Кинетическая энергия релятивистской частицы.
Определим эту величину таким же путем, как и в ньютоновской механике, т. е. как величину, приращение которой равно работе действующей на частицу силы. Сначала найдем приращение кинетической энергии $\mathrm{d} T$ частицы под действием силы $\mathbf{F}$ на элементарном пути $\mathrm{d} \mathbf{r}=$ $=\mathbf{v} \mathrm{d} t$ :
\[
\mathrm{d} T=\mathbf{F v} \mathrm{d} t .
\]

Согласно основному уравнению релятивистской динамики (7.4), F $\mathrm{d} t=\mathrm{d}(m \mathbf{v})=\mathrm{d} m \cdot \mathbf{v}+m \mathrm{~d} \mathbf{v}$, где $m-$ релятивистская масса. Поэтому
\[
\mathrm{d} T=\mathbf{v}(\mathrm{d} m \cdot \mathbf{v}+m \mathrm{~d} \mathbf{v})=v^{2} \mathrm{~d} m+m v \mathrm{~d} v,
\]

где учтено, что $\mathbf{v d} \mathbf{v}=v \mathrm{~d} v$ (см. с. 98). Это выражение можно упростить, используя формулу (7.2) зависимости массы от скорости. Возведем эту формулу в квадрат и приведем ее к виду
\[
m^{2} c^{2}=m^{2} v^{2}+m_{0}^{2} c^{2} .
\]

Найдем дифференциал этого выражения, имея в виду, что $m_{0}$ и $c$ – постоянные величины:
\[
2 m c^{2} \mathrm{~d} m=2 m v^{2} \mathrm{~d} m+2 m^{2} v \mathrm{~d} v .
\]

Если теперь разделить это равенство на $2 m$, то его правая часть совпадет с выражением для $\mathrm{d} T$. Отсюда следует
\[
\mathrm{d} T=c^{2} \mathrm{~d} m .
\]

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее релятивистской массы. Кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя $m_{0}$. Поэтому, проинтегрировав (7.7), получим
\[
T=\left(m-m_{0}\right) c^{2},
\]

или

где $\beta=v / c$. Это и есть выражение для релятивистской кинетической энергии частицы. Как видно, оно сильно отличается от ньютоновского $m_{0} v^{2} / 2$. Убедим-

ся, однако, что при малых скоростях ( $\beta \ll 1$ ) выражение (7.9) переходит в ньютоновское. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона, согласно которой
\[
\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\left(1-\beta^{2}\right)^{-1 / 2}=1+\frac{1}{2} \beta^{2}+\frac{3}{8} \beta^{4}+\ldots .
\]

При $\beta \ll 1$ можно ограничиться первыми двумя членами этого ряда и тогда
\[
T=m_{0} c^{2} \beta^{2} / 2=m_{0} v^{2} / 2 .
\]

Таким образом, при больших скоростях кинетическая энергия частицы определяется релятивистской формулой (7.9), отличной от $m_{0} v^{2} / 2$. Заметим, что (7.9) нельзя представить и в виде $m v^{2} / 2$, где $m$ – релятивистская масса.

На рис. 7.5 показаны для сравнения графики зависимостей от $\beta$ релятивистской $T_{\text {рел и ньютоновской }} T_{\text {н }}$ кинетических энергий. Их различие особенно сильно проявляется в области скоростей, сравнимых со скоростью Рис 75 света.

Пример 1 Частица с массой покоя $m_{0}$ движется со скоростью, при которой ее релятивистская кинетическая энергия $T$ в $n$ раз превышает значение кинетической энергии $T_{\text {н }}$, вычисленное по нерелятивистской формуле. Найдем T.

Введем для упрощения записей обозначение $\tau=T / m_{0} c^{2}$. Тогда заданное условие $T=n m_{0} c^{2} / 2$ можно записать так:
\[
\tau=n \uparrow 2 / 2,
\]

где $\beta=v / c$. Имея в виду, что $\beta$ связано с $T$ формулой (79), найдем из нее
\[
\beta 2=1-1 /(1+\tau)^{2} .
\]

Исключив $\beta^{2}$ из этих двух уравнений, получим
\[
2 \tau^{2}+(4-n) \tau-2(n-1)=0 .
\]

Корень этого уравнения
\[
\tau=1 / 4(n-4+\sqrt{n(n+8)}) .
\]

Знак минус перед корнем физического смысла не имеет ( $\tau$ не может быть отрицательным), поэтому он опущен.

Приведем четыре значения $\tau$, вычисленные по последней формуле для следующих значений $n$ :
\[
\begin{array}{lllll}
\boldsymbol{n}=T / T_{\mathrm{H}}: & 1,01 & 1,1 & 1,5 & 2,0 \\
\tau=T / m_{0} c^{2}: & 0,0067 & 0,065 & 0,32 & 0,62
\end{array}
\]

Отсюда видно, что, например, при $T / m_{0} c^{2} \leqslant 0,0067$ использование нерелятивистской формулы для кинетической энергии гарантирует точность не хуже $1 \%$.

Пример 2. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя $m_{0}$ от 0,6 до 0,8 ? ? Сравним полученный результат со значением, вычисленным по нерелятивистской формуле.
Искомая работа в соответствии с формулой (7.9) равна
\[
A=T_{2}-T_{1}=m_{0} c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\beta_{2}^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{1-\beta_{1}^{2}}}\right)=0,42 m_{0} c^{2} .
\]

Соответствующая же работа, по нерелятивистской формуле,
\[
A=m_{0}\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right) / 2=0,14 m_{0} c^{2} .
\]

Қак видно, различие между обоими результатами весьма значительное.

Закон взаимосвязи массы и энергии.
Из формулы (7.7) следует, что приращение кинетической энергии частицы сопровождается пропорциональным приращением ее релятивистской массы. Вместе с тем известно, что при протекании различных процессов в природе одни виды энергии могут преобразовываться в другие. Например, кинетическая энергия сталкивающихся частиц может преобразоваться во внутреннюю энергию образовавшейся частицы. Поэтому естественно ожидать, что масса тела будет возрастать не только при сообщении ему кинетической энергии, но и вообще при любом увеличении общего запаса энергии тела независимо от того, за счет какого конкретного вида энергии это увеличение происходит.

Отсюда Эйнштейн пришел к следующему фундаментальному выводу: общая энергия тела (или системы тел), из каких бы видов энергии она ни состояла (кинетической, электрической, химической и т. д.), связана с массой этого тела соотношением

Эта формула выражает один из наиболее фундаментальных законов природы – закон взаимосвязи (пропорциональности) массы $m$ и полной энергии $E$ тела. Во избежание недоразумений обратим внимание на то,

что в полную энергию $E$ не включена потенциальная энергия тела во внешнем поле, если таковое действует на тело.

Соотношение (7.10) можно записать и в другой форме, если учесть формулу (7.8). Тогда полная энергия тела
\[
E=m_{0} c^{2}+T \text {, }
\]

где $m_{0}$ – масса покоя тела, $T$ – его кинетическая энергия. Отсюда непосредственно следует, что покоящееся тело ( $T=0$ ) также обладает энергией
\[
E_{0}=m_{0} c^{2} .
\]

Эту энергию называют энергией покоя или собственной энергией.

Мы видим, что масса тела, которая в нерелятивистской механике выступала как мера инертности (во втором законе Ньютона) или как мера гравитационного действия (в законе всемирного тяготения), теперь выступает в новой функции – как мера энергосодержания тела. Даже покоящееся тело, согласно теории относительности, обладает запасом энергии – энергией покоя.

Изменение полной энергии тела (системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы $\Delta m=\Delta E / c^{2}$, и наоборот. При обычных макроскопических процессах изменение массы тел оказывается чрезвычайно малым, недоступным для измерений. Это можно проиллюстрировать на следующих примерах.

Пример 1. Для выведения спутника массы $m=100$ кг на орбиту вокруг Земли ему сообщили скорость $v=8$ км $/$. Это значит, что его энергия увеличивается на $\Delta E=m v^{2} / 2$ (здесь учтено, что $v \ll c$ ). Соответствующее увеличение массы спутника
\[
\Delta m=\Delta E / c^{2}=m v^{2} / 2 c^{2}=3,5 \cdot 10^{-8} \text { кг } .
\]

Пример 2. При нагревании 1 л воды от 0 до $100^{\circ} \mathrm{C}$ ей сообщают энергию $\Delta E=m c_{p} \Delta t$, где $c_{p}=4,2$ Дж/(г.К) – теплоемкость воды, $\Delta t$ – разность температур. Соответствующее увеличение массы воды
\[
\Delta m=\Delta E / c^{2}=0,17 \cdot 10^{-10} \mathrm{\kappa r} .
\]

Пример 3. Пружину с коэффициентом жесткости $x=10^{3} \mathrm{H} / \mathrm{cm}$ сжали на $\Delta l=1$ см. При этом пружина приобрела энергию $\Delta E=$ $=x(\Delta l)^{2} / 2$. Эквивалентное приращение массы ее
\[
\Delta m=\Delta E / c^{2}=0,5 \cdot 10^{-16} \text { кг. }
\]

Нетрудно видеть, что во всех трех случаях изменение массы лежит далеко за пределами точности эксперимента.

Однако уже в астрономических явлениях, связанных, например, с излучением звезд, изменение массы представляет собой весьма внушительную величину. В этом можно убедиться на примере излучения Солнца.

Пример. Из астрономических наблюдений установлено, что количество энергии, которое приносит на Землю солнечное излучение за 1 с на площадку $1 \mathrm{~m}^{2}$, перпендикулярную солнечным лучам, составмарную энергию, излучаемую Солнцем за $1 \mathrm{c}$ :
\[
\Delta E=1,4 \cdot 10^{3} \cdot 4 \pi R^{2}=4 \cdot 10^{26} \text { Дж } / \mathrm{c},
\]

где $R$-расстояние от Земли до Солнца. Следовательно, Солнце ежесекундно теряет массу
\[
\Delta m=\Delta E / c^{2}=4,4 \cdot 10^{9} \mathrm{\kappa r} / \mathrm{c} .
\]

Величина грандиозная с точки зрения земных масштабов, однако по сравнению с массой Солнца эта потеря ничтожно мала: $\Delta m / m=$ $=2 \cdot 10^{-21} \mathrm{c}^{-1}$.

Совершенно иначе обстоит дело в ядерной физике. Именно здесь впервые оказалось возможным экспериментально проверить и подтвердить закон взаимосвязи массы и энергии. Это обусловлено тем, что ядерные процессы и процессы превращения элементарных частиц сопровождаются весьма большими изменениями энергии, сравнимыми с энергией покоя самих частиц. Но к этому вопросу мы еще вернемся в $\S 7.5$.