Рассмотрим релятивистские представления о пространстве – времени с помощью геометрического метода, развитого Минковским и помогающего в другом свете представить сущность преобразований Лоренца.

Диаграммы Минковского. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: $K$-система и $K^{\prime}$-система, движущаяся относительно первой со скоростью $V$. Сначала построим так называемую диаграмму пространства – времени для $K$-системы, ограничиваясь для боль-

шей простоты и наглядности одномерным случаем (рис. 6.16). На оси ординат данной диаграммы откладывают обычно не само время $t$, а величину $\tau=c t$, где $c-$ скорость света. Это дает возможность проградуировать обе оси ( $O x$ и $O \tau$ ) в метрах, причем в одном и том же масштабе.

Каждая точка диаграммы – ее называют м и р о в ой точко й характеризует некоторое событие $A(x, \tau)$. Всякой частице (даже неподвижной) на этой диаграмме соответствует мировая линия. Например, ось $O \tau$ – это мировая линия частицы, покоящейся в точке $x=0$. Ось $O x$ изображает совокупность всех событий, одновременных с событием $O$, независимо от координаты $x$.

Мировая линия, соответствующая распространению света из точки $O$ в положительном направлении оси $O x$, представляет собой биссектрису $O C$ прямого угла (точечная прямая на рис. 6.16).

Изобразим на этой диаграмме оси $O \tau^{\prime}$ и $O x^{\prime} K^{\prime}$-системы. Мировую линию начала отсчета $K^{\prime}$-системы получим, положив в преобразованиях Лоренца (6.8) $x^{\prime}=0$. Тогда $x=V t=\beta \tau$, где $\beta=V / c$. Это есть уравнение прямой, которая составляет с осью $О \tau$ угол $\vartheta$, определяемый формулой $\operatorname{tg} \vartheta=\beta$. Полученная прямая – мировая линия – представляет собой совокупность всех событий, происходящих в начале отсчета $K^{\prime}$-системы, т. е. ось $O \tau^{\prime}$.

Ось $O x^{\prime} K^{\prime}$-системы – это прямая, изображающая все события, одновременные в $K^{\prime}$-системе с событием $Q$. Положив в преобразова-

ниях Лоренца (6.8) $t^{\prime}=0$, получим $c t=x V / c$, нли $\tau=\beta x$. Отсюда следует, что ось $O x^{\prime}$ составляет с осью $O x$ тот же угол $\vartheta$ ( $\operatorname{tg} \vartheta=\beta$ ).

Таким образом, оси $O \tau^{\prime}$ и $O x^{\prime} K^{\prime}$-системы расположены симметрично по отношению к мировой линии света $O C$ и координатная сетка $K^{\prime}$-системы ( $\left.\tau^{\prime}, x^{\prime}\right)$ оказывается косоугольной. Чем больше скорость $V$ системы $K^{\prime}$, тем более «сплющенной» будет ее координатная сетка (при $V \rightarrow c$ она вырождается в мировую линию света).

Последнее, что необходимо сделать на данной диаграмме, – это проградуировать оси $O \tau, O x$ и $O \tau^{\prime}, O x^{\prime}$ обеих систем отсчета. Проще всего это можно сделать, воспользовавшись инвариантностью интервала:
\[
s^{2}=\tau^{2}-x^{2}=\tau^{\prime 2}-x^{\prime 2} .
\]

Отметим на оси $O \tau K$-системы точку, соответствующую единице времени в $K$-системе ( $\tau=1$, рис. 6.17). Проведем через эту точку гиперболу
\[
\tau^{2}-x^{2}=1,
\]

все точки которой отвечают инвариантному интервалу $s=1$ (ибо при $x=0 \tau=1$ и $s=1$ ). Ее асимптотой является мировая линия све та. Точка пересечения этой гиперболы оси $O \tau^{\prime}$ соответствует единице времени в $K^{\prime}$-системе. Действительно, $\tau^{\prime 2}-x^{\prime 2}=1$, и при $x^{\prime}=0$ координата $\tau^{\prime}=1$.

Аналогично градуируются и оси $O x, O x^{\prime}$ : возьмем в $K$-системе точку $x=1, \tau=0$ и проведем через нее гиперболу $x^{2}-\tau^{2}=1$. Тогда точка пересечения ее с осью $O x^{\prime}$, где $\tau^{\prime}=0$, дает единицу длины $\left(x^{\prime}=1\right)$ в $K^{\prime}$-системе (так как $x^{\prime 2}-\tau^{\prime 2}=1$ и $\tau^{\prime}=0$, то $x^{\prime}=1$ ).

Построенная таким образом диаграмма – диаграмма Минков ского – соответствует переходу от $K$ – к $K^{\prime}$-системе и отвечает преобразованиям Лоренца (6.8). В согласии с принципом относительности для обратного перехода от $K^{\prime}$ к $K$-системе диаграмма будет иметь совершенно симметричный вид: у $K^{\prime}$-системы координатная сетка будет прямоугольной, а у $К$-системы – косоугольной (предоставим в этом убедиться самому читателю).

Покажем, как просто и наглядно диаграмма Минковского позволяет интерпретировать, например, такие релятивистские эффекты, как относительность понятия одновременности, замедление времени и лоренцево сокращение.

Относительность понятия одновременности следует непосредственно из рис. 6.18. Действительно, события $A$ и $B$, одновременные в $K$-системе, в $K^{\prime}$-системе оказываются неодновременными. Событие $A$ произойдет позже события $B$ на время $\Delta \tau^{\prime}$.

Замедление времени. Рассмотрим двое часов, $K$ и $K^{\prime}$, которые показывали одинаковое время $\tau=\tau^{\prime}=0$ в момент, когда они находились в одной точке пространства $\left(x=x^{\prime}=0\right)$. Предполагается, что часы $K$ неподвижные в $K$-системе, а часы $K^{\prime}-$ в $K^{\prime}$-системе.

Пусть по часам $K$ прошла единица времени ( $\tau=1$ ); это отвечает событию $A$ на диаграмме (рис. 6.19). Проведем через точку $A$ гиперболу $\tau^{2}-x^{2}=1$ и прямую $A B^{\prime}$, характеризующую все события, одновременные в $K$-системе с событием $A$. Пересечение оси $O \tau^{\prime}$ (мировой линии часов $\left.K^{\prime}\right)$ с гиперболой дает точку $A^{\prime}\left(\tau^{\prime}=1\right)$, а с прямой $O B^{\prime}$ – точку $B^{\prime}\left(\tau^{\prime}<1\right)$. Это значит, что в $K^{\prime}$-системе в момент, когда по часам $K$ уже прошла единица времени, по движущимся часам $K^{\prime}$ единица времени еще не прошла, т. е. часы $K^{\prime}$ идут замедленно,

Убедимся с помощью этой же диаграммы, что эффект замедления времени является обратимым. Проведем прямую $B A^{\prime}$, параллельную оси $O \mu^{\prime}$, которая характеризует все события, одновременные в $K^{\prime}$-системе с событием $A^{\prime}\left(\tau^{\prime}=1\right)$. Точка пересечения $B$ этой прямой с мировой линией часов $K$ – осью $O \tau$ – показывает, что $\tau<1$, т. е., в самом деле, по отношению к $K^{\prime}$-системе замедленно идущими оказываются теперь часы $K$.

Лоренцево сокращение. Пусть метровый стержень покоится в $K$ системе (отрезок $O A$ на рис. 6.20). Мировые линии его концов – это прямые $O \tau$ и $A D$. Чтобы измерить длину этого стержня в $K^{\prime}$-системе,

надо зафиксировать координаты его концов одновременно в этой системе. Но в $K^{\prime}$-системе одновременным с событием $O$ (фиксированием левого конца стержня) является событие $B^{\prime}$ – точка пересечения мировой линии правого конца стержня с линией одновременности $O x^{\prime}$. Из диаграммы видно, что в $K^{\prime}$-системе $O B^{\prime}<O A^{\prime}$, т. е. движущийся относительно $K^{\prime}$-системы стержень будет короче метра.

Так же просто можно показать, что и лоренцево сокращение является обратимым. Если метровый стержень покоится в $K^{\prime}$-системе (отрезок $O A^{\prime}$ ), то, проведя мировые линии его концов в этой системе ( $O \tau^{\prime}$ и $\left.A^{\prime} B\right)$, увидим, что в $K$-системе при одновременном измерении координат его концов отрезок $O B<O A$, т. е. по отношению к $K$ системе лоренцево сокращение будет испытывать $K^{\prime}$-стержень.

Задачи

6.1. Преобразование длины. В $K$-системе отсчета находится неподвижный стержень длины $l=1,00 \mathrm{~m}$, ориентированный под углом $\vartheta=45^{\circ}$ к оси $O x$ (рис. 6.21). Найти его длину $l^{\prime}$ и соответствующий угол $\vartheta$ в $K^{\prime}$-системе, движущейся относительно $K$-системы со скоростью $V=c / 2$ вдоль оси $O x$.
$\mathrm{P}$ ешение е. Длина стержня в $K^{\prime}$-системе
\[
l^{\prime}=\sqrt{\left(\Delta x^{\prime}\right)^{2}+\left(\Delta y^{\prime}\right)^{2}}=\sqrt{(\Delta x)^{2}\left(1-\beta^{2}\right)+(\Delta y)^{2}},
\]

где $\beta=V / c$. Имея в виду, что $\Delta x=l \cos \vartheta$ и $\Delta y=l \sin \vartheta$, получим

\[
l^{\prime}=l \sqrt{1-\beta^{2} \cos ^{2} \vartheta}=0,94 \mathrm{M} .
\]
$У_{\text {гол }} \theta^{\prime}$ в $K^{\prime}$-системе найдем через тангенс:
\[
\operatorname{tg} \vartheta^{\prime}=\frac{\Delta y^{\prime}}{\Delta x^{\prime}}=\frac{\Delta y}{\Delta x \sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{\operatorname{tg} \vartheta}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=1,155 .
\]

Отсюда $\vartheta^{\prime}=49^{\circ}$. Следует обратить внимание на то, что полученные результаты не зависят от направления скорости $K^{\prime}$-системы: она может двигаться или в положительном направлении оси $x$, или в противоположном.

6.2. Собственная длина. Стержень движется вдоль линейки с некоторой постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих концов стержня одновременно в системе отсчета, связанной с линейкой, то разность отсчетов по линейке $\Delta x_{1}=4,0$ м. Если же положение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчета, связанной со стержнем, то разность отсчетов по той же линейке $\Delta x_{2}=9,0$ м. Определить собственную длину $l_{0}$ стержня и его скорость $v$ относительно линейки.
Решение. Ясно, что в первом случае
\[
\Delta x_{1}=l_{0} \sqrt{1-\beta 2},
\]

где $\beta$-скорость стержня (в единицах скорости света). Во втором же случае $l_{0}$ – это измеренная в системе отсчета, связанной со стержнем, длина участка движущейся линейки, собственный размер которого (участка) равен $\Delta x_{2}$. Поэтому
\[
l_{0}=\Delta x_{2} \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]

Из этих двух формул легко найти, что
\[
l_{0}=\sqrt{\Delta x_{1} \cdot \Delta x_{2}}=6 \mathrm{м}, \beta=\sqrt{1-\Delta x_{1} / \Delta x_{2}} \approx 0,75
\]

или $v \approx 0,75 c$.

6.3. Преобразование времени. Две нестабильные частицы движутся в $K$-системе отсчета по некоторой прямой в одном направлении с одинаковой скоростью $v=0,990 \quad c$. Расстояние между частицами в этой системе отсчета $l=12 \mathrm{~m}$. В некоторый момент обе частицы распались одновременно в $K^{\prime}$-системе отсчета, связаниой с ними. Найти:
1) промежуток времени между моментами распада обеих частиц в исходной $K$-системе отсчета;
2) какая частица распалась позже в $К$-системе.
Решение. 1. Пусть распад частицы, двигавшейся впереди, это событие 1 , а распад частицы, двигавшейся сзади, – событие 2. Тогда, согласно преобразованиям Лоренца (6.9) для времени,
\[
t_{1}-t_{2}=\frac{\left(x_{1}^{\prime}-x_{2}^{\prime}\right) v / c^{2}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}},
\]

где учтено, что $t_{1}{ }^{\prime}=t_{2}{ }^{\prime}$ – по условию. Разность $\left(x_{1}{ }^{\prime}-x_{2}{ }^{\prime}\right)$ – это собственное расстояние $l_{0}$ между частицами. Согласно (6.5), оно равно $l_{0}=l / 1-(v / c)^{2}$. Поэтому
\[
t_{1}-t_{2}=\frac{l v / c^{2}}{1-(v / c)^{2}}=2,0 \text { мкс. }
\]
2. Так как $t_{1}-t_{2}>0$, то $t_{1}>t_{2}$, другими словами, частица, двигавшаяся впереди, распалась позже.
3амечание. Нередко эту задачу решают так: согласно (6.8),
\[
t_{1}^{\prime}-t_{2}^{\prime}=\frac{\left(t_{1}-t_{2}\right)-\left(x_{1}-x_{2}\right) v / c^{2}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}=0,
\]

откуда
\[
t_{1}-t_{2}=\frac{\left(x_{1}-x_{2}\right) v / c^{2}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}=\frac{t v / c^{2}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}} .
\]

Полученный результат отличается от приведенного выше (наличием корня в знаменателе) и является неверным. Дело в том, что мы не имеем права разность $x_{1}-x_{2}$ заменять на $l$, ибо $x_{1}$ и $x_{2}$ – это координаты событий (распадов), происшедшие в $K$-системе в разные моменты времени. Расстояние же $l$ между частицами в $K$-системе равно по определению разности координат частиц, зафиксированных одновременно.

6.4. Найти расстояние, которое пролетела в $К$-системе отсчета нестабильная частица от момента ее рождения до распада, если ее время жизни в этой системе отсчета $\Delta t=3,0$ мкс, а собственное время жизни $\Delta t_{0}=2,2$ мкс.

Решение. Воспользовавшись формулой (6.12), найдем скорость $V$ частицы и затем искомое расстояние как
\[
l=\Delta t \cdot V=\Delta t \cdot c \sqrt{1-\left(\Delta t_{0} / \Delta t\right)^{2}}=0,6 \mathrm{км} .
\]

Другой способ решения основан на использовании инвариантности интервала:

\[
c^{2}\left(\Delta t_{0}\right)^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-t^{2},
\]

где квадрат интервала записан слева в системе отсчета, связанной с самой частицей, а справа – в $K$-системе отсчета. Отсюда получается тот же результат для $l$.

6.5. Эффект Доплера. В $К$-системе отсчета находится неподвижный приемник $P$ (рис. 6.22). К нему со скоростью $V$ приближается источник $S$ световых сигналов. В системе отсчета, связанной с источником, сигналы испускаются периодически с частотой $v_{0}$ (собственная частота). С какой частотой $v$ будет воспринимать эти сигналы приемник $P$ ?
Решение. Промежуток времени между двумя последовательными сигналами (импульсами) в $K^{\prime}$-системе, связанной с источником, равен $T_{0}=1 / v_{0}$. Так как эта система движется Рис. 6.22 со скоростью $V$, то соответствующий промежуток времени в $K$-системе, согласно (6.12), будет больше:
\[
T=T_{0} / \sqrt{1-\beta^{2}}, \beta=V / c .
\]

Расстояние между соседними импульсами в $K$-системе
\[
\lambda=c T-V T=(c-V) T=(c-V) \frac{T_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Поэтому воспринимаемая приемником частота $v=c / \lambda$, или
\[
v=v_{0} \frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta} .
\]

Если источник приближается (как в нашем случае), то $\boldsymbol{v}>v_{0}$, если же удаляется, то $v<v_{0}$ (в этом случае знак $\beta$ меняется на противоположный). Зависимость $v / v_{0}$ от $\beta$ показана на рис. 6.23. Полученная формула (2) для частоты $v$ соответствует продольному эффекту Доплера.

Как видно из приведенного вывода, эффект Доплера является следствием двух явлений: замедления хода движущихся часов (корень в числителе формулы (2)) и «уплотнения» (или разрежения) импульсов, связанных с изменением расстояния между источником и приемником (это учтено в первом равенстве формулы (1)).

Заметим, что в нерелятивистском случае $T=T_{0}$, поэтому формула для эффекта Доплера не содержит корня $\sqrt{1-\beta^{2}}$ (вместо него стоит единица):
\[
v=v_{0} /(1-\beta) \approx v_{0}(1+V / c) .
\]

Рассмотрим попутно более общий случай: в $K$-системе вектор скорости $\mathbf{V}$ источника составтяет угол а с линией наблюдения, как показано иа рис. 6.24. В этом случае в формуле (1) достаточно заменить $V$ на $V \cos \alpha$. Тогда
\[
v=v_{0} \frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta \cos \alpha} .
\]

В частности, при $\alpha=\pi / 2$ наблюдается поперечный эффект Доплера
\[
v=v_{0} \sqrt{1-\beta^{2}},
\]

при котором воспринимаемая приемником частота $v$ оказывается всегда меныше собственной частоты $v_{0}$.

6.6. Соотношения между событиями. На рис. 6.25 изображена диаграмма пространства – времени. Каждая точка этой диаграммы (мировая точка) характеризует некоторое событие – его координату и момент времени, когда оно произошло. Рассмотрим три события, соответствующие мировым точкам $A, B$ и C. Убедиться, что между этими событиями имеют место следующие соотношения:

Указание в воспользоваться инвариантностью интервала

6.7 Две частицы движутся в $K$-системе отсчета под прямым углом друг к другу, причем первая со скоростью $v_{1}$, а вторая со скоростью $v_{2}$ Найти скорость одной частицы относительно другой

Решение Возьмем оси координат $K$-системы, как показано на рис 626 Свяжем с частицей $1 K^{\prime}$ систему, тогда скорость частицы 2 в этой системе отсчета и есть искомая скорость С помощью формулы (615), положив $V=v_{1}$ и $v_{x}=0$, получим
\[
\boldsymbol{v}_{2}^{\prime}=\sqrt{v_{2 x}^{\prime 2}+v_{2 y}^{\prime 2}}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-\left(v_{1} v_{2} / c\right)^{2}} .
\]

Заметим, что, по классическому закону сложения скоростей,
\[
v_{2}^{\prime}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}} .
\]

6.8 Преобразование направления скорости. Частица движется в $K$ системе со скоростью $\mathbf{v}$ под углом $\vartheta$ к оси $x$ Найти соответству ющий угол $\vartheta^{\prime}$ в $K^{\prime}$ системе, движущейся со скоростью $\mathbf{V}$, как показано на рис 627

Решение Пусть в $К$ системе проекции вектора $\mathbf{v}$ равны $v_{x}$ и $v_{y}$ Тогда для угла $\vartheta$ можно записать следующее соотношение
\[
\operatorname{tg} \vartheta=v_{y} / v_{x} .
\]

В $K^{\prime}$ системе с учетом формул (614) получим
\[
\operatorname{tg} \gamma^{\prime}=v_{y}^{\prime} / v_{x}^{\prime}=v_{y} \sqrt{1-\beta^{2}} /\left(v_{x}-V\right) .
\]

После подстаповки $v_{x}=v \cos \vartheta$ и $v_{y}=\sin \vartheta$ найдем
\[
\operatorname{tg} \vartheta^{\prime}=\frac{\sin \vartheta \cdot \sqrt{1-\beta^{2}}}{\cos \vartheta-\bar{V} / v} .
\]

Как видно из этой формулы, закон преобразования углов для скорости иной, нежели для отрезков (см задачу 61)

6.9 Стержень, ориентированный параллельно оси $x$-системы отсчета, движется в этой системе со скоростью $v$ в положительном направлении оси $y$ Найти угол $\vartheta^{\prime}$ между стержнем и осью $x^{\prime} K^{\prime}$ снстемы, неремещающейся со скоростью $V$ относительно $K$-системы в положительном направлении ее оси $x$ Оси $x$ и $x^{\prime}$ совпадают, оси $y$ и $y^{\prime}$ параллельны друг другу

Решение Пусть в некоторый момент концы стержня совпадают с осью $x$ в $K$ системе Эти два события, одновременные в $K$-системе, будут неодновременными в $K^{\prime}$-системе, согласно (610), они произойдут через промежуток времени
\[
\Delta t^{\prime}=\Delta x V / c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}},
\]

где $\Delta x$ – собственная длина стержня За это время правый конец стержня окажется «выше» левого на $\Delta y^{\prime}=v^{\prime} y^{\prime} \Delta t^{\prime}$, где $v_{y}^{\prime}=v \sqrt{1-\beta^{2}}$ (см формулу (616)) Таким образом, в $K^{\prime}$-системе данный стержень будет повернут против часовой стрелки на некоторый угол $\vartheta^{\prime}$, который можно определить по формуле
\[
\operatorname{tg} \vartheta^{\prime}=\Delta y^{\prime} / \Delta x^{\prime}=\beta v / c \sqrt{1-\beta^{2}},
\]

rде $\Delta x^{\prime}=\Delta x \sqrt{1-\beta^{2}}-$ проекция стержня на ось $x^{\prime}$ в $K^{\prime}$-системе, $\beta=V / c$.

6.10. Релятивистское преобразование ускорения. В $К$-системе движется частица со скоростью $\mathbf{v}$ и ускорением а. Найти ускорение этой частицы в $K^{\prime}$-системе, которая перемещается со скоростью $\mathbf{V}$ в положительном направлении оси $x$ K-системы. Рассмотреть случаи, когда частица движется вдоль следующих осей $К$-системы: 1) $x$; 2) $y$.

Рис. 6.26
Рис. 6.27

Решение. 1. Запишем каждую проекцию ускорения частицы в $K^{\prime}$-системе таким образом:
\[
a_{x}^{\prime}=\frac{\mathrm{d} v_{x}^{\prime}}{\mathrm{d} t^{\prime}}=\frac{\dot{\mathrm{d}} v_{x}^{\prime}}{\mathrm{d} t} \frac{1}{\mathrm{~d} t^{\prime} / \mathrm{d} t} .
\]

Воспользовавшись первой из формул (6.14) и последней из (6.8), получим после дифференцирования
\[
a_{x}^{\prime}=\frac{(1-\beta 2)^{3 / 2}}{\left(1-\beta v_{x} / c\right)^{3}} a_{x}, \quad a_{y}^{\prime}=0 .
\]
2. Аналогичные расчеты приводят к следующим результатам:
\[
a_{x}^{\prime}=0, \quad a_{y}^{\prime}=\left(1-\beta^{2}\right) a_{y} .
\]

В этих формулах $\beta=V / c$.