Теперь нам предстоит решить фундаментальный вопрос о формулах преобразования координат и времени (имеются в виду формулы, связывающие координаты и моменты времени одного и того же события в разных инерциальных системах отсчета).

Преобразования Галилея? Напомним, что эти преобразования основаны на предположениях, что длина тел не зависит от движения и время течет одинаково в различных инерциальных системах отсчета. Однако в предыдущем параграфе было показано, что в действительности это не так: течение времени и длина тел зависят от системы отсчета – выводы, являющиеся неизбежным следствием постулатов Эйнштейна. Поэтому мы вынуждены отказаться от преобразований Галилея, или, говоря точнее, признать, что они – лишь частный случай каких-то более общих преобразований.

Возникает задача отыскания таких формул преобразования, которые, во-первых, учитывали бы замедление времени и лоренцево сокращение (т. е. были бы в конечном счете следствиями постулатов Эйнштейна), и, во-вторых, переходили бы в предельном случае малых скоростей в преобразования Галилея. Перейдем к решению этой задачи.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета $K$ и $K^{\prime}$. Пусть $K^{\prime}$-система движется относительно $K$-системы со скоростью V. Направим координатные оси обеих систем отсчета так, как показано на рис. 6.11: оси $x$ и $x^{\prime}$ совпадают и направлены параллельно вектору $\mathbf{V}$, а оси $y$ и $y^{\prime}$ параллельны друг другу. Установим в разных точках обеих систем отсчета одинаковые часы и синхронизируем их — отдельно часы $K$-системы и отдельно часы $K^{\prime}$-системы. И наконец, возьмем за начало отсчета времени в обеих системах момент, когда начала координат $O$ и $O^{\prime}$ совпадают ( $t=t^{\prime}=0$ ).

Предположим теперь, что в момент времени $t$ (в $K$-системе) в точке с́ координатами $x, y$ произошло некоторое событие $A$, например вспыхнула лампочка. Наша задача – найти координаты $x^{\prime}, y^{\prime}$ и момент времени $t^{\prime}$ этого события в $K^{\prime}$-системе.

Вопрос относительно координаты $y^{\prime}$ был уже решен в начале предыдущего параграфа, где было показано [см. формулу (6.3)], что $y^{\prime}=y$. Поэтому сразу перейдем к нахождению координаты $x^{\prime}$ события. Координата $x^{\prime}$ характеризует собственную длину отрезка $O^{\prime} P$, неподвижного в $K^{\prime}$-системе (рис. 6.11). Длина же этого отрезка в $K$-системе, где отсчет производится в момент $t$, равна $x-V t$. Связь между этими длинами дается формулой (6.5), согласно которой $x-V t=x^{\prime} \sqrt{1-\beta^{2}}$. Отсюда
\[
x^{\prime}=(x-V t) / \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]

C другой стороны, координата $x$ характеризует собственную длину отрезка $O P$, неподвижного в $K$-системе. Длина же этого отрезка в $K^{\prime}$-системе, где измерение проводится в момент $t^{\prime}$, равна $x^{\prime}+V t^{\prime}$. Учитывая опять (6.5), получим
\[
\begin{aligned}
x^{\prime}+V t^{\prime} & =x \sqrt{1-\beta^{2}}, \text { откуда } \\
x & =\left(x^{\prime}+V t^{\prime}\right) / \sqrt{1-\beta^{2}} .
\end{aligned}
\]

Полученные формулы позволяют также установить и связь между моментами времени $t$ и $t^{\prime}$ события $A$ в обеих

системах отсчета. Для этого достаточно исключить
из
(6.6) и (6.6′) $x^{\prime}$ или $x$, после чего найдем:
\[
t^{\prime}=\left(t-x V / c^{2}\right) / \sqrt{1-\beta^{2}} ; \quad t=\left(t^{\prime}+x^{\prime} V / c^{2}\right) / \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]

Формулы (6.3), (6.6), (6.6′) и (6.7) называют преобразованиями Лоренца. Они играют фундаментальную роль в теории относительности. По этим формулам осуществляется преобразование координат и времени любого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Итак, преобразования Лоренца при переходе от $K$ к $K^{\prime}$-системе имеют вид:

а при обратном переходе от $K^{\prime}$ – к $K$-системе-

где $\beta=V j c, V$ – скорость $K^{\prime}$-системы относительно $K$-системы.

Следует сразу же обратить внимание на симметрию (одинаковый вид) формул (6.8) и (6.9),что является следствием полного равноправия обеих систем отсчета (различный знак при $V$ в этих формулах обусловлен лишь противоположным направлением движения систем $K$ и $K^{\prime}$ относительно друг друга).

Преобразования Лоренца сильно отличаются от преобразований Галилея (6.1), однако последние могут быть получены из (6.8) и (6.9), если в них формально положить $c=\infty$. Что это значит?

В конце предыдущего параграфа было отмечено, что в основе преобразований Галилея лежит допущение о синхронизация часов с помощью мгновенно распространяющихся сигналов. Из этого обстоятельства вытекает, что величина $c$ в преобразованиях Лоренца играет роль скорости тех сигналов, которые используют для синхронизации часов. Если эта скорость бесконечно велика, то получаются преобразования Галилея; если же она равна скорости света, то – преобразования Лоренца. Таким образом, в основе преобразований Лоренца лежит допущение о синхронизации часов с помощью световых сигналов, имеющих предельную скорость.

Замечательной особенностью преобразований Лоренца является то, что при $V \ll c$ они переходят* в преобразования Галилея (6.1). Таким образом, в предельном случае $V \ll c$ законы преобразования теории относительности и ньютоновской механики совпадают. Это означает, что теория относительности не отвергает преобразований Галилея как неправильные, но включает их в истинные законы преобразования как частный случай, справедливый при $V \ll c$. В дальнейшем мы увидим, что это отражает общую взаимосвязь между теорией относительности и ньютоновской механикой – законы и соотношения теории относительности переходят в законы ньютоновской механики в предельном случае малых скоростей.

Далее, из преобразований Лоренца видно, что при $V>c$ подкоренные выражения становятся отрицательными и формулы теряют физический смысл. Это соответствует тому факту, что движение тел со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно. Нельзя даже пользоваться системой отсчета, движущейся со скоростью $V=c$; при этом подкоренные выражения обращаются в нуль и формулы также теряют физический смысл. Это значит, что, например, с фотоном, движущимся со скоростью $c$, принципиально не может быть связана система отсчета. Или иначе: не существует такой системы отсчета, в которой фотон был бы неподвижным.

И наконец, необходимо обратить внимание на то, что в формулы преобразования времени входит пространственная координата. Это важное обстоятельство указывает на неразрывную связь между пространством и временем. Другими словами, речь должна идти не отдельно о пространстве и времени, а о едином пространстве – времени, в котором протекают все физические явления.