Центр масс.
В любой системе частиц имеется одна замечательная точка $C$, называемая центром м а с, которая обладает рядом интересных и важных свойств. Ее положение относительно начала $O$ данной системы отсчета характеризуется радиусом-вектором $\mathbf{r}_{C}$, определяемым как

где $m_{i}$ и $\mathbf{r}_{i}$ – масса и радиус-вектор $i$-й частицы, $m$ масса всей системы (рис. 3.3).

Рис. 3.3
Рис. 3.4

Пример.
Покажем, что центр масс системы из двух частиц с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ находится на прямой, их соединяющей, в точке $C$, которая делит расстояние между частицами в отношении $l_{1}: l_{2}=$ $=m_{2}: m_{1}$.

Пусть $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{C}$ – радиусы-векторы частиц 1,2 и точки $C$ (рис. 3.4). Тогда положения этих частиц относительно точки $C$ характеризуются радиусами-векторами
\[
\mathbf{r}_{1}^{\prime}=\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{C}, \mathbf{r}_{2}^{\prime}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{C} .
\]

После подстановки в эти равенства согласно (3.8) выражения $\mathbf{r}_{c}=$ $=\left(m_{1} \mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}\right) /\left(m_{1}+m_{2}\right)$ получим
\[
\mathbf{r}_{1}^{\prime}=m_{2}\left(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right), \quad \mathbf{r}_{2}^{\prime}=m_{1}\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right) .
\]

Отсюда следует, что векторы $\mathbf{r}_{1}{ }^{\prime}$ и $\mathbf{r}_{2}{ }^{\prime}$ коллинеарны (причем $\mathbf{r}_{1}{ }^{\prime} \uparrow \downarrow \mathbf{r}_{2}{ }^{\prime}$ ), значит точка $C$ лежит на прямой, проходящей через частицы (рис. 3.4). Кроме того, модули этих векторов, т. е. расстояния $l_{1}$ и $l_{2}$, обратно пропорциональны массам частиц.

Следует заметить, что центр масс системы совпадает с ее центром тяжести. Впрочем, это утверждение справедливо лишь в том случае, когда поле сил тяжести в пределах данной системы можно считать однородным.

Теперь найдем скорость $\mathbf{V}_{C}$ центра масс системы. Продифференцировав (3.8) по времени, получим
\[
\mathrm{v}_{C}=\frac{1}{m} \sum m_{i} \mathbf{v}_{i} .
\]

Если скорость центра масс равна нулю, то говорят, что система как целое покоится. Это вполне естественное обобщение понятия покоя отдельной материальной точки. Скорость же $\mathbf{V}_{C}$ приобретает смысл скорости движения всей системы как целого.
Из последний формулы с учетом (3.3) следует, что
\[
\mathbf{p}=m \mathbf{V}_{C},
\]
т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Уравнение движения центра масс.
Понятие центра масс позволяет придать уравнению (3.4) иную форму, которая часто бывает более удобной. Для этого достаточно (3.10) подставить в (3.4) и учесть, что масса системы как таковой есть величина постоянная. Тогда получим

где $\mathbf{F}_{\text {внеш }}$ – результирующая всех внешних сил, действующих на систему. Это и есть уравнение движения центра м асс системы – одно из важнейших уравнений механики. Согласно этому уравнению, центр масс любой системы частиц движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы.

При этом ускорение центра масс совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

Далее, из уравнения (3.11) следует, что если $\mathbf{F}_{\text {внеш }} \equiv 0$, то $\mathrm{d} \mathbf{V}_{C} / \mathrm{d} t \equiv 0$, а значит, $\mathbf{V}_{C}=$ const. Таков, в частности, случай замкнутой системы (в инерциальной системе отсчета). Кроме того, если $\mathbf{V}_{C}=$ const, то, согласно (3.11), и импульс системы $\mathbf{p}=$ const.

Таким образом, если центр масс систем движется равномерно и прямолинейно, то это означает, что ее импульс сохраняется в процессе движения. Разумеется, справедливо и обратное утверждение.

Уравнение (3.11) по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его естественным обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы. Напомним, что в неинерциальных системах отсчета результирующая всех внешних сил

включает в себя как силы взаимодействия с окружающими телами, так и силы инерции.

Рассмотрим три примера на движение центра масс системы.

Пример 1. Покажем, как можно иначе решить задачу с человеком на плоту (см. пример 2 на с. 70 ), если воспользоваться понятием центра масс.

Так как сопротивление воды прснсбрежимо мало, то результирующая всех внешних сил, действующих на систему человек – плот, равна нулю. А это значит, что положение центра масс данной системы в процессе движения человека (и плота) меняться не будет, т. е.
\[
m_{1} \mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}=\text { const },
\]

где $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$ – радиусы-векторы, характеризующие положения центров масс человека и плота относительно некоторой точки берега. Из этого равенства найдем связь между приращениями векторов $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$ :
\[
m_{1}{ }^{\prime \prime} \Delta \mathbf{r}_{1}+m_{2} \Delta \mathbf{r}_{2}=0 .
\]

Имея в внду, что приращения $\Delta \mathbf{r}_{1}$ и $\Delta \mathbf{r}_{2}$ прсдставляют собой перемещения человека и плота относительно берега, причем $\Delta \mathbf{r}_{1}=\Delta \mathbf{r}_{2}+\Delta \mathbf{r}^{\prime}$, найдем перемещение плота:
\[
\Delta \mathbf{r}_{2}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \Delta \mathbf{r}^{\prime} .
\]

Пример 2. Человек прыгает с вышки в воду. Движение прыгуна в общем случае имеет весьма сложный характер. Однако если сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то можно сразу утверждать, что центр масс прығуна движется по параболе, как материальная точка, на которую действует постоянная сила $m g$, где $m$ – масса человека.

Пример 3. Замкнутая цепочка, соединенная нитью с концом оси центробежной машины, равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$ (рис. 3.5). При этом нить образует угол $\vartheta$ с вертикалью. Как ведет себя центр масс цепочки?

Прежде всего ясно, что при равномерном вращении центр масс цепочки не движется в вертикальном направлении. Это значит, что вертикальная составляющая силы $T$ натяжения нити компенсирует силу тяжести $\mathrm{mg}$ (рис. 3.5, справа). Горизонтальная же составляющая силы натяжения постоянна по модулю и все время направлена к оси вращения. Отсюда следует, что центр масс цепочки (точка $C$ ) движется по горизонтальной окружности, радиус которой $\rho$ легко найти с помощью уравнения (3.11), записав его в виде
\[
m \omega^{2} \rho=m g \operatorname{tg} \vartheta,
\]

где $m$ – масса цепочки. При этом точка $C$ все время находится между осью вращения и нитью, как показано на рисунке.
$\boldsymbol{L}$-система.
В тех часто встречающихся случаях, когда нас интересует лишь относительное движение частиц внутри системы, а не ее движение как целого, наиболее целесообразно пользоваться системой отсчета, в которой

центр масс покоится. Это позволяет значительно упростить и анализ явления, и соответствующие расчеты.

Систему отсчета, жестко связанную с центром масс и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам, называют системой центра м а с с или, кратко, $Ц$-с и ситемой.

Отличительной особенностью $Ц$-системы является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю – это непосредственно следует из формулы (3.10), ибо в $Ц$-системе $\mathbf{V}_{C}=0$. Другими словами, любая система частиц как целое покоится в своей Ц-системе.

Для замкнутой системы частиц ее $Ц$-система является инерциальной, для незамкнутой – в общем случае неинерциальной.

Необходимо отметить, что Ц-система играет существенную роль в физике. Это обусловлено рядом несомненных преимуществ, которые дает ее применение во многих ситуациях. В дальнейшем мы будем обращаться к этой системе отсчета неоднократно (в теории столкновений частиц, в динамике твердого тела и др.).

Система из двух частиц. Пусть массы частиц равны $m_{1}$ и $m_{2}$, а их скорости в исходной $K$-системе отсчета $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ соответственно. Найдем импульсы этих частиц в L-системе.

Будем помечать все величины в Ц-системе сверху значком (тильда). Тогда искомые импульсы можно записать так:
\[
\tilde{\mathbf{p}}_{\mathbf{1}}=m_{1} \tilde{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}=m_{1}\left(\mathbf{v}_{\mathbf{1}}-\mathbf{V}_{C}\right), \quad \tilde{\mathbf{p}}_{2}=m_{2} \tilde{\mathbf{v}_{2}}=m_{2}\left(\mathbf{v}_{2}-\mathbf{V}_{C}\right),
\]

где $\mathbf{V}_{C}$ – скорость Ц-системы относительно К-системы отсчета. После подстановки в эти формулы выражения $\mathbf{V}_{C}=\left(m_{1} \mathbf{v}_{1}+m_{2} \mathbf{v}_{2}\right) /\left(m_{1}+m_{2}\right)$ получим
\[
\tilde{\mathbf{p}}_{\mathbf{1}}=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\mathbf{v}_{\mathbf{1}}-\mathbf{v}_{2}\right), \quad \tilde{\mathbf{p}}_{2}=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{\mathbf{1}}\right) .
\]

Видно, что импульсы обеих частиц в $Ц$-системе одинаковы по модулю и противоположны по направлению:

$\tilde{\mathbf{p}}_{1}=-\overrightarrow{\mathbf{p}}_{2}$. Это так и должно быть, поскольку суммарный импульс частиц в Ц-системе всегда равен нулю.
Полученные результаты справедливы независимо от того, замкнута эта система или нет, а также независимо от наличия взаимодействия между частицами.