Напомним сначала два основных положения ньютоновской механики об импульсе:

1) импульс частицы определяется как $\mathrm{p}=m \mathbf{v}$, где масса $m$ частицы считается не зависящей от ее скорости;
2) импульс замкнутой системы частиц сохраняется во времени в любой инерциальной системе отсчета.

Теперь обратимся к релятивистской динамике. Оказывается (это будет видно уже из простого примера, который мы сейчас рассмотрим), для замкнутой системы из релятивистских частиц закон сохранения ньютоновского импульса не выполняется. Возникает альтернатива: отказаться или от ньютоновского определения импульса, или от закона сохранения этой величины.

Учитывая громадную роль, которую играют законы сохранения, в теории относительности за фундаментальный принимают именно закон сохранения импульса и уже отсюда находят выражение для самого импульса*.

Покажем прежде всего, что требование, чтобы закон сохранения импульса выполнялся в любой инерциальной системе отсчета, и учет релятивистского преобразования скоростей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой приводят к выводу, что масса частицы должна зависеть от ее скорости (в отличие от ньютоновской механики). Для этого рассмотрим абсолютно неупругое столкновение двух частиц-система предполагается замкнутой.

Пусть в некоторой инерциальной $K$-системе отсчета навстречу друг другу движутся две одинаковые частицы 1 и 2 с одинаковой скоростью $v_{0}$, но под углом $\alpha$ к оси $x$ (рис. 7.1, a). В этой системе отсчета суммарный импульс обеих частиц, очевидно, сохраняется: до и после столкновения он равен нулю (образовавшаяся частица, как следует из соображений симметрии, оказывается неподвижной).

Теперь выясним, как будет обстоять дело в другой инерциальной системе отсчета. Для этого выберем сначала две системы отсчета: $K_{1}$-систему, движущуюся вправо со скоростью $v_{1 x}$, и $K_{2}$-систему, движущуюся влево со скоростью $v_{2 x}$ (рис. $7.1, a$ ). Ясно, что частица 1 в $K_{1}$-си-

стеме и частица 2 в $K_{2}$-системе движутся только вдоль оси $y$, причем с одинаковыми по модулю скоростями, которые мы обозначим $u$.

Рассмотрим картину столкновения в $K_{1}$-системе (рис. 7.1, б), где частица $l$ имеет скорость $u$. Найдем $y$-составляющую скорости частицы 2 в этой системе отсчета, обозначив ее $u^{\prime}$. Эта частица, как было сказано, движется со скоростью $u$ вдоль оси $у$ в $K_{2}$-системе и, кроме того, вместе с $K_{2}$-системой перемещается влево со скоростью
Рис. 7.1
$V$ относительно $K_{1}$-системы. Поэтому, согласно (6.16), $y$ составляющая скорости частицы 2 в $K_{1}$-системе равна
\[
u^{\prime}=u \sqrt{1-(V / c)^{2}} .
\]

Запишем теперь $y$-составляющие импульсов обеих частиц в $K_{1}$-системе: $m_{1} u$ и $m_{2} u^{\prime}$. Согласно (7.1), $u^{\prime}<u$, поэтому легко видеть, что закон сохранения импульса в его обычной (ньютоновской) формулировке не выполняется. Действительно, в нашем случае $m_{1}=m_{2}$ (частицы одинаковые) и, следовательно, $y$-составляющая суммарного импульса частиц до столкновения отлична от нуля, а после столкновения равна нулю (образовавшаяся частица будет двигаться только вдоль оси $x$ ).

Потребуем, однако, чтобы закон сохранения импульса выполнялся и в $K_{1}$-системе, т. е. положим, что $m_{1} u=$ $=m_{2} u^{\prime}$. Отсюда с учетом (7.1) получим
\[
m_{2}=m_{1} / \sqrt{1-(V / c)^{2}} .
\]

При $\alpha \rightarrow 0$ (рис. 7.1) $u \rightarrow 0$ и $m_{1}$ представляет собой массу покоящейся частицы; ее обозначают $m_{0}$ и называют массой покоя. Скорость же $V$ при этом условии оказывается равной $v$-скорости частицы 2 относи-

тельно частицы 1. Поэтому последнюю формулу можно переписать так:
\[
m=m_{0} / \sqrt{1-(v / c)^{2}},
\]

где $m$-масса движущейся частицы (напомним, что обе частицы одинаковые). Массу $m$ называют релятивистской. Последняя, как видно из (7.2), больше массы покоя и зависит от скорости частицы

Таким образом, мы пришли к важному выводу: релятивистская масса частицы зависит от ее скорости. Другими словами, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.

В отличие от релятивистской массы масса покоя частицы $m_{0}$ – величина инвариантная, т. е. одинаковая во всех системах отсчета. По этой причине можно утверждать, что именно масса покоя является характеристикой частицы. В дальнейшем, однако, мы часто будем использовать релятивистскую массу $m$, что продиктовано только стремлением упростить ряд выводов, рассуждений и расчетов.

Теперь сделаем последний шаг – напишем выражение для импульса релятивистской частицы. С учетом (7.2) этот импульс записывают в виде

Это и есть так называемый релятивистский импульс частицы. Опыт подтверждает, что так определенный импульс действительно подчиняется закону сохранения независимо от выбора инерциальной системы отсчета.

Отметим, что при $v \ll c$ из (7.3) следует ньютоновское определение импульса: $\mathbf{p}=m_{0} \mathbf{v}$, где $m_{0}$ не зависит от скорости $v$. На рис. 7.3 показаны для сравнения графики зависимостей релятивистского $p_{\text {рел }}$ и ньютоновского $p_{\text {н }}$ импульсов частицы от ее скорости. Как видно, различие между обоими импульсами становится весьма значительным по мере приближения скорости частицы к скорости света.

Рассмотрим два примера на применение формул (7.2) и (7.3).

Пример 1. В современных гигантских ускорителях протоны ускоряются до скоростей, отличающихся от скорости света на $0,0003 \%$. Найдем, во сколько раз релятивистская масса таких протонов превышает их массу покоя.

Согласно (7.2), $m / m_{0}=1 / \sqrt{1-\beta^{2}}$, где $\beta=v / c$. Так как $\beta$ мало отличается от единицы в данном случае, то подкоренное выражение следует представить в виде
\[
1-\beta^{2}=(1+\beta)(1-\beta) \approx 2(1-\beta) .
\]

Тогда искомое отношение
\[
m / m_{0} \approx 1 / \sqrt{2(1-\beta)} \approx 4 \cdot 10^{2} .
\]

Пример 2. Выясним, при каких значениях скорости частицы ее ньютоновский импульс отличается от релятивистского на $1 \%$ ? на $10 \%$ ?
Из условия $\eta=\left(p-p_{\mathrm{H}}\right) / p=1-\sqrt{1-\left(v / c^{2}\right)}$ получим
\[
v / c=\sqrt{\eta(2-\eta)}=\left\{\begin{array}{lll}
0,14 & \text { при } & \eta=0,01, \\
0,45 & \text { при } \eta=0,10 .
\end{array}\right.
\]

Таким образом, использование нерелятивистской формулы для импульса гарантирует точность не хуже $1 \%$ при $v / c \leqslant 0,14$ и не хуже $10 \%$ при $v / c \leqslant 0,45$.