Существует три способа описания движения точки: векторный, координатный и так называемый естественный. Рассмотрим их последовательно.

Векторный способ. В этом способе положение интересующей нас точки $A$ задают радиусом-вектором r, проведенным из некоторой неподвижной точки $O$ выбранной системы отсчета в точку $A$.
Рис. 1.1 При движении точки $A$ ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор $\mathbf{r}$ зависит от времени $t$. Геометрическое место концов радиуса-вектора $\mathbf{r}$ называют траекторией точки $A$.

Введем понятие скорости точки. Пусть за промежуток времени $\Delta t$ точка $A$ переместилась из точки $l$ в точку 2 (рис. 1.1). Из рисунка видно, что вектор перемещения $\Delta \mathbf{r}$ точки $A$ представляет собой приращение радиуса-вектора $\mathbf{r}$ за время $\Delta t: \Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}$. Отношение $\Delta \mathrm{r} / \Delta t$ называют средним вектором скорости

$\langle\mathbf{v}\rangle$ за время $\Delta t$. Вектор $\langle\mathbf{v}\rangle$ совпадает по направлению с c $\Delta \mathbf{r}$.

Определим вектор скорости $\mathbf{v}$ точки в данный момент времени как предел отношения $\Delta \mathbf{r} / \Delta t$ при $\Delta t \rightarrow 0$, т. е.
\[
\mathbf{v}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t} .
\]

Это значит, что вектор скорости $\mathbf{v}$ точки в данный момент времени равен производной от радиуса-вектора r по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения точки $A$ (как и вектор $\mathrm{dr}$ ). Модуль вектора v равен*
\[
v==|\mathbf{v}|=|\mathrm{d} \mathbf{r} / \mathrm{d} t| .
\]

Движение точки характеризуется также ускорением. Вектор ускорения а определяет скорость изменения вектора скорости точки со временем:
\[
\mathbf{a}=\mathrm{d} \mathbf{v} / \mathrm{d} t,
\]
т. е. равен производной от вектора скорости по времени. Направление вектора а совпадает с направлением вектора $\mathrm{dv}$ – приращением вектора $\mathbf{v}$ за время $\mathrm{d} t$. Модуль вектора а определяется аналогично модулю вектора v.
Пример. Радиус-вектор точки зависит от времени $t$ по закону
\[
\mathbf{r}=\mathbf{A} t+\mathbf{B} t^{2} / 2,
\]

где А и В– постоянные векторы. Найдем скорость $\mathbf{v}$ и ускорение a точки:
\[
\mathbf{v}=\mathrm{d} \mathbf{r} / \mathrm{d} t=\mathbf{A}+\mathbf{B} t, \quad \mathbf{a}=\mathrm{d} \mathbf{v} / \mathrm{d} t=\mathbf{B}=\text { const } .
\]

Модуль вектора скорости
\[
v=\sqrt{\mathrm{v}^{2}}=\sqrt{A^{2}+2 \mathrm{AB} t+B^{2} t^{2}} .
\]

Таким образом, зная зависимость $\mathbf{r}(t)$, можно найти скорость $\mathbf{v}$ и ускорение а точки в каждый момент времени.

Возникает и обратная задача: можно ли найти $\mathbf{v}(t)$ и $\mathbf{r}(t)$, зная зависимость от времени ускорения $\mathbf{a}(t)$ ?

Оказывается, для получения однозначного решения этой задачи одной зависимости а $(t)$ недостаточно, необходимо еще знать так называемые начальные усло-

вия, а именно скорость $\mathbf{v}_{0}$ и радиус-вектор $\mathbf{r}_{0}$ точки в некоторый начальный момент $t=0$. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим простейший случай, когда в процессе движения ускорение точки $\mathbf{a}=$ const.

Сначала определим скорость точки $\mathbf{v}(t)$. Согласно (1.2), за промежуток времени $\mathrm{d} t$ элементарное приращение скорости $\mathrm{dv}=\mathrm{ad} t$. Проинтегрировав это выражение по времени от $t=0$ до $t$, найдем приращение вектора скорости за это время:
\[
\Delta \mathbf{v}=\int_{0}^{t} \mathbf{a} d t=\mathbf{a} t .
\]

Но величина $\Delta \mathbf{v}$ – это еще не искомая скорость $\mathbf{v}$. Чтобы найти $\mathbf{v}$, необходимо знать скорость $\mathbf{v}_{0}$ в начальный момент времени. Тогда $\mathbf{v}=$ $=\mathbf{v}_{0}+\Delta \mathbf{v}$, или
\[
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}+\mathbf{a} t .
\]

Аналогично решается вопрос и о радиусе-векторе $\mathbf{r}(t)$ точки. Согласно (1.1), за промежуток времени $\mathrm{d} t$ эле-

Рис. 1.2 ментарное приращение радиуса-вектора $\mathrm{d} \mathbf{r}=\mathbf{v} \mathrm{d} t$. Интегрируя это выражение с учетом найденной зависимости $\mathbf{v}(t)$, определим приращение радиуса-вектора за время от $t=0$ до $t$ :
\[
\Delta \mathbf{r}=\int_{0}^{t} \mathbf{v}(t) \mathrm{d} t=\mathbf{v}_{0} t+\mathbf{a} t^{2} / 2 .
\]

Для нахождения самого радиуса-вектора $\mathbf{r}(t)$ необходимо знать еще положение точки $\mathbf{r}_{0}$ в начальный момент времени. Тогда $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{0}+\Delta \mathrm{r}$, или
\[
\mathbf{r}=\mathbf{r}_{0}+\mathrm{v}_{0} t+\mathbf{a} t^{2} / 2 .
\]

Рассмотрим, например, движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью $\mathbf{v}_{0}$. Если считать, что камень движется с постоянным ускорением $\mathbf{a}=\mathbf{g}$, то его положение относительно точки бросания ( $\mathrm{r}_{0}=0$ ) определяется радиусом-вектором
\[
\mathbf{r}=\mathbf{v}_{0} t+\mathrm{g} t^{2} / 2
\]
т. е. в данном случае $\mathbf{r}$ представляет собой сумму двух векторов, что показано на рис. 1.2.

Итак, для полного решения задачи о движении точки – определения ее скорости $\mathbf{v}$ и положения $\mathbf{r}$ в зависимости от времени – недостаточно знать зависимость $\mathbf{a}(t)$, но еще необходимо знать и начальные условия, т. е. скорость $\mathbf{v}_{0}$ и положение $\mathbf{r}_{0}$ точки в начальный момент времени.

В заключение напомним, что в СИ единицами длины, скорости и ускорения являются соответственно метр (м), метра секунду (м/с) и метр на секунду в квадрате $\left(\mathrm{m} / \mathrm{c}^{2}\right)$.

Координатный способ.
В этом способе с выбранным телом отсчета жестко связывают определенную систему координат (декартову, косоугольную или криволинейную). Выбор той или иной системы координат определяется рядом соображений: характером или симметрией задачи, постановкой вопроса, а также стремлением упростить само решение. Ограничимся здесь* декартовой системой координат $x, y, z$.

Запишем проекции на оси $x, y, z$ радиуса-вектора $\mathbf{r}(t)$, характеризующего положение интересующей нас точки относительно начала координат $O$ в момент $t$ :
\[
x=x(t) ; \quad y=y(t) ; \quad z=z(t) .
\]

Зная зависимость этих координат от времени – закон движения точки, можно найти положение точки в каждый момент времени, ее скорость и ускорение. Действительно, спроектировав (1.1) и (1.2), например, на ось $x$, получим формулы, определяющие проекции векторов скорости и ускорения на эту ось:
\[
v_{x}=\mathrm{d} x / \mathrm{d} t,
\]

где $\mathrm{d} x$ – проекция вектора перемещения $\mathrm{d} \mathbf{r}$ на ось $x$;
\[
a_{x}=\frac{\mathrm{d} v_{x}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}},
\]

где $\mathrm{d} v_{x}$ – проекция вектора приращения скорости $\mathrm{dv}$ на ось $x$. Аналогичные соотношения получаются для $y$ – и $z$-проекций соответствующих векторов. Из этих формул видно, что проекции векторов скорости и ускорения равны соответственно первой и второй производным координат по времени.

Таким образом, зависимости $x(t), y(t), z(t)$ по существу полностью определяют движение точки. Зная их, можно найти не только положение точки, но и проекции ее скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов $\mathbf{v}$ и а в любой момент времени. Например, модуль вектора скорости
\[
v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}},
\]

направление же вектора $\mathbf{v}$ задается направляющими косинусами по формулам
\[
\cos \alpha=v_{x} / v ; \quad \cos \beta=v_{y} / v ; \quad \cos \gamma=v_{z} / v,
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$-углы между вектором $\mathbf{v}$ и осями $x, y, z$ соответственно. Аналогичными формулами определяются модуль и направление вектора ускорения.
Рис. 1.3
Pис. 1.4
Кроме того, можно решить и ряд других вопросов: найти траекторию точки, зависимость пройденного ею пути от времени, зависимость скорости от положения точки и пр.

Решение обратной задачи – нахождение скорости и закона движения точки по заданному ускорению – проводится, как и в векторном способе, путем интегрирования (в данном случае проекций ускорения по времени), причем задача и здесь имеет однозначное решение, если кроме ускорения заданы еще и начальные условия: проекции скорости и координаты точки в начальный момент

«Естественный» способ.
Этот способ применяют тогда, когда траектория точки известна заранее. Положение точки $A$ определяют дуговой координатой $l-$ расстоянием вдоль траектории от выбранного начала от-
счета $O$ (рис. 1.3). При этом произвольно устанавливают положительное направление отсчета координаты $l$ (например, так, как показано стрелкой на рисунке).

Движение точки определено, если известны ее траектория, начало отсчета $O$, положительное направление отсчета дуговой координаты $l$ и закон движения точки, т. е. зависимость $l(t)$.

Скорость точки. Введем единичный вектор $\tau$, связанный с движущейся точкой $A$ и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты $l$ (рис. 1.3). Очевидно, что $\boldsymbol{\tau}$ – переменный вектор: он зависит от $l$. Вектор скорости $\mathbf{v}$ точки $A$ направлен по касательной к траектории, поэтому его можно представить так:

где $v_{\tau}=\mathrm{d} l / \mathrm{d} t$ – проекция вектора $\mathbf{v}$ на направление вектора $\tau$, причем $v_{\tau}$ – величина алгебраическая. Кроме того,
\[
\left|v_{\tau}\right|=|\mathbf{v}|=v .
\]

Ускорение точки. Продифференцируем (1.5) по времени:
\[
\mathrm{a}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} v_{\tau}}{\mathrm{d} t} \tau+v_{\tau} \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} t}
\]

Затем преобразуем последний член этого выражения:
\[
v_{\tau} \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} t}=v_{\tau} \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} \boldsymbol{l}} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mathrm{d} t}=v_{\tau}^{2} \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} l}=v^{2} \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} l} .
\]

Определим приращение вектора $\tau$ на участке $\mathrm{d} l$ (рис. 1.4). Можно строго показать, что при стремлении точки 2 к точке 1 отрезок траектории между ними стремится к дуге окружности с центром в некоторой точке $O$. Эту точку называют центром кривизны траектории в данной точке, а радиус $\rho$ соответствующей окружности – радиусом кривизны траектории в той же точке.

Как видно из рис. 1.4, угол $\delta \alpha=|\mathrm{d} l| / \rho=|\mathrm{d} \tau| / 1$, откуда
\[
|\mathrm{d} \tau / \mathrm{d} l|=1 / \rho,
\]

причем при $\mathrm{d} l \rightarrow 0 \mathrm{~d} \tau \perp \tau$. Введя единичный вектор $\mathbf{n}$ нормали к траектории в точке 1 , направленный к центру

кривизны, запишем последнее равенство в векторном виде:
\[
\mathrm{d} \boldsymbol{\tau} / \mathrm{d} l=\mathbf{n} / \rho .
\]

Подставим (1.8) в (1.7) и полученное выражение в (1.6). В результате найдем

Здесь первое слагаемое называют тангенциальным ускорением $\mathbf{a}_{\tau}$, второе нормальным $\mathbf{a}_{n}$ :
\[
\mathbf{a}_{\tau}=\frac{\mathrm{d} v_{\tau}}{\mathrm{d} t} \tau, \quad \mathbf{a}_{n}=\frac{v^{2}}{\rho} \mathbf{n} .
\]

Таким образом, полное ускорение а точки может быть представлено как сумма тангенциального и нормального ускорений.
Рис. 1.5
Модуль полного ускорения точки
\[
a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{v^{2}+\left(v^{2} / \rho\right)^{2}},
\]

где $\dot{v}$ – производная модуля скорости по времени.
Пример. Точка $A$ движется по дуге окружности радиусом $\rho$ (рис. 1.5). Ее скорость зависит от дуговой координаты $l$ по закону $v=k \sqrt{l}$, где $k$ – постоянная. Найдем угол $\alpha$ между векторами полного ускорения и скорости точки как функцию координаты $l$.

Из рис. 1.5 видно, что угол $\alpha$ можно определить по формуле $\operatorname{tg} \alpha=a_{n} / a_{\tau}$. Найдем $a_{n}$ и $a_{\tau}$. Нормальное ускорение
\[
a_{n}=v^{2} / \rho=k^{2} l / \rho .
\]

В нашем случае $v_{\tau}=v$, поэтому тангенциальное ускорение
\[
\boldsymbol{a}_{\tau}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} \boldsymbol{l}} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} \boldsymbol{l}} v .
\]

Учитывая зависимость $v$ от $l$, получим
\[
a_{\tau}=\frac{k}{2 \sqrt{l}} k \sqrt{l}=\frac{k^{2}}{2} .
\]

В результате $\operatorname{tg} \alpha=2 l / \rho$.