В задаче Кеплера рассматривается вопрос о движении частицы в центральном поле сил, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояния от центра поля. Этому закону подчиняются силы гравитационного притяжения между материальными точками (или телами, обладающими сферической симметрией), а также кулоновские силы между точечными зарядами.

В таком поле потенциальная энергия частицы $U=-\alpha / \rho$, где $\alpha-$ постоянная, $\rho$ – расстояние от центра поля. Рассмотрим случай, когда $a>0$, т. е. сила, действующая на частицу массы $m$, направлена к центру поля (притяжение). Какой вид будет иметь траектория частицы в полярных координатах $\rho(\varphi)$, если при $\varphi=0 \rho(0)=\rho_{0}$, а скорость частицы перпендикулярна радиусу-вектору и равна $v_{0}$ (рис. 3)?

Для решения этой задачи обычно используют законы сохранения энергии и момента импульса. В полярных координатах $\rho, \varphi$ из этих законов следует:
\[
1 / 2 m\left(\dot{\rho}^{2}+\rho^{2} \dot{\varphi}^{2}\right)-\alpha / \rho=E, \quad m \rho^{2} \dot{\varphi}=L,
\]

где $E$ и $L$ – полная механическая энергия и момент импульса частицы относительно точки $O$ – центра поля. Обе эти величины легко найти из начальных условий.

Решение данных уравнений проводят следующим образом. Сначала в первом уравнении переходят от дифференцирования по времени к дифференцированию по $\varphi$ – это можно сделать с помощью второго уравнения: $\mathrm{d} t=\left(m \rho^{2} / L\right) d \varphi$. Затем разделяют переменные $\rho$ и $\varphi$, т. е. приводят полученное выражение к виду $\mathrm{d} \varphi=f(\rho) \mathrm{d} \rho$. И наконец, интегрируют это уравнение с учетом начальных условий. Результат интегрирования и дает искомое решение $\rho(\varphi)$.

Мы не будем здесь подробно воспроизводить довольно громоздкий ход решения этих уравнений (при желании его можно найти почти в любом курсе теоретической физики или механики). Ограничимся лишь анализом полученного решения, которое имеет вид
\[
\rho(\varphi)=\frac{\rho_{0}}{a+(1-a) \cos \varphi},
\]

где $a=\alpha / m \rho_{0} v_{0}^{2}$.
Из математики известно, что уравнение (1) определяет кривую второго порядка. В зависимости от значения параметра это может быть эллипс (окружность), парабола или гипербола.

1. Сразу видно, что при $a=1$ величина $\rho$ не зависит от $\varphi$, т. е. траекторией является окружность. Такую траекторию частица будет иметь при скорости $v_{0}$, равной
\[
v_{\mathrm{I}}=\sqrt{\alpha / m \rho_{0}} .
\]

2. Для всех значений параметра $a$, при которых $\rho$ конечно вплоть до $\varphi=\pi$, траектория будет иметь форму эллипса. Как следует из (1), при $\varphi=\pi$
\[
\rho(\pi)=\rho_{0} /(2 a-1) \text {. }
\]

Отсюда видно, что $\rho(\pi)$ будет конечным лишь при $2 a>1$, т. е. при скорости $v_{0}<v_{\text {II }}$, где
\[
v_{\mathrm{II}}=\sqrt{2 \alpha / m \rho_{0}} .
\]

3. Если же $2 a=1$, т. е. $v_{0}=v_{11}$, то эллипс вырождается в параболу – частица обратно не вернется.

4. При $v_{0}>v_{\text {II }}$ траектория будет иметь форму гиперболы.
Все эти случаи показаны на рис. 4. Следует обратить внимание на то, что для эллиптических орбит центр поля совпадает с одним нз фокусов эллипса: при $v_{0}<v_{\mathrm{I}}$ – с задним фокусом, а при $v_{0}>v_{1}$ с передним.
Заметим, что уравнение (1) описывает, например, траектории планет Солнечной системы (при этом $a=\gamma m M, M$-масса Солнца). Применительно к движению космических аппаратов скорости $v_{\text {I и }} v_{\text {II }}$

являются соответственно первой и второй космическими скоростями. Ясно, что их значения зависят от массы тела, являющегося источником поля.