Понятие одновременности.
Пусть в $K$-системе отсчета происходят два каких-то события: $A_{1}\left(x_{1}, y_{1}, t_{1}\right)$ и $A_{2}\left(x_{2}, y_{2}, t_{2}\right)$. Найдем интервал времени между этими событиями в $K^{\prime}$-системе, движущейся со скоростью $V$ вдоль оси $x$, как показано на рис. 6.11. Согласно формуле преобразования времени (6.8), искомый интервал времени
\[
t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=\frac{\left(t_{2}-t_{1}\right)-\left(x_{2}-x_{1}\right) V / c^{2}}{\sqrt{1-\beta 2}} .
\]

Отсюда следует, что события, одновременные в $K$-системе $\left(t_{2}=t_{1}\right)$, не одновременны в $K^{\prime}$-системе $\left(t_{2}{ }^{\prime}-t_{1}{ }^{\prime}
eq 0\right)$. Исключением является случай, когда оба события происходят в $К$-системе одновременно в точках с одинаковы м и значениями координаты $x$ (координата $y$ может быть различной).
Итак, одновременность понятие относительное: то, что одновременно в одной системе отсчета, в общем случае не одновременно в другой системе отсчета. Говоря об одновременности событий, необходимо указывать систему отсчета, относительно которой эта одновременность имеет место. В противном случае понятие одновременности теряет смысл и могут возникать разного рода недоразумения и «парадоксы».

Пример. «Парадокс» стержня и трубки. Сквозь неподвижную в $K$-системе отсчета трубку $A B$ длины $l_{0}$ пролетает стержень $A^{\prime} B^{\prime}$, собственная длина которого равна $2 l_{0}$. Скорость стержня такова, что его длина в $K$-системе равна длине трубки, $l=l_{0}$ (рис. 6.12 , a), и в некоторый момент стержень, пролетая сквозь трубку, целиком в ней уместится. Однако «с точки зрения стержня» лоренцево сокращение вдвое претерпевает трубка (рис. 6.12, б), поэтому ясно, что стержень (длины $2 l_{0}$ ) не поместится в трубке (длины $l_{0} / 2$ ). Есть ли здесь противоречие?

Противоречия нет, и вот почему. «С точки зрения трубки» концы пролетающего стержня совместятся с концами трубки одновременно. «С точки же зрения стержня» совпадения концов ( $A$ с $A^{\prime}, B$ с $B^{\prime}$ ) произойдут не одновременно: сначала совпадут концы $B$ и $B^{\prime}$ (рис. $6.12,6$ ), а затем, через некоторый промежуток времени, концы $A$ и $A^{\prime}$.

Из относительности понятия одновременности следует, что часы $K^{\prime}$-системы, расставленные вдоль оси $x^{\prime}$ и синхронизированные между собой в этой системе отсчета, в $K$-системе будут показывать разное время. В самом деле, возьмем для простоты момент, когда начала координат $O$ и $O^{\prime}$ обеих систем отсчета совпадают и часы в этих точках показывают одно время: $t=t^{\prime}=0$. Тогда в $K$-системе в точке с координатой $x$ часы $K$-системы показывают в этот момент время $t=0$, часы же $K^{\prime}$-системы в этой точке – иное время, $t^{\prime}$. Действительно, согласно формуле преобразования времени (6.8),
\[
t^{\prime}=-x V / c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]

Отсюда видно, что в момент $t=0$ (в $K$-системе) часы $K^{\prime}$ системы будут показывать разное время, зависящее от

Рис. 6.13

координаты $x$ (так называемое местное время). Это показано на рис. $6.13, a$. Относительно $K^{\prime}$-системы картина будет обратной (рис. 6.13, б), как и должно быть в соответствии с равноправием обеих инерциальных систем отсчета.

Далее, из формулы (6.10) видно, что для одновременных в $K$-системе событий знак разности $t_{2}{ }^{\prime}-t_{1}{ }^{\prime}$ определяется знаком выражения – $\left(x_{2}-x_{1}\right) V$. Следовательно, в разных системах отсчета (при разных значениях скорости $V$ ) разность $t_{2}{ }^{\prime}-t_{1}{ }^{\prime}$ будет различной не только по модулю, но и по знаку. Последнее означает, что порядок событий $A_{1}$ и $A_{2}$ может быть любым (как прямым, так и обратным).

Сказанное, однако, не относится к причинно-связанным событиям. Порядок следования таких событий (причина $\rightarrow$ следствие) будет одинаков во всех системах отсчета. В этом легко убедиться из следующего рассуждения. Рассмотрим, например, выстрел – событие $A_{1}\left(x_{1}, t_{1}\right)$ и попадание пули в мишень – событие $A_{2}\left(x_{2}, t_{2}\right)$, предполагая, что оба события происходят на оси $x$. В $K$-системе отсчета $t_{2}>t_{1}$, скорость пули $v$ и пусть для определенности $x_{2}>x_{1}$, причем ясно, что $x_{2}-x_{1}=v\left(t_{2}-t_{1}\right)$. После подстановки этого равенства в формулу (6.10) получим
\[
t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=\frac{\left(t_{2}-t_{1}\right)\left(1-v V / c^{2}\right)}{{ }_{\mathrm{\kappa}} \sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Величина, стоящая во второй круглой скобке числителя, всегда положительна в связи с тем, что $V<c$ (даже при $v=c$, когда причинно-следственная связь обусловлена максимально возможной скоростью передачи сигналов или взаимодействий). Отсюда следует, что если $t_{2}>t_{1}$, то и $t_{2}{ }^{\prime}>t_{1}{ }^{\prime}$, т. е. порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

Лоренцево сокращение. Расположим неподвижный в $K^{\prime}$-системе стержень вдоль оси $x^{\prime}$, т. е. вдоль направления движения этой системы отсчета относительно $K$-системы. Пусть длина стержня в $K^{\prime}$-системе $l_{0}=x_{2}^{\prime}-x_{1}{ }^{\prime}$ (собственная длина).

В $K$-системе, относительно которой стержень движется, его длину определяют как расстояние $l$ между координатами $x_{2}$ и $x_{1}$ его концов, взятыми в один и тот же момент $\left(t_{2}=t_{1}\right.$ ). Воспользовавшись преобразованиями Лоренца (6.8) для координат $x^{\prime}$ и $x$, запишем
\[
l_{0}=x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}=\left(x_{2}-x_{1}\right) / \sqrt{1-\beta^{2}}=l / \sqrt{1-\beta^{2}},
\]

откуда
\[
l=l_{0} \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]

Таким образом, длина $l$ движущегося стержня оказывается меньше его собственной длины $l_{0}$, и в разных инерциальных системах отсчета она будет иметь свое значение. Этот результат полностью согласуется с полученным ранее (6.5).

Из определения длины следует, что относительность длины данного стержня является следствием относительности понятия одновременности. Это же относится и к форме любого тела – его размеры в направлении движения также различны в разных инерциальных системах отсчета.

Длительность процессов. Пусть в точке с координатой $x^{\prime} K^{\prime}$-системы отсчета протекает некоторый процесс, длительность которого в этой системе $\Delta t_{0}=t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}$ (собственное время процесса). Найдем длительность данного

процесса $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ в $K$-системе, относительно которой $K^{\prime}$-система движется.

Воспользуемся с этой целью преобразованиями Лоренца для времени. Так как процесс происходит в точке с фиксированной координатой $x^{\prime} K^{\prime}$-системы, то наиболее удобно использовать формулы (6.9) :
\[
t_{2}-t_{1}=\left(t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}\right) / \sqrt{1-\beta^{2}},
\]

или
\[
\Delta t=\Delta t_{0} / \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]

Отсюда видно, что длительность одного и того же процесса различна в разных инерциальных системах отсчета. В $K$-системе его длительность больше $\left(\Delta t>\Delta t_{0}\right)$, а следовательно, в этой системе отсчета он протекает медленнее, чем в $K^{\prime}$-системе. Это вполне согласуется с результатом, относящимся к ходу одних и тех же часов в разных инерциальных системах отсчета, – формулой (6.4).

Интервал. Относительный характер пространственных и временных промежутков отнюдь не означает, что теория относительности вообще отрицает существование каких бы то ни было абсолютных величин. В действительности дело обстоит как раз наоборот. Задача, которую ставит перед собой теория относительности, заключается в нахождении таких величин (и законов), которые не зависели бы от выбора инерциальной системы отсчета.

Первой из этих величин является универсальная скорость распространения взаимодействий, равная скорости света в вакууме. Другой, также весьма важной инвариантной величиной является так называемый интервал $s_{12}$ между событиями $l$ и 2 , квадрат которого определяется как

где $t_{12}$-промежуток времени между событиями, $l_{12}$ расстояние между двумя точками, в которых происходят данные события ( $l_{12}^{2}=x_{12}^{2}+y_{12}^{2}+z_{12}^{2}$ ).

В инвариантности интервала можно легко убедиться, вычислив его непосредственно в $K^{\prime}$ – и $K$-системах отсчета. Воспользовавшись преобразованиями Лоренца (6.8) и учитывая, что $y_{12}^{\prime}=y_{12}$ и $z_{12}^{\prime}=z_{12}$, запишем:
\[
c^{2} t_{12}^{\prime 2}-x_{12}^{\prime 2}=c^{2} \frac{\left(t_{12}-x_{12} V / c^{2}\right)^{2}}{1-\beta^{2}}-\frac{\left(x_{12}-V t_{12}\right)^{2}}{1-\beta^{2}}=c^{2} t_{12}^{2}-x_{12}^{2} .
\]

Таким образом, действительно, интервал является величиной инвариантной. Иначе говоря, утверждение «два события разделены таким-то интервалом $S$ » имеет абсолютный характер – оно справедливо во всех инерциальных системах отсчета. Инвариантность интервала играет фундаментальную роль в теории относительности и служит весьма эффективным инструментом при анализе и решении многих вопросов (см., например, задачу 6.4).

Типы интервалов. В зависимости от того, какая составляющая в интервале преобладает, пространственная или временна́я, соответствующие интервалы называют: пространственноподобными $\left(l_{12}>c t_{12}\right)$,
времениподобными ( $\left.c t_{12}>l_{12}\right)$.

Кроме этих двух типов интервалов существует еще третий – светоподобный $\left(c t_{12}=l_{12}\right)$.

Если интервал между двумя событиями пространственноподобный, то всегда можно найти такую $K^{\prime}$-систему отсчета, в которой оба события происходят одновременно $\left(t_{12}^{\prime}=0\right)$ :
\[
c^{2} t_{12}^{2}-l_{12}^{2}=-l_{12}^{\prime 2}
\]

Если же интервал времениподобный, то всегда можно найти такую $K^{\prime}$-систему отсчета, в которой оба события происходят в одной точке ( $l_{12}^{\prime}=0$ ):
\[
c^{2} t_{12}^{2}-l_{12}^{2}=c^{2} t_{12}^{\prime 2} \text {. }
\]

В случае пространственноподобных интервалов $l_{12}>$ $>c t_{12}$, т. е. ни в одной системе отсчета события не могут оказать влияния друг на друга, даже если бы связь между событиями осуществлялась с предельной скоростью $c$. Иначе обстоит дело в случае времениподобных или светоподобных интервалов, для которых $l_{12} \leqslant c t_{12}$. Следовательно, события, разделенные времениподобными или свето подобными интервалами, могут быть причинно связанными друг с другом.

Преобразование скорости. Пусть в $К$-системе в плоскости $x, y$ движется частица со скоростью $\mathbf{v}$, проекции которой $v_{x}$ и $v_{y}$. Найдем с помощью преобразований Лоренца (6.8) проекции скорости этой частицы $v_{x}^{\prime}$ и $v_{y}^{\prime}$ в $K^{\prime}$-системе, движущейся со скоростью $\mathbf{V}$, как показано на рис. 6.11 .
Для этого проведем расчет по следующей схеме:
\[
v_{x}^{\prime}=\frac{\mathrm{d} x^{\prime}}{\mathrm{d} t^{\prime}}=\frac{\mathrm{d} x^{\prime} / \mathrm{d} t}{\mathrm{~d} t^{\prime} / \mathrm{d} t}, \quad v_{y}^{\prime}=\frac{\mathrm{d} y^{\prime}}{\mathrm{d} t^{\prime}}=\frac{\mathrm{d} y^{\prime} / \mathrm{d} t}{\mathrm{~d} t^{\prime} / \mathrm{d} t} .
\]

Продифференцируем выражения (6.8) для $x^{\prime}, y^{\prime}$ и $t^{\prime}$ по времени $t$ и результаты подставим в предыдущие формулы для $v_{x}^{\prime}$ и $v_{y}^{\prime}$. После несложных преобразований получим

где $\beta=V i c$. Отсюда скорость частицы в $K^{\prime}$-системе
\[
v^{\prime}=\sqrt{v_{x}^{\prime 2}+v_{y}^{\prime 2}}=\frac{\sqrt{\left(v_{x}-V\right)^{2}+v_{y}^{2}\left(1-\beta^{2}\right)}}{1-v_{x} V / c^{2}} .
\]

Эти формулы выражают релятивистский закон преобразования скорости. При малых скоростях ( $V \ll c$ и $v \ll c$ ) они переходят, как нетрудно убедиться, в формулы преобразования скорости ньютоновской механики:
\[
v_{x}^{\prime}=v_{x}-V ; \quad v_{y}^{\prime}=v_{y},
\]

или в векторном виде
\[
\mathbf{v}^{\prime}=\mathbf{v}-\mathbf{V} .
\]

Обратим внимание на то, что последняя формула оказывается справедливой только в ньютоновском приближении; в релятивистской же области она не имеет смысла – здесь нет простого закона сложения скоростей. В этом можно легко убедиться хотя бы на таком примере. Пусть вектор скорости v частицы в $K$-системе перпендикулярен оси $x$, т. е. имеет проекции $v_{x}=0$ и $v_{y}=v$. Тогда согласно (6.14) проекции скорости этой частицы в $K^{\prime}$ системе:
\[
v_{x}^{\prime}=-V ; \quad v_{y}^{\prime}=v_{y} \sqrt{1-\beta^{2}},
\]

Это значит, что в данном случае ( $\mathbf{v} \perp$ оси $x$ ) $v_{y}{ }^{\prime}$-проекция скорости уменьшается при переходе к $K^{\prime}$-системе, и ясно, что $\mathbf{v}^{\prime}
eq \mathbf{v}-\mathbf{V}$ (рис. 6.14).

Рассмотрим еще один пример использования формул преобразования скорости (6.14) – при движении двух частиц (см. также задачу 6.7).

Пример. Пусть две релятивистские частицы движутся в $K$-системе отсчета навстречу друг другу по одной прямой с одинаковой скоростью $v$. Найдем: 1) скорость сближения частиц в этой системе отсчета; 2) их относительную скорость.

Прежде всего необходимо уточнить, что́ понимается под каждой из этих скоростей.

1. Скорость сближения – это скорость, с которой изменяется (уменьшается) расстояние между частицами в данной системе отсчета. В нашем случае она просто равна $2 v$, причем эта скорость может быть и больше скорости света – это ничему не противоречит.

2. Под относительной скоростью имеется в виду скорость, с которой одна из частиц движется в системе отсчета, связанной с другой частицей и перемещающейся поступательно по отношению к исходной $K$-системе. Чтобы найти эту скорость, выберем ось $x$ вдоль направления движения частиц. Свяжем с одной из частиц, например частицей 1 , которая движется в положительном направлении оси $x$, $K^{\prime}$-систему отсчета (рис. 6.15). Тогда задача сводится к нахождению скорости частицы 2 в этой системе отсчета. Подставив в формулу (6.14) для $v_{x}$-проекции скорости $v_{x}=-v, V=v$, получим
\[
v_{x}^{\prime}=-\frac{2 v}{1+(v / c)^{2}} .
\]

Знак минус означает, что в данном случае частица 2 движется в отрицательном направлении оси $x^{\prime} K^{\prime}$-системы отсчета.

Следует отметить, что даже в том случае, когда обе частицы движутся с максимально возможной скоростью $v \approx c$, скорость $v_{x}^{\prime}$ не может превзойти $c$ – это сразу видно из последней формулы.

И наконец, проверим непосредственно, что релятивистские формулы преобразования скоростей соответствуют утверждению второго постулата Эйнштейна относительно неизменности скорости света $c$ во всех инерциальных системах отсчета. Пусть вектор с имеет в $K$-системе проекции $c_{x}$ и $c_{y}$, т. е. $c^{2}=c_{x}^{2}+y^{2}$. Воспользуемся формулой (6.15), преобразовав в ней подкоренное выражение следующим образом:
\[
c_{x}^{2}-2 c_{x} V+V^{2}+\left(c^{2}-c_{x}^{2}\right)\left(1-\frac{V^{2}}{c^{2}}\right)=\left(c-\frac{c_{x} V}{c}\right)^{2} .
\]

После этого нетрудно получить, что $v^{\prime}=c$. При этом, конечно, вектор с’ в $K^{\prime}$-системе будет иметь в общем случае другое направление.