виду, что в неинерциальной системе отсчета неофходимо учитывать и работу сил инерции, играющих роль внешних сил, т. е. под $A_{\text {внеш }}$ надо понимать алгебраическую сумму работ внешних сил взаимодействия и работу сил инерции.

Закон сохранения механической энергии. Этот закон непосредственно вытекает из последнего уравнения и формулируется так:

механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой нет диссипативных сил, сохраняется в процессе движения, т. е.

Такую систему называют консервативной *. Заметим, что при движении замкнутой консервативной системы сохраняется именно полная механическая энергия, кинетическая же и потенциальная в общем случае изменяются. Однако эти изменения происходят всегда так, что приращение одной из них в точности равно убыли

другой, т. е. $\Delta T=-\Delta U_{\text {соб. }}$ Это положение справедливо только в инерциальных системах отсчета.

Далее, из уравнения (4.49) следует, что если замкнутая система не консервативна, т. е. в ней имеются диссипативные силы, то механическая энергия такой системы, согласно (4.43), убывает:
\[
E_{2}-E_{1}=A_{\text {вну гр }}^{\text {дис }}<0 .
\]

Можно сказать: уменьшение механической энергии обусловлено тем, что она расходуется на работу против диссипативных сил, действующих в системе. Однако такое объяснение является формальным, поскольку оно не раскрывает физической природы диссипативных сил.

Более глубокое осмысливание этого вопроса привело к фундаментальному выводу о существовании в природе универсального закона сохранения энергии:
энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую или обмениваться между отдельными частями материи. При этом понятие энергии пришлось расширить введением понятий о новых формах ес (помимо механической) энергия электромагнитного поля, химическая энергия, ядерная и др.

Универсальный закон сохранения энергии охватывает, такім образом, и те физические явления, на которые законы Ньютона не распространяются. Поэтому он не может быть выведен из этих законов, а должен рассматриваться как самостоятельный закон, представляющий собой одно из наиболее широких обобщений опытных фактов.

Возвращаясь к уравнению (4.51), можно сказать: при уменьшении механической энергии замкнутой системы всегда возникает эквивалентное количество энергии других видов, не связанных с в идим м движением. В этом смысле уравнение (4.49) можно рассматривать как более общую формулировку закона сохранения энергии, в которой указана причина изменения механической энергии у незамкнутой системы.

В частности, механическая энергия может сохраняться у незамкнутых систем, но это происходит лишь в тех случаях, когда, согласно уравнению (4.49), уменьшение этой энергии за счет работы против внутренних диссипативных сил компенсируется поступлением энергии за счет работы внешних сил.

Механическая энергия системы во внешнем поле. Если интересу. ющая нас система частиц находится во внешнем стационарном поле консервативных сил, то часто бывает удобно пользоваться другим выражением для полной механической энергии $E$ этой системы, отличным от (4.47).

В данном случае внешние силы, действующие на частицы систе. мы, можно разделить на силы со стороны внешнего поля (в нешние силы поля) и все остальные внешние силы, не относящиеся к данному внешнему полю (внешние сторонние силы). Соответственно работа $A_{\text {впеш }}$ внешних сил может быть представлена как алгебраическая сумма работ внешних сил поля и внешних сторонних сил:
\[
A_{\text {внеш }}=A_{\text {внеш }}^{\text {поля }}+A_{\text {внеш }}^{\text {стор }} .
\]

Но работа внешних сил поля, в свою очередь, может быть представлена как убыль внешней потенциальной энергии, а имени $A_{\text {внеш }}^{\text {пня }}=$ $=-\Delta U_{\text {внеш. }}$ Тогда
\[
A_{\text {внещ }}=-\Delta U_{\text {внещ }}+A_{\text {внеш }}^{\text {стор }} .
\]

Подставив последнее выражение в формулу (4.46), получим
\[
\Delta\left(T+U_{\text {соб }}+U_{\text {вне иІ }}\right)=A_{\text {внеш }}^{\text {стор }}+A_{\text {внутр }}^{\text {дис }} .
\]

Величину, стоящую слева в скобках, называют полной механической энергией $E^{\prime}$ системы во внешнем стационарном поле консервативных сил:

В отличие от выражения (4.47) эта полная механическая энергия включает в себя помимо суммарной кинетической и собственной по. тенциальной энергии еще и потенциальную энергию системы во внеш нем поле $U_{\text {впешт }}$
С учетом (4.53) уравнение (4.52) можно переписать так:
Из этого уравнения вытекает закон сохранения полной механической энергии системы, находящейся во внешнем стационарном поле консервативных сил:
если на интересующую нас систему частиц не действуют внешние сторонние силы и нет внутренних диссипативных сил, то полная механическая энергия такой системы остается постоянной:

Простейшим примером подобной системы могут служить два небольших тела, соединенные друг с другом пружинкой. Если эта система движется в поле тяжести в отсутствие сопротивления воз. духа (т. е. нет внешних сторонних сил), то меняются ее кинетическая энергия $T$, собственная потенциальная энергия $U_{\text {соб }}$ и внешняя потенциальная энергия $U_{\text {внеш }}$, однако алгебраическая сумма этих трех величин будет оставаться постоянной.

Другой пример – это система Земля – Луна в поле тяготения Солнца. В процессе движения этой системы также меняются $T$, $U_{\text {сов и }} U_{\text {внеш }}$, но их алгебраическая сумма сохраняется неизменной.

В заключение остается отметить, что уравнение (4.54) выполняется как в инерциальной, так и в неинерциальной системах отсчета, закон же сохранения механической энергии (4.55) – только в инерциальной.

Связь между энергиями в $K$ – и $Ц$-системах отсчета. Прежде всего установим эту связь для кинетических энергий системы. Пусть в $K$-системе отсчета кинетическая энергия интересующей нас системы частиц равна $T$. Скорость $i$-й частицы можно представить как $\mathbf{v}_{i}=\tilde{\mathbf{v}}_{i}+\mathbf{V}_{C}$, где $\tilde{\mathbf{v}}_{i}$ – скорость этой частицы в $Ц$-системе, а $\mathbf{V}_{C}$ – скорость $L$-системы относительно $К$-системы отсчета. Тогда для кинетической энергии $T$ системы можно записать
\[
\begin{array}{c}
T=\sum \frac{m_{i} v_{i}^{2}}{2}=\sum \frac{m_{i}\left(\tilde{\mathbf{v}}_{i}+\mathbf{v}_{C}\right)^{2}}{2}= \\
=\sum \frac{m_{i} \tilde{v}_{i}^{2}}{2}+\mathbf{v}_{C} \sum m_{i} \tilde{\mathbf{v}}_{i}+\sum \frac{m_{i} V_{C}^{2}}{2} .
\end{array}
\]

Так как в $Ц$-системе центр масс покоится, значит, согласно (3.9), $\Sigma m_{i} \tilde{\mathbf{v}}_{i}=0$ и предыдущее выражение примет вид

где $\widetilde{T}=1 / 2 \Sigma m_{t} \tilde{v}_{t}{ }^{2}-$ суммарная кинетическая энергия частиц в $I L$-системе, $m$ – масса всей системы.

Таким образом, кинетическая энерсия системы частиц складывается из суммарной кинетической энергии $\widetilde{\text { Т }}$ Ц-системе и кинетической энергии, связанной с движением системы частиц как целого. Это важный вывод, и он неоднократно будет использоваться в дальнейшем (в частности, при изучении динамики твердого тела).

Из формулы (4.56) следует, что кинетическая энергия систем частиц минимальна в Ц-системе-в этом еще одна особенность $L$-системы. Действительно, в $I$ системе $\mathbf{V}_{C}=0$, поэтому в (4.56) остается только $\overparen{T}$.

Перейдем к полной механической энергии $E$ системы. Так как собственная потенциальная энергия системы $U_{\text {соб }}$ зависит только от конфигурации системы, то значение $U_{\text {соб }}$ одинаково во всех системах отсчета. Добавив $U_{\text {соб в }}$ левую и правую части равенства (4.56), получим

формулу преобразования полной механической энергии $E$ при переходе от $K$ – к $Ц$-системе:

где $\tilde{E}=\widetilde{T}+L_{\text {соб. }}^{\prime}$ Эту энергию называют внутренней механической энергией системы.

Пример.
На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие шайбы, каждая массы $m$, которые соединены между собой невесомой пружинкой. Одной из шайб сообщили начальную скорость $v_{0}$, как показано на рис. 4.10 (вид сверху). Найдем внутреннюю механическую энергию $\tilde{E}$ этой системы в процессе движения.

Поскольку плоскость гладкая, система в процессе движения будет вести себя как замкнутая. Поэтому ее полная механическая энергия $E$ и скорость $\mathbf{V}_{C}$ центра масс будут сохраняться, оставаясь равными тем значениям, которые они име. пи в начальный момент: $E=m_{0}^{2} / 2$ и $V_{C}=v_{0} / 2$. Подставив эти значения в формулу (4.57), полу. чим
\[
\widetilde{E}=E-1 / 22 m V_{C}^{2}=1 / 4 m v_{0}^{2} .
\]

Рис. 4.10

где учтено, что масса системы равна $2 m$. Нетрудно сообразить, что внутренняя энергия $\dot{E}$ связана с вращением и колебанием данной системы, причем в начальный момент $\tilde{E}$ была равна только энергии вращательного движения.

Если система частиц замкнута и в ней происходят процессы, связанные с изменением полной механической энергии, то из (4.57) следует, что $\Delta E=\Delta E$, т. е. приращение полной механической энергии относительно произвольной инерциальной системы отсчета равно приращению внутренней механической энергии. При этом кинетическая энергия, обусловленная движением системы частиц как целого, не меняется, ибо для замкнутой системы $\mathbf{V}_{C}=$ const.

В частности, если замкнутая система консервативна, то ее полная механическая энергия сохраняется во всех инерциальных системах отсчета. Этот вывод находится в полном соответствии с принципом относительности Галилея.