Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Кинетическая энергия релятивистской частицы. Согласно основному уравнению релятивистской динамики (7.4), F $\mathrm{d} t=\mathrm{d}(m \mathbf{v})=\mathrm{d} m \cdot \mathbf{v}+m \mathrm{~d} \mathbf{v}$, где $m-$ релятивистская масса. Поэтому где учтено, что $\mathbf{v d} \mathbf{v}=v \mathrm{~d} v$ (см. с. 98). Это выражение можно упростить, используя формулу (7.2) зависимости массы от скорости. Возведем эту формулу в квадрат и приведем ее к виду Найдем дифференциал этого выражения, имея в виду, что $m_{0}$ и $c$ — постоянные величины: Если теперь разделить это равенство на $2 m$, то его правая часть совпадет с выражением для $\mathrm{d} T$. Отсюда следует Таким образом, приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее релятивистской массы. Кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя $m_{0}$. Поэтому, проинтегрировав (7.7), получим или где $\beta=v / c$. Это и есть выражение для релятивистской кинетической энергии частицы. Как видно, оно сильно отличается от ньютоновского $m_{0} v^{2} / 2$. Убедим- ся, однако, что при малых скоростях ( $\beta \ll 1$ ) выражение (7.9) переходит в ньютоновское. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона, согласно которой При $\beta \ll 1$ можно ограничиться первыми двумя членами этого ряда и тогда Таким образом, при больших скоростях кинетическая энергия частицы определяется релятивистской формулой (7.9), отличной от $m_{0} v^{2} / 2$. Заметим, что (7.9) нельзя представить и в виде $m v^{2} / 2$, где $m$ — релятивистская масса. На рис. 7.5 показаны для сравнения графики зависимостей от $\beta$ релятивистской $T_{\text {рел и ньютоновской }} T_{\text {н }}$ кинетических энергий. Их различие особенно сильно проявляется в области скоростей, сравнимых со скоростью Рис 75 света. Пример 1 Частица с массой покоя $m_{0}$ движется со скоростью, при которой ее релятивистская кинетическая энергия $T$ в $n$ раз превышает значение кинетической энергии $T_{\text {н }}$, вычисленное по нерелятивистской формуле. Найдем T. Введем для упрощения записей обозначение $\tau=T / m_{0} c^{2}$. Тогда заданное условие $T=n m_{0} c^{2} / 2$ можно записать так: где $\beta=v / c$. Имея в виду, что $\beta$ связано с $T$ формулой (79), найдем из нее Исключив $\beta^{2}$ из этих двух уравнений, получим Корень этого уравнения Знак минус перед корнем физического смысла не имеет ( $\tau$ не может быть отрицательным), поэтому он опущен. Приведем четыре значения $\tau$, вычисленные по последней формуле для следующих значений $n$ : Отсюда видно, что, например, при $T / m_{0} c^{2} \leqslant 0,0067$ использование нерелятивистской формулы для кинетической энергии гарантирует точность не хуже $1 \%$. Пример 2. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой покоя $m_{0}$ от 0,6 до 0,8 ? ? Сравним полученный результат со значением, вычисленным по нерелятивистской формуле. Соответствующая же работа, по нерелятивистской формуле, Қак видно, различие между обоими результатами весьма значительное. Закон взаимосвязи массы и энергии. Отсюда Эйнштейн пришел к следующему фундаментальному выводу: общая энергия тела (или системы тел), из каких бы видов энергии она ни состояла (кинетической, электрической, химической и т. д.), связана с массой этого тела соотношением Эта формула выражает один из наиболее фундаментальных законов природы — закон взаимосвязи (пропорциональности) массы $m$ и полной энергии $E$ тела. Во избежание недоразумений обратим внимание на то, что в полную энергию $E$ не включена потенциальная энергия тела во внешнем поле, если таковое действует на тело. Соотношение (7.10) можно записать и в другой форме, если учесть формулу (7.8). Тогда полная энергия тела где $m_{0}$ — масса покоя тела, $T$ — его кинетическая энергия. Отсюда непосредственно следует, что покоящееся тело ( $T=0$ ) также обладает энергией Эту энергию называют энергией покоя или собственной энергией. Мы видим, что масса тела, которая в нерелятивистской механике выступала как мера инертности (во втором законе Ньютона) или как мера гравитационного действия (в законе всемирного тяготения), теперь выступает в новой функции — как мера энергосодержания тела. Даже покоящееся тело, согласно теории относительности, обладает запасом энергии — энергией покоя. Изменение полной энергии тела (системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы $\Delta m=\Delta E / c^{2}$, и наоборот. При обычных макроскопических процессах изменение массы тел оказывается чрезвычайно малым, недоступным для измерений. Это можно проиллюстрировать на следующих примерах. Пример 1. Для выведения спутника массы $m=100$ кг на орбиту вокруг Земли ему сообщили скорость $v=8$ км $/$. Это значит, что его энергия увеличивается на $\Delta E=m v^{2} / 2$ (здесь учтено, что $v \ll c$ ). Соответствующее увеличение массы спутника Пример 2. При нагревании 1 л воды от 0 до $100^{\circ} \mathrm{C}$ ей сообщают энергию $\Delta E=m c_{p} \Delta t$, где $c_{p}=4,2$ Дж/(г.К) — теплоемкость воды, $\Delta t$ — разность температур. Соответствующее увеличение массы воды Пример 3. Пружину с коэффициентом жесткости $x=10^{3} \mathrm{H} / \mathrm{cm}$ сжали на $\Delta l=1$ см. При этом пружина приобрела энергию $\Delta E=$ $=x(\Delta l)^{2} / 2$. Эквивалентное приращение массы ее Нетрудно видеть, что во всех трех случаях изменение массы лежит далеко за пределами точности эксперимента. Однако уже в астрономических явлениях, связанных, например, с излучением звезд, изменение массы представляет собой весьма внушительную величину. В этом можно убедиться на примере излучения Солнца. Пример. Из астрономических наблюдений установлено, что количество энергии, которое приносит на Землю солнечное излучение за 1 с на площадку $1 \mathrm{~m}^{2}$, перпендикулярную солнечным лучам, составмарную энергию, излучаемую Солнцем за $1 \mathrm{c}$ : где $R$-расстояние от Земли до Солнца. Следовательно, Солнце ежесекундно теряет массу Величина грандиозная с точки зрения земных масштабов, однако по сравнению с массой Солнца эта потеря ничтожно мала: $\Delta m / m=$ $=2 \cdot 10^{-21} \mathrm{c}^{-1}$. Совершенно иначе обстоит дело в ядерной физике. Именно здесь впервые оказалось возможным экспериментально проверить и подтвердить закон взаимосвязи массы и энергии. Это обусловлено тем, что ядерные процессы и процессы превращения элементарных частиц сопровождаются весьма большими изменениями энергии, сравнимыми с энергией покоя самих частиц. Но к этому вопросу мы еще вернемся в $\S 7.5$.
|
1 |
Оглавление
|