Ясно, что как энергия $E$, так и импульс $p$ частицы имеют различные значения в разных системах отсчета. Оказывается, однако, что существует величина-некоторая комбинация $E$ и $p$, которая является инвариантной, т. е. имеет одно и то же значение в разных системах отсчета. Эта величина есть $E^2-p^2{c}^2$. Убедимся, что это так.

Воспользовавшись формулами $E=m{c}^2$ и $p=mv$, запишем
$$E^2-p^2{c}^2=m^2{c}^4-m^2{v}^2{c}^2=\frac{m_0^2{c}^4}{1-(v/c{)}^2}[1-(v/c{)}^2],$$

или после сокращения

Тот факт, что скорость $v$ в правой части сократилась, означает независимость величины $E^2-p^2{c}^2$ от скорости частицы, а следовательно, и от системы отсчета. Другими словами, величина $E^2-p^2{c}^2$ действительно является инвариантом и имеет одно и то же значение $m_0{}^2{c}^4$ во всех инерциальных системах отсчета:

Этот вывод чрезвычайно важен: он позволяет, как будет видно из дальнейшего, во многих случаях резко упростить анализ и решение различных вопросов.

Приведем еще два полезных соотношения, с которыми приходится часто встречаться. Первое:

и второе — связь между импульсом и кинетической энергией $T$ частицы; его легко получить, подставив в (7.12) $E=m_0{c}^2+T$, тогда

Последнее соотношение при $T\ll m_0{c}^2$ переходит в ньютоновское: $p=\sqrt{2m_{0}T}$, а при $T\gg m_0{c}^2$ приобретает вид $p=T/c$.

Пример.
Считая, что энергия покоя электрона равна $0,51\mathrm{M}$ э вычислим:
1) импульс * электрона с кинетической энергией, равной его энергии покоя;
2) кинетическую энергию электрона с импульсом $0,51\mathrm{M}\mathrm{э}\mathrm{B}/\mathrm{c}$, где $c$ — скорость света.
1. Согласно (7.15), при $T=m_0{c}^2$ получим $p=\sqrt{3}{m}_{0}c=0,9$ МэВ/c.
2 Этот вопрос можно решить также с помощью (7.15). Но можно и проще, воспользовавшись (7 12):
$$T=E-m_0{c}^2=\sqrt{p^2{c}^2+m_0^2{c}^4}-m_0{}^2{c}^2=0,21\text{ MэB. }$$

Рассмотрим попутно весьма интересный вопрос о возможности существования частиц с нулевой массой покоя $(m_0=0).Из$ формул

$$E=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}},p=\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}$$

следует, что частица с массой покоя $m_0=0$ может иметь энергию и импульс в том и только в том случае, если она движется со скоростью света $c$. При этом обе последние формулы принимают вид $0/0$. Однако это не означает неопределенности энергии и импульса такой частицы. Дело в том, что обе эти величины, оказывается, не зависят от скорости, причем связь между импульсом $p$ и энергией $E$ дается формулой (7.14), где $v=c$, т. е.
$$p=E/c\text{. }$$

Таким образом, согласно теории относительности, существование частиц с нулевой массой покоя возможно, причем эти частицы могут двигаться только со скоростью $c$. Это движение не есть результат предшествующего ускорения, а вообще единственное состояние, в котором такие частицы могут существовать. Остановка подобной частицы равносильна ее поглощению (исчезновению). Қак сейчас известно, такими частицами являются фотон и, по-видимому, нейтрино.

Преобразования импульса и энергии. Пусть частица движется со скоростью $v=\mathrm{d}l/\mathrm{d}l$ в $K$-системе отсчета. Из формулы (6.13) следует, что элементарный интервал между двумя событиями, которые происходят с частицей, есть
$$\mathrm{d}s=\sqrt{c^2(\mathrm{d}t{)}^2-(\mathrm{d}l{)}^2}=c\mathrm{d}t\sqrt{1-(v/c{)}^2}.$$

Имея в виду это выражение, представим проекции импульса и энергии частицы в следующем виде:
$$\begin{array}{c}{p}_x=\frac{m_0}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}\frac{c\mathrm{d}x}{c\mathrm{d}t}=m_{0}c\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s};p_y=m_{0}c\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s};\\ E=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}\frac{c\mathrm{d}t}{c\mathrm{d}t}=m_{0}c\frac{c^2\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}.\end{array}$$

Из инвариантности $m_0,c$ и интервала $\mathrm{d}s$ сразу следует, что при переходе к другой инерциальной системе отсчета $p_x$ и $p_y$ преобразуются подобно $\mathrm{d}x$ и $\mathrm{d}y$, т. е. подобно координатам $x$ и $y$, а энергия $E$ — подобно времени $t$.

Поскольку координаты и время входят в преобразования Лоренца (6.8) линейно, мы выделили в предыдущих выражениях для $p$ и $E$ одинаковую часть $\left(m_{0}c\right)$. Тогда можно сделать следующее сопоставление:
$$p_x\sim x,p_y\sim y,E_l{c}^2\sim t.$$

Делая эту замену в преобразованиях Лоренца (6.8), получим сразу искомые преобразования импульса и энергии:

где $V$ — скорость $K^{\prime }$-системы относительно $K$-системы.

Эти формулы выражают закон преобразования проекций импульса и энергии частицы при переходе от $K$ — и $K^{\prime }$-системе.

Запись формул в более компактном виде. В настоящее время все формулы релятивистской механики принято записывать в более компактном виде с помощью использования следующих сокращенных обозначений:

1) величины $m{c}^2$ и $pc$ обозначают просто $m$ и $p$ и соответственно выражают в энергетических единицах (например, в МэВ);
2) все скорости выражают в единицах скорости света и обозначают $\beta$ :
$$\beta =v/c;$$
3) часто встречающийся множитель $1/\sqrt{1-{\beta }^2}$ обозначают $\gamma -$ так называемый лоренц — фактор:
$$\gamma =1/\sqrt{1-{\beta }^2}.$$

Эти обозначения резко упрощают как вид самих формул, так и все преобразования и расчеты. Приведем основные формулы релятивистской динамики в этих обозначениях:
релятивистский импульс (7.3)
$$\mathbf{p}=\frac{m_0\mathit{\beta }}{\sqrt{1-{\beta }^2}}=\gamma m_0\beta ;$$

кинетическая (7.9) и полная (7.10) энергии:
$$\begin{array}{c}T=m_0(\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}-1)=m_0(\gamma -1),\\ E=m=m_0+T=\gamma m_0;\end{array}$$

связь между энергией и импульсом (7.12)-(7.15):
$$\begin{array}{c}{E}^2-p^2=m_0^2=\mathrm{inv},\\ \mathrm{p}=E\mathit{\beta },\\ p=\sqrt{T(T+2m_0)};\end{array}$$

преобразования импульса и энергии (7.17):
$$\begin{array}{rl}{p}_x^{\prime }& =\frac{p_x-\beta E}{\sqrt{1-{\beta }^2}}=\gamma (p_x-\beta E),\\ p_y^{\prime }& =p_y,\\ E^{\prime }& =\frac{E-\beta p_x}{\sqrt{1-{\beta }^2}}=\gamma (E-\beta p_x).\end{array}\}$$