Ясно, что как энергия $E$, так и импульс $p$ частицы имеют различные значения в разных системах отсчета. Оказывается, однако, что существует величина-некоторая комбинация $E$ и $p$, которая является инвариантной, т. е. имеет одно и то же значение в разных системах отсчета. Эта величина есть $E^{2}-p^{2} c^{2}$. Убедимся, что это так.

Воспользовавшись формулами $E=m c^{2}$ и $p=m v$, запишем
\[
E^{2}-p^{2} c^{2}=m^{2} c^{4}-m^{2} v^{2} c^{2}=\frac{m_{0}^{2} c^{4}}{1-(v / c)^{2}}\left[1-(v / c)^{2}\right],
\]

или после сокращения

Тот факт, что скорость $v$ в правой части сократилась, означает независимость величины $E^{2}-p^{2} c^{2}$ от скорости частицы, а следовательно, и от системы отсчета. Другими словами, величина $E^{2}-p^{2} c^{2}$ действительно является инвариантом и имеет одно и то же значение $m_{0}{ }^{2} c^{4}$ во всех инерциальных системах отсчета:

Этот вывод чрезвычайно важен: он позволяет, как будет видно из дальнейшего, во многих случаях резко упростить анализ и решение различных вопросов.

Приведем еще два полезных соотношения, с которыми приходится часто встречаться. Первое:

и второе — связь между импульсом и кинетической энергией $T$ частицы; его легко получить, подставив в (7.12) $E=m_{0} c^{2}+T$, тогда

Последнее соотношение при $T \ll m_{0} c^{2}$ переходит в ньютоновское: $p=\sqrt{2 m_{0} T}$, а при $T \gg m_{0} c^{2}$ приобретает вид $p=T / c$.

Пример.
Считая, что энергия покоя электрона равна $0,51 \mathrm{M}$ э вычислим:
1) импульс * электрона с кинетической энергией, равной его энергии покоя;
2) кинетическую энергию электрона с импульсом $0,51 \mathrm{MэB} / \mathrm{c}$, где $c$ — скорость света.
1. Согласно (7.15), при $T=m_{0} c^{2}$ получим $p=\sqrt{3} m_{0} c=0,9$ МэВ/c.
2 Этот вопрос можно решить также с помощью (7.15). Но можно и проще, воспользовавшись (7 12):
\[
T=E-m_{0} c^{2}=\sqrt{p^{2} c^{2}+m_{0}^{2} c^{4}}-m_{0}{ }^{2} c^{2}=0,21 \text { MэB. }
\]

Рассмотрим попутно весьма интересный вопрос о возможности существования частиц с нулевой массой покоя $\left(m_{0}=0\right) . И з$ формул

\[
E=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}, \quad p=\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}
\]

следует, что частица с массой покоя $m_{0}=0$ может иметь энергию и импульс в том и только в том случае, если она движется со скоростью света $c$. При этом обе последние формулы принимают вид $0 / 0$. Однако это не означает неопределенности энергии и импульса такой частицы. Дело в том, что обе эти величины, оказывается, не зависят от скорости, причем связь между импульсом $p$ и энергией $E$ дается формулой (7.14), где $v=c$, т. е.
\[
p=E / c \text {. }
\]

Таким образом, согласно теории относительности, существование частиц с нулевой массой покоя возможно, причем эти частицы могут двигаться только со скоростью $c$. Это движение не есть результат предшествующего ускорения, а вообще единственное состояние, в котором такие частицы могут существовать. Остановка подобной частицы равносильна ее поглощению (исчезновению). Қак сейчас известно, такими частицами являются фотон и, по-видимому, нейтрино.

Преобразования импульса и энергии. Пусть частица движется со скоростью $v=\mathrm{d} l / \mathrm{d} l$ в $K$-системе отсчета. Из формулы (6.13) следует, что элементарный интервал между двумя событиями, которые происходят с частицей, есть
\[
\mathrm{d} s=\sqrt{c^{2}(\mathrm{~d} t)^{2}-(\mathrm{d} l)^{2}}=c \mathrm{~d} t \sqrt{1-(v / c)^{2}} .
\]

Имея в виду это выражение, представим проекции импульса и энергии частицы в следующем виде:
\[
\begin{array}{c}
p_{x}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}} \frac{c \mathrm{~d} x}{c \mathrm{~d} t}=m_{0} c \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} s} ; \quad p_{y}=m_{0} c \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} s} ; \\
E=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}} \frac{c \mathrm{~d} t}{c \mathrm{~d} t}=m_{0} c \frac{c^{2} \mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} s} .
\end{array}
\]

Из инвариантности $m_{0}, c$ и интервала $\mathrm{d} s$ сразу следует, что при переходе к другой инерциальной системе отсчета $p_{x}$ и $p_{y}$ преобразуются подобно $\mathrm{d} x$ и $\mathrm{d} y$, т. е. подобно координатам $x$ и $y$, а энергия $E$ — подобно времени $t$.

Поскольку координаты и время входят в преобразования Лоренца (6.8) линейно, мы выделили в предыдущих выражениях для $p$ и $E$ одинаковую часть $\left(m_{0} c\right)$. Тогда можно сделать следующее сопоставление:
\[
p_{x} \sim x, \quad p_{y} \sim y, \quad E_{l} c^{2} \sim t .
\]

Делая эту замену в преобразованиях Лоренца (6.8), получим сразу искомые преобразования импульса и энергии:

где $V$ — скорость $K^{\prime}$-системы относительно $K$-системы.

Эти формулы выражают закон преобразования проекций импульса и энергии частицы при переходе от $K$ — и $K^{\prime}$-системе.

Запись формул в более компактном виде. В настоящее время все формулы релятивистской механики принято записывать в более компактном виде с помощью использования следующих сокращенных обозначений:

1) величины $m c^{2}$ и $p c$ обозначают просто $m$ и $p$ и соответственно выражают в энергетических единицах (например, в МэВ);
2) все скорости выражают в единицах скорости света и обозначают $\beta$ :
\[
\beta=v / c ;
\]
3) часто встречающийся множитель $1 / \sqrt{1-\beta^{2}}$ обозначают $\gamma-$ так называемый лоренц — фактор:
\[
\gamma=1 / \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]

Эти обозначения резко упрощают как вид самих формул, так и все преобразования и расчеты. Приведем основные формулы релятивистской динамики в этих обозначениях:
релятивистский импульс (7.3)
\[
\mathbf{p}=\frac{m_{0} \boldsymbol{\beta}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\gamma m_{0} \beta ;
\]

кинетическая (7.9) и полная (7.10) энергии:
\[
\begin{array}{c}
T=m_{0}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}-1\right)=m_{0}(\gamma-1), \\
E=m=m_{0}+T=\gamma m_{0} ;
\end{array}
\]

связь между энергией и импульсом (7.12)-(7.15):
\[
\begin{array}{c}
E^{2}-p^{2}=m_{0}^{2}=\mathrm{inv}, \\
\mathrm{p}=E \boldsymbol{\beta}, \\
p=\sqrt{T\left(T+2 m_{0}\right)} ;
\end{array}
\]

преобразования импульса и энергии (7.17):
\[
\left.\begin{array}{rl}
p_{x}^{\prime} & =\frac{p_{x}-\beta E}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\gamma\left(p_{x}-\beta E\right), \\
p_{y}^{\prime} & =p_{y}, \\
E^{\prime} & =\frac{E-\beta p_{x}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\gamma\left(E-\beta p_{x}\right) .
\end{array}\right\}
\]