В предыдущем параграфе было установлено, что момент импульса $\mathbf{L}$ системы изменяется только под действием суммарного момента $\mathbf{M}$ всех внешних сил; именно этот вектор М определяет поведение вектора L. Теперь рассмотрим некоторые наиболее существенные свойства этих величин и те важные выводы, которые из них вытекают.
Суммарный момент внешних сил. Қак и момент каждой силы, суммарный момент сил зависит, вообще

Рис. 513 говоря, от выбора точки, относительно которой его определяют. Пусть $\mathbf{M}$ — суммарный момент сил относительно точки $O$, а ${\mathit{M}}^{\prime }$ — относительно точки $O^{\prime }$, радиус-вектор которой ${\mathbf{r}}_0$ (рис. 5.13). Найдем связь между ${\mathbf{M}}_{\text{и }}{\mathbf{M}}^{\prime }$.

Радиусы-векторы ${\mathbf{r}}_t$ и ${\mathbf{r}}_{\iota }^{\prime }$ точки приложения силы ${\mathbf{F}}_t$ связаны соотношением ${\mathbf{r}}_t={\mathbf{r}}^{\prime }{}_t+{\mathbf{r}}_0$ (рис. 5.13). Поэтому выражение для ${\mathit{M}}^2$ можно записать в таком виде:
$$\mathit{M}=\sum \left[{\mathbf{r}}_i{\mathbf{F}}_i\right]=\sum \left[{\mathbf{r}}_i^{\prime }{\mathbf{F}}_t\right]+\sum \left[{\mathbf{r}}_0{\mathbf{F}}_i\right],$$
или
где $\mathbf{F}=\mathrm{\Sigma }{\mathbf{F}}_t$ — результирующая всех внешних сил.
Из формулы (5.18) видно, что если $\mathbf{F}=0$, то суммарный момент внешних сил не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Таков, в частности, случай, когда к системе приложена п а р с сл.

Пример. К телу в точках 1 и 2 приложены две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы ${\mathbf{F}}_1$ и ${\mathbf{F}}_2$, не действующие вдоль одной прямой (пара сил) Пусть ${\mathbf{r}}_{12}$ — радиус-вектор, проведенный из точки 1 в точку 2 Найдем суммарный момент $M$ этой пары сил

Здесь результирующая сила $\mathbf{F}={\mathbf{F}}_1+{\mathbf{F}}_2=0$, поэтому согласно (518) момент $\mathbf{M}$ этой пары сил не должен зависеть от выбора точки

$O$, относительно которой его определяют. Воспользовавшись этим, выберем в качестве точки $O$ точку 1 (относительно нее момент силы ${\mathbf{F}}_1$ равен нулю), тогда
$$\mathbf{M}=\left[{\mathbf{r}}_{12}{\mathbf{F}}_2\right].$$

Модуль вектора $\mathbf{M}$ равен, как нетрудно сообразить, $M=lF$, где $l-$ плечо пары, т. е. расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы, а $F$— модуль каждой силы.

Интересной и важной особенностью в этом отношении обладает $L$-система (напомним, что эта система отсчета жестко связана с центром масс системы частиц и перемещается поступательно по отношению к инерциальным системам). Так как в общем случае $Ц$-система является неинерциальной, то результирующая всех внешних сил должна включать в себя кроме внешних сил взаимодействия ${\mathbf{F}}_{\text{вз }}$ и силы инерции ${\mathbf{F}}_{\text{ин }}$. $\mathrm{C}$ другой стороны, в Ц-системе система частиц как целое покоится, а это значит, согласно (3.11), что $\mathbf{F}={\mathbf{F}}_{\text{вз }}+{\mathbf{F}}_{\text{ин }}=0$. Имея в виду (5.18), мы приходим к следующему важному выводу: в Ц-системе суммарный момент всех внешних сил, включая силь инерции, не зависит от выбора точки $O$.
И другой важный вывод:

в Ц-системе суммарный момент сил инерции относительно центра масс всегда равен нулю:

В самом деле, сила инерции, действующая на каждую частицу системы, ${\mathbf{F}}_i=-m_i{\mathbf{a}}_0$, где ${\mathbf{a}}_0$ — ускорение $L$-системы. Поэтому суммарный момент всех этих сил относительно центра масс $C$
$${\mathit{M}}_C^{\text{ин }}=\sum [{\mathbf{r}}_i,-m_i{\mathbf{a}}_0]=-[(\sum m_i{\mathbf{r}}_i),{\mathbf{a}}_0].$$

Согласно (3.8), $\mathrm{\Sigma }{m}_i{\mathbf{r}}_i=m{\mathbf{r}}_C$, а так как в нашем случае ${\mathbf{r}}_C=0$, то и ${\mathbf{M}}_C=0$.

Собственный момент импульса. Қак и момент сил, момент импульса системы зависит, вообще говоря, от выбора точки $O$, относительно которой его определяют. При переносе этой точки на расстояние ${\mathbf{r}}_0$ (рис. 5.13) новые радиусы-векторы частиц ${\mathbf{r}}^{\prime }{}_i$ связаны со старыми ${\mathbf{r}}_i$ формулой ${\mathbf{r}}_i={\mathbf{r}}_i^{\prime }+{\mathbf{r}}_0$. Поэтому момент импульса системы относительно точки $O$ можно представить так:
$$\mathbf{L}=\sum \left[{\mathbf{r}}_i{\mathbf{p}}_i\right]=\sum \left[{\mathbf{r}}_i^{\prime }{\mathbf{p}}_i\right]+\sum \left[{\mathbf{r}}_0{\mathbf{p}}_i\right],$$
или
где ${\mathbf{L}}^{\prime }$ — момент импульса системы относительно точки $O^{\prime }$, а $\mathbf{p}=\mathrm{\Sigma }{\mathrm{p}}_i$ — полный импульс системы.

Из формулы (5.20) следует, что если полный импульс системы $\mathbf{p}=0$, то ее момент импульса не зависит от выбора точки $O$. А этим как раз и отличается $Ц$-система, в которой система частиц как целое покоится. Отсюда мы приходим к третьему важному выводу: в Ц-системе момент импульса системы частиц не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют.

Этот момент называют собственным моментом им пульса системы и обозначают $\tilde{\mathbf{L}}$.

Связь между $\mathbf{L}$ и $\mathbf{L}$. Пусть $\mathbf{L}$ — момент импульса системы частиц относительно точки $OK$-системы отсчета. Так как собственный момент импульса $\tilde{\mathbf{L}}$ в Ц-системе не зависит от выбора точки $O^{\prime }$, возьмем точку $O^{\prime }$ совпадающей в данный момент с точкой $OK$-системы. Тотда радиусы-векторы каждой частицы в обеих системах отсчета будут одинаковы в этот момент $({\mathbf{r}}_i^{\prime }={\mathbf{r}}_i$ ), скорости же частиц связаны формулой
$${\mathbf{v}}_i={\tilde{\mathbf{v}}}_i+{\mathbf{v}}_C,$$

где ${\mathbf{V}}_C$ — скорость $Ц$-системы относительно $K$-системы. Поэтому можно записать
$$\mathbf{L}=\sum m_i\left[{\mathbf{r}}_l{\mathbf{v}}_l\right]=\sum m_i\left[{\mathbf{r}}_i{\tilde{\mathbf{v}}}_l\right]+\sum m_l\left[{\mathbf{r}}_l{\mathbf{v}}_C\right].$$

Первая сумма в правой части этого равенства есть собственный момент импульса $\tilde{\mathbf{L}}$. Вторую сумму в соответствии с формулой (3.8) представим как $m\left[{\mathbf{r}}_C{\mathbf{V}}_C\right]$, или [r ${\mathbf{r}}_C\mathbf{p}$ ], где $m$ — масса всей системы, ${\mathbf{r}}_C$ — радиус-вектор ее центра масс в $K$-системе, $\mathbf{p}$ — суммарный импульс системы частиц. В результате
т. е. момент импульса L системы частиц складывается из обусловленного движением системь частиц как целого. Возьмем, например, однородный шар, скатывающийся по наклонной плоскости. Его момент импульса отно-

сительно некоторой точки этой плоскости складывается из момента импульса, связанного с движением центра масс шара, и собственного момента импульса, обусловленного вращением шара вокруг собственной оси.

Из формулы (5.23), в частности, следует, что если центр масс системы покоится (импульс системы $\mathrm{p}=0$ ), то ее момент импульса $\mathbf{L}$ — это собственный момент импульса. С этим случаем мы уже знакомы. В другом крайнем случае, когда $\tilde{\mathbf{L}}=0$, момент импульса системы относительно некоторой точки определяется только моментом, связанным с движением системы как целого, т. е. вторым слагаемым (5.23). Так, например, ведет себя момент импульса любого твердого тела, совершающего поступательное движение.

Уравнение моментов в $Ц$-системе. В предыдущем параграфе было отмечено, что уравнение (5.12) справедливо в любой системе отсчета. Значит, оно справедливо и в $Ц$-системе. Поэтому сразу можно записать: $\mathrm{d}\tilde{\mathbf{L}}/\mathrm{d}t=\tilde{\mathbf{M}}$, где $\tilde{\mathbf{M}}$ — суммарный момент внешних сил в $Ц$-системе.

Так как $L$-система в общем случае неинерциальная, то в $\tilde{\mathbf{M}}$ входит помимо моментов внешних сил взаимодействия и момент сил инерции. С другой стороны, в начале этого параграфа (см. с. 145) было показано, что момент сил $\tilde{\mathit{M}}$ в $L$-системе не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Обычно в качестве такой точки берут точку $C$-центр масс системы. Целесообразность выбора именно этой точки в том, что относительно ее суммарный момент сил инерции равен нулю, поэтому следует учитывать только суммарный момент внешних сил взаимодействия ${\mathbf{M}}_C$. Итак,
т. е. производная по времени от собственного момента импульса системы равна суммарному моменту всех внешних сил взаимодействия относительно центра масс данной системы.

В частности, если ${\mathbf{M}}_C\equiv 0$, то $\tilde{\mathbf{L}}=$ const, т. е. собственный момент импульса системы сохраняется.

В проекциях на ось $z$, проходящую через центр масс системы, уравнение (5.24) имеет вид
$$\mathrm{d}{\tilde{L}}_z/\mathrm{d}t=M_{Cz},$$

где $M_{Cz}$ — суммарный момент внешних сил взаимодействия относительно неподвижной в $Ц$-системе оси $z$, проходящей через центр масс. И здесь если $M_{Cz}\equiv 0$, то $\widetilde{L_z}=$ = const.