В предыдущем параграфе было установлено, что момент импульса $\mathbf{L}$ системы изменяется только под действием суммарного момента $\mathbf{M}$ всех внешних сил; именно этот вектор М определяет поведение вектора L. Теперь рассмотрим некоторые наиболее существенные свойства этих величин и те важные выводы, которые из них вытекают.
Суммарный момент внешних сил. Қак и момент каждой силы, суммарный момент сил зависит, вообще

Рис. 513 говоря, от выбора точки, относительно которой его определяют. Пусть $\mathbf{M}$ – суммарный момент сил относительно точки $O$, а $\boldsymbol{M}^{\prime}$ – относительно точки $O^{\prime}$, радиус-вектор которой $\mathbf{r}_{0}$ (рис. 5.13). Найдем связь между $\mathbf{M}_{\text {и }} \mathbf{M}^{\prime}$.

Радиусы-векторы $\mathbf{r}_{t}$ и $\mathbf{r}_{\iota}^{\prime}$ точки приложения силы $\mathbf{F}_{t}$ связаны соотношением $\mathbf{r}_{t}=\mathbf{r}^{\prime}{ }_{t}+\mathbf{r}_{0}$ (рис. 5.13). Поэтому выражение для $\boldsymbol{M}^{2}$ можно записать в таком виде:
\[
\boldsymbol{M}=\sum\left[\mathbf{r}_{i} \mathbf{F}_{i}\right]=\sum\left[\mathbf{r}_{i}^{\prime} \mathbf{F}_{t}\right]+\sum\left[\mathbf{r}_{0} \mathbf{F}_{i}\right],
\]
или
где $\mathbf{F}=\Sigma \mathbf{F}_{t}$ – результирующая всех внешних сил.
Из формулы (5.18) видно, что если $\mathbf{F}=0$, то суммарный момент внешних сил не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Таков, в частности, случай, когда к системе приложена п а р с сл.

Пример. К телу в точках 1 и 2 приложены две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$, не действующие вдоль одной прямой (пара сил) Пусть $\mathbf{r}_{12}$ – радиус-вектор, проведенный из точки 1 в точку 2 Найдем суммарный момент $M$ этой пары сил

Здесь результирующая сила $\mathbf{F}=\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2}=0$, поэтому согласно (518) момент $\mathbf{M}$ этой пары сил не должен зависеть от выбора точки

$O$, относительно которой его определяют. Воспользовавшись этим, выберем в качестве точки $O$ точку 1 (относительно нее момент силы $\mathbf{F}_{1}$ равен нулю), тогда
\[
\mathbf{M}=\left[\mathbf{r}_{12} \mathbf{F}_{2}\right] .
\]

Модуль вектора $\mathbf{M}$ равен, как нетрудно сообразить, $M=l F$, где $l-$ плечо пары, т. е. расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы, а $F$– модуль каждой силы.

Интересной и важной особенностью в этом отношении обладает $L$-система (напомним, что эта система отсчета жестко связана с центром масс системы частиц и перемещается поступательно по отношению к инерциальным системам). Так как в общем случае $Ц$-система является неинерциальной, то результирующая всех внешних сил должна включать в себя кроме внешних сил взаимодействия $\mathbf{F}_{\text {вз }}$ и силы инерции $\mathbf{F}_{\text {ин }}$. $\mathrm{C}$ другой стороны, в Ц-системе система частиц как целое покоится, а это значит, согласно (3.11), что $\mathbf{F}=\mathbf{F}_{\text {вз }}+\mathbf{F}_{\text {ин }}=0$. Имея в виду (5.18), мы приходим к следующему важному выводу: в Ц-системе суммарный момент всех внешних сил, включая силь инерции, не зависит от выбора точки $O$.
И другой важный вывод:

в Ц-системе суммарный момент сил инерции относительно центра масс всегда равен нулю:

В самом деле, сила инерции, действующая на каждую частицу системы, $\mathbf{F}_{i}=-m_{i} \mathbf{a}_{0}$, где $\mathbf{a}_{0}$ – ускорение $L$-системы. Поэтому суммарный момент всех этих сил относительно центра масс $C$
\[
\boldsymbol{M}_{C}^{\text {ин }}=\sum\left[\mathbf{r}_{i},-m_{i} \mathbf{a}_{0}\right]=-\left[\left(\sum m_{i} \mathbf{r}_{i}\right), \mathbf{a}_{0}\right] .
\]

Согласно (3.8), $\Sigma m_{i} \mathbf{r}_{i}=m \mathbf{r}_{C}$, а так как в нашем случае $\mathbf{r}_{C}=0$, то и $\mathbf{M}_{C}=0$.

Собственный момент импульса. Қак и момент сил, момент импульса системы зависит, вообще говоря, от выбора точки $O$, относительно которой его определяют. При переносе этой точки на расстояние $\mathbf{r}_{0}$ (рис. 5.13) новые радиусы-векторы частиц $\mathbf{r}^{\prime}{ }_{i}$ связаны со старыми $\mathbf{r}_{i}$ формулой $\mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}_{i}^{\prime}+\mathbf{r}_{0}$. Поэтому момент импульса системы относительно точки $O$ можно представить так:
\[
\mathbf{L}=\sum\left[\mathbf{r}_{i} \mathbf{p}_{i}\right]=\sum\left[\mathbf{r}_{i}^{\prime} \mathbf{p}_{i}\right]+\sum\left[\mathbf{r}_{0} \mathbf{p}_{i}\right],
\]
или
где $\mathbf{L}^{\prime}$ – момент импульса системы относительно точки $O^{\prime}$, а $\mathbf{p}=\Sigma \mathrm{p}_{i}$ – полный импульс системы.

Из формулы (5.20) следует, что если полный импульс системы $\mathbf{p}=0$, то ее момент импульса не зависит от выбора точки $O$. А этим как раз и отличается $Ц$-система, в которой система частиц как целое покоится. Отсюда мы приходим к третьему важному выводу: в Ц-системе момент импульса системы частиц не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют.

Этот момент называют собственным моментом им пульса системы и обозначают $\tilde{\mathbf{L}}$.

Связь между $\mathbf{L}$ и $\mathbf{L}$. Пусть $\mathbf{L}$ – момент импульса системы частиц относительно точки $O K$-системы отсчета. Так как собственный момент импульса $\widetilde{\mathbf{L}}$ в Ц-системе не зависит от выбора точки $O^{\prime}$, возьмем точку $O^{\prime}$ совпадающей в данный момент с точкой $O K$-системы. Тотда радиусы-векторы каждой частицы в обеих системах отсчета будут одинаковы в этот момент $\left(\mathbf{r}_{i}^{\prime}=\mathbf{r}_{i}\right.$ ), скорости же частиц связаны формулой
\[
\mathbf{v}_{i}=\tilde{\mathbf{v}}_{i}+\mathbf{v}_{C},
\]

где $\mathbf{V}_{C}$ – скорость $Ц$-системы относительно $K$-системы. Поэтому можно записать
\[
\mathbf{L}=\sum m_{i}\left[\mathbf{r}_{l} \mathbf{v}_{l}\right]=\sum m_{i}\left[\mathbf{r}_{i} \tilde{\mathbf{v}}_{l}\right]+\sum m_{l}\left[\mathbf{r}_{l} \mathbf{v}_{C}\right] .
\]

Первая сумма в правой части этого равенства есть собственный момент импульса $\tilde{\mathbf{L}}$. Вторую сумму в соответствии с формулой (3.8) представим как $m\left[\mathbf{r}_{C} \mathbf{V}_{C}\right]$, или [r $\mathbf{r}_{C} \mathbf{p}$ ], где $m$ – масса всей системы, $\mathbf{r}_{C}$ – радиус-вектор ее центра масс в $K$-системе, $\mathbf{p}$ – суммарный импульс системы частиц. В результате
т. е. момент импульса L системы частиц складывается из обусловленного движением системь частиц как целого. Возьмем, например, однородный шар, скатывающийся по наклонной плоскости. Его момент импульса отно-

сительно некоторой точки этой плоскости складывается из момента импульса, связанного с движением центра масс шара, и собственного момента импульса, обусловленного вращением шара вокруг собственной оси.

Из формулы (5.23), в частности, следует, что если центр масс системы покоится (импульс системы $\mathrm{p}=0$ ), то ее момент импульса $\mathbf{L}$ – это собственный момент импульса. С этим случаем мы уже знакомы. В другом крайнем случае, когда $\tilde{\mathbf{L}}=0$, момент импульса системы относительно некоторой точки определяется только моментом, связанным с движением системы как целого, т. е. вторым слагаемым (5.23). Так, например, ведет себя момент импульса любого твердого тела, совершающего поступательное движение.

Уравнение моментов в $Ц$-системе. В предыдущем параграфе было отмечено, что уравнение (5.12) справедливо в любой системе отсчета. Значит, оно справедливо и в $Ц$-системе. Поэтому сразу можно записать: $\mathrm{d} \tilde{\mathbf{L}} / \mathrm{d} t=\tilde{\mathbf{M}}$, где $\tilde{\mathbf{M}}$ – суммарный момент внешних сил в $Ц$-системе.

Так как $L$-система в общем случае неинерциальная, то в $\widetilde{\mathbf{M}}$ входит помимо моментов внешних сил взаимодействия и момент сил инерции. С другой стороны, в начале этого параграфа (см. с. 145) было показано, что момент сил $\widetilde{\boldsymbol{M}}$ в $L$-системе не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Обычно в качестве такой точки берут точку $C$-центр масс системы. Целесообразность выбора именно этой точки в том, что относительно ее суммарный момент сил инерции равен нулю, поэтому следует учитывать только суммарный момент внешних сил взаимодействия $\mathbf{M}_{C}$. Итак,
т. е. производная по времени от собственного момента импульса системы равна суммарному моменту всех внешних сил взаимодействия относительно центра масс данной системы.

В частности, если $\mathbf{M}_{C} \equiv 0$, то $\tilde{\mathbf{L}}=$ const, т. е. собственный момент импульса системы сохраняется.

В проекциях на ось $z$, проходящую через центр масс системы, уравнение (5.24) имеет вид
\[
\mathrm{d} \tilde{L}_{z} / \mathrm{d} t=M_{C z},
\]

где $M_{C z}$ – суммарный момент внешних сил взаимодействия относительно неподвижной в $Ц$-системе оси $z$, проходящей через центр масс. И здесь если $M_{C z} \equiv 0$, то $\widetilde{L_{z}}=$ = const.