Кинетическая энергия релятивистской частицы.
Определим эту величину таким же путем, как и в ньютоновской механике, т. е. как величину, приращение которой равно работе действующей на частицу силы. Сначала найдем приращение кинетической энергии $\mathrm{d}T$ частицы под действием силы $\mathbf{F}$ на элементарном пути $\mathrm{d}\mathbf{r}=$ $=\mathbf{v}\mathrm{d}t$ :
$$\mathrm{d}T=\mathbf{F}\mathbf{v}\mathrm{d}t.$$

Согласно основному уравнению релятивистской динамики (7.4), F $\mathrm{d}t=\mathrm{d}(m\mathbf{v})=\mathrm{d}m\cdot \mathbf{v}+m\mathrm{d}\mathbf{v}$, где $m-$ релятивистская масса. Поэтому
$$\mathrm{d}T=\mathbf{v}(\mathrm{d}m\cdot \mathbf{v}+m\mathrm{d}\mathbf{v})=v^2\mathrm{d}m+mv\mathrm{d}v,$$

где учтено, что $\mathbf{v}\mathbf{d}\mathbf{v}=v\mathrm{d}v$ (см. с. 98). Это выражение можно упростить, используя формулу (7.2) зависимости массы от скорости. Возведем эту формулу в квадрат и приведем ее к виду
$$m^2{c}^2=m^2{v}^2+m_0^2{c}^2.$$

Найдем дифференциал этого выражения, имея в виду, что $m_0$ и $c$ — постоянные величины:
$$2m{c}^2\mathrm{d}m=2m{v}^2\mathrm{d}m+2m^{2}v\mathrm{d}v.$$

Если теперь разделить это равенство на $2m$, то его правая часть совпадет с выражением для $\mathrm{d}T$. Отсюда следует
$$\mathrm{d}T=c^2\mathrm{d}m.$$

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее релятивистской массы. Кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя $m_0$. Поэтому, проинтегрировав (7.7), получим
$$T=(m-m_0)c^2,$$

или

где $\beta =v/c$. Это и есть выражение для релятивистской кинетической энергии частицы. Как видно, оно сильно отличается от ньютоновского $m_0{v}^2/2$. Убедим-

ся, однако, что при малых скоростях ( $\beta \ll 1$ ) выражение (7.9) переходит в ньютоновское. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона, согласно которой
$$\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}={(1-{\beta }^2)}^{-1/2}=1+\frac{1}{2}{\beta }^2+\frac{3}{8}{\beta }^4+\dots .$$

При $\beta \ll 1$ можно ограничиться первыми двумя членами этого ряда и тогда
$$T=m_0{c}^2{\beta }^2/2=m_0{v}^2/2.$$

Таким образом, при больших скоростях кинетическая энергия частицы определяется релятивистской формулой (7.9), отличной от $m_0{v}^2/2$. Заметим, что (7.9) нельзя представить и в виде $m{v}^2/2$, где $m$ — релятивистская масса.

На рис. 7.5 показаны для сравнения графики зависимостей от $\beta$ релятивистской $T_{\text{рел и ньютоновской }}{T}_{\text{н }}$ кинетических энергий. Их различие особенно сильно проявляется в области скоростей, сравнимых со скоростью Рис 75 света.

Пример 1 Частица с массой покоя $m_0$ движется со скоростью, при которой ее релятивистская кинетическая энергия $T$ в $n$ раз превышает значение кинетической энергии $T_{\text{н }}$, вычисленное по нерелятивистской формуле. Найдем T.

Введем для упрощения записей обозначение $\tau =T/m_0{c}^2$. Тогда заданное условие $T=n{m}_0{c}^2/2$ можно записать так:
$$\tau =n\uparrow 2/2,$$

где $\beta =v/c$. Имея в виду, что $\beta$ связано с $T$ формулой (79), найдем из нее
$$\beta 2=1-1/(1+\tau {)}^2.$$

Исключив ${\beta }^2$ из этих двух уравнений, получим
$$2{\tau }^2+(4-n)\tau -2(n-1)=0.$$

Корень этого уравнения
$$\tau =1/4(n-4+\sqrt{n(n+8)}).$$

Знак минус перед корнем физического смысла не имеет ( $\tau$ не может быть отрицательным), поэтому он опущен.

Приведем четыре значения $\tau$, вычисленные по последней формуле для следующих значений $n$ :
$$\begin{array}{lllll}\mathit{n}=T/T_{\mathrm{H}}:& 1,01& 1,1& 1,5& 2,0\\ \tau =T/m_0{c}^2:& 0,0067& 0,065& 0,32& 0,62\end{array}$$

Отсюда видно, что, например, при $T/m_0{c}^2⩽0,0067$ использование нерелятивистской формулы для кинетической энергии гарантирует точность не хуже $1\mathrm{\%}$.

Пример 2. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя $m_0$ от 0,6 до 0,8 ? ? Сравним полученный результат со значением, вычисленным по нерелятивистской формуле.
Искомая работа в соответствии с формулой (7.9) равна
$$A=T_2-T_1=m_0{c}^2(\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }_2^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }_1^2}})=0,42m_0{c}^2.$$

Соответствующая же работа, по нерелятивистской формуле,
$$A=m_0(v_2^2-v_1^2)/2=0,14m_0{c}^2.$$

Қак видно, различие между обоими результатами весьма значительное.

Закон взаимосвязи массы и энергии.
Из формулы (7.7) следует, что приращение кинетической энергии частицы сопровождается пропорциональным приращением ее релятивистской массы. Вместе с тем известно, что при протекании различных процессов в природе одни виды энергии могут преобразовываться в другие. Например, кинетическая энергия сталкивающихся частиц может преобразоваться во внутреннюю энергию образовавшейся частицы. Поэтому естественно ожидать, что масса тела будет возрастать не только при сообщении ему кинетической энергии, но и вообще при любом увеличении общего запаса энергии тела независимо от того, за счет какого конкретного вида энергии это увеличение происходит.

Отсюда Эйнштейн пришел к следующему фундаментальному выводу: общая энергия тела (или системы тел), из каких бы видов энергии она ни состояла (кинетической, электрической, химической и т. д.), связана с массой этого тела соотношением

Эта формула выражает один из наиболее фундаментальных законов природы — закон взаимосвязи (пропорциональности) массы $m$ и полной энергии $E$ тела. Во избежание недоразумений обратим внимание на то,

что в полную энергию $E$ не включена потенциальная энергия тела во внешнем поле, если таковое действует на тело.

Соотношение (7.10) можно записать и в другой форме, если учесть формулу (7.8). Тогда полная энергия тела
$$E=m_0{c}^2+T\text{, }$$

где $m_0$ — масса покоя тела, $T$ — его кинетическая энергия. Отсюда непосредственно следует, что покоящееся тело ( $T=0$ ) также обладает энергией
$$E_0=m_0{c}^2.$$

Эту энергию называют энергией покоя или собственной энергией.

Мы видим, что масса тела, которая в нерелятивистской механике выступала как мера инертности (во втором законе Ньютона) или как мера гравитационного действия (в законе всемирного тяготения), теперь выступает в новой функции — как мера энергосодержания тела. Даже покоящееся тело, согласно теории относительности, обладает запасом энергии — энергией покоя.

Изменение полной энергии тела (системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы $\mathrm{\Delta }m=\mathrm{\Delta }E/c^2$, и наоборот. При обычных макроскопических процессах изменение массы тел оказывается чрезвычайно малым, недоступным для измерений. Это можно проиллюстрировать на следующих примерах.

Пример 1. Для выведения спутника массы $m=100$ кг на орбиту вокруг Земли ему сообщили скорость $v=8$ км $/$. Это значит, что его энергия увеличивается на $\mathrm{\Delta }E=m{v}^2/2$ (здесь учтено, что $v\ll c$ ). Соответствующее увеличение массы спутника
$$\mathrm{\Delta }m=\mathrm{\Delta }E/c^2=m{v}^2/2c^2=3,5\cdot {10}^{-8}\text{ кг }.$$

Пример 2. При нагревании 1 л воды от 0 до ${100}^{\circ }\mathrm{C}$ ей сообщают энергию $\mathrm{\Delta }E=m{c}_p\mathrm{\Delta }t$, где $c_p=4,2$ Дж/(г.К) — теплоемкость воды, $\mathrm{\Delta }t$ — разность температур. Соответствующее увеличение массы воды
$$\mathrm{\Delta }m=\mathrm{\Delta }E/c^2=0,17\cdot {10}^{-10}\kappa \mathrm{r}.$$

Пример 3. Пружину с коэффициентом жесткости $x={10}^3\mathrm{H}/\mathrm{cm}$ сжали на $\mathrm{\Delta }l=1$ см. При этом пружина приобрела энергию $\mathrm{\Delta }E=$ $=x(\mathrm{\Delta }l{)}^2/2$. Эквивалентное приращение массы ее
$$\mathrm{\Delta }m=\mathrm{\Delta }E/c^2=0,5\cdot {10}^{-16}\text{ кг. }$$

Нетрудно видеть, что во всех трех случаях изменение массы лежит далеко за пределами точности эксперимента.

Однако уже в астрономических явлениях, связанных, например, с излучением звезд, изменение массы представляет собой весьма внушительную величину. В этом можно убедиться на примере излучения Солнца.

Пример. Из астрономических наблюдений установлено, что количество энергии, которое приносит на Землю солнечное излучение за 1 с на площадку $1{\mathrm{m}}^2$, перпендикулярную солнечным лучам, составмарную энергию, излучаемую Солнцем за $1\mathrm{c}$ :
$$\mathrm{\Delta }E=1,4\cdot {10}^3\cdot 4\pi R^2=4\cdot {10}^{26}\text{ Дж }/\mathrm{c},$$

где $R$-расстояние от Земли до Солнца. Следовательно, Солнце ежесекундно теряет массу
$$\mathrm{\Delta }m=\mathrm{\Delta }E/c^2=4,4\cdot {10}^9\kappa \mathrm{r}/\mathrm{c}.$$

Величина грандиозная с точки зрения земных масштабов, однако по сравнению с массой Солнца эта потеря ничтожно мала: $\mathrm{\Delta }m/m=$ $=2\cdot {10}^{-21}{\mathrm{c}}^{-1}$.

Совершенно иначе обстоит дело в ядерной физике. Именно здесь впервые оказалось возможным экспериментально проверить и подтвердить закон взаимосвязи массы и энергии. Это обусловлено тем, что ядерные процессы и процессы превращения элементарных частиц сопровождаются весьма большими изменениями энергии, сравнимыми с энергией покоя самих частиц. Но к этому вопросу мы еще вернемся в $\mathrm{\S }7.5$.