В этом параграфе мы рассмотрим три важнейших следствия, которые вытекают из постулатов Эйнштейна, – это равенство поперечных размеров движущихся тел в разных системах отсчета, замедление хода движущихся часов и сокращение продольных размеров движущихся тел, а затем (в $\$ 6.4$ ) обобщим полученные результаты в виде соответствующих формул преобразования координат и времени.

Приступая к решению этих вопросов, напомним прежде всего, что под системой отсчета подразумевается тело отсчета, с которым связаны координатная сетка и ряд неподвижных одинаковых часов, синхронизированных между собой. Далее, предполагается, что во всех инерциальных системах отсчета координатные сетки и часы проградуированы одинаковым образом. Ясно, что это можно осуществить только с помощью эталонов длины и времени, реализованных также одинаковым образом во всех системах отсчета.

Для этого достаточно использовать какой-либо природный периодический процесс, дающий естественный масштаб как длины, так и времени, например одну из монохроматических волн, испускаемых определенными атомами, неподвижными в данной системе отсчета. Тогда в этой системе отсчета эталоном длины можно взять длину волны, а эталоном времени – соответствующий период колебания. С помощью этих эталонов можно построить эталон один метр как определенное число данных длин волн и эталон одна секунда как тоже определенное число периодов данных колебаний (заметим, что в настоящее время так и сделано).

Аналогичную операцию можно проделать в каждой инерциальной системе отсчета, используя одну и ту же монохроматическую волну одних и тех же атомов, неподвижных в каждой из этих систем отсчета. Основанием для этого служит то, что, по принципу относительности, физические свойства покоящихся атомов не зависят от того, в какой инерциальной системе отсчета они покоятся.

Реализовав в каждой системе отсчета эталоны длины и времени, можно перейти к решению такого фундаментального вопроса, как сравнение этих эталонов в разных системах отсчета, или, другими словами, к сравнению размеров тел и течения времени в этих системах.

Равенство поперечных размеров тел.
Начнем с вопроса о сравнении поперечных размеров тел в разных инерциальных системах отсчета. Представим себе две инерциальные системы отсчета $K$ и $K^{\prime}$, оси $u$ и $u^{\prime}$ которых параллельны друг другу и перпендикулярны направлению движения одной системы относительно другой (рис. 6.4), причем начало отсчета $O^{\prime} K^{\prime}$-системы движется по прямой, проходящей через начало отсчета $O K$-системы. Установим вдоль осей $y$ и $y^{\prime}$ стержни $O A$ и $O^{\prime} A^{\prime}$, являющиеся эталонами метра в каждой из этих систем отсчета. Представим себе далее, что в момент совпадения осей $y^{\prime}$ и $y$ верхний конец левого стержня сделает метку на оси $y$-системы. Совпадет ли эта метка с точкой $A$ – верхним концом правого стержня?

Принцип относительности позволяет сразу ответить на этот вопрос: да, совпадет. Если бы это было не так, то с точки зрения обеих систем отсчета один из стержней оказался бы, например, короче другого и, следовательно, имелась бы возможность экспериментально отличить одну из инерциальных систем отсчета от другой по более коротким поперечным размерам. Однако это противоречит принципу относительности.

Отсюда следует, что поперечные размеры тел одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Это означает также, что при указанном выборе начал отсчета $K^{\prime}$ и $K$-систем координаты $y^{\prime}$ и $y$.юбой точки или события совпадают, т. е.
\[
y^{\prime}=y .
\]

Это соотношение представляет собой одно из искомых преобразований координат.

Рис 6.4
Рис 65

Замедление времени.
Наша следующая задача сравнить течение времени в разных инерциальных системах отсчета. Как уже говорилось, время измеряется часами, причем под часами имеется в виду любой прибор, в котором используется тот или иной периодический процесс. Поэтому в теории относительности принято обычно говорить о сравнении хода идентичных часов в разных инерциальных системах отсчета.

Наиболее просто этот вопрос можно решить с помощью следующего мысленного (т. е. в принципе возможного) эксперимента. Возьмем так называемые световые часы-стержень с зеркалами на обоих концах, между которыми «бегает» короткий световой импульс. Период таких часов равен интервалу времени между двумя последовательными моментами, когда световой импульс достигает какого-то определенного конца стержня.

Далее, представим себе две инерциальные системы отсчета $K^{\prime}$ и $K$, движущиеся относительно друг друга со скоростью $V$. Пусть световые часы $A B$ неподвижны в $K^{\prime}$-системе и ориентированы перпендикулярно направлению ее движения относительно $K$-системы (рис. 6.5). Проследим теперь за «ходом» этих часов в обеих системах отсчета: $K^{\prime}$ и $K$.
В $K^{\prime}$-системе часы неподвижны, и их период
\[
\Delta t_{0}=2 l / c
\]

где $l$-расстояние между зеркалами, $c$-скорость света.

В $K$-системе, относительно которой часы движутся, расстояние между зеркалами также $l$, ибо поперечные размеры тел одинаковы в разных инерциальных системах отсчета. Однако путь светового импульса в этой системе отсчета будет уже иным – зигзагообразным (рис. 6.5): пока световой импульс распространяется от нижнего зеркала к верхнему, последнее переместится на некоторое расстояние вправо и т. д. Поэтому световой импульс, чтобы вернуться к нижнему зеркалу, проходит в $K$-системе больший путь, причем с той же скоростью с. Значит, свету понадобится на это больше времени – больше, чем когда часы неподвижны. Другими словами, период движущихся часов удлинится -с точки зрения $K$-системы отсчета они будут идти медленнее.

Обозначим период движущихся часов через it в $K$-системе. Из прямоугольного треугольника $A B^{\prime} A^{\prime}$ (рис. 6.5) следует, что $l^{2}+(V \Delta t / 2)^{2}=(c \Delta t / 2)^{2}$, откуда
\[
\Delta t=(2 l / c) / \longdiv { 1 – ( V / c ) ^ { 2 } } .
\]

А так как $2 l / c=\Delta t_{0}$, то

где $\beta=V / c, V-$ скорость часов в $K$-системе.

Отсюда видно, что $\Delta t>\Delta t_{0}$, т. е. одни и те же часы в разных инерциальных системах отсчета идут по-разному: в той системе отсчета, относительно которой часы

движутся, они идут медленнее, чем в системе отсчета, где они покоятся. Другими словами, движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся. Это явление называют замедлением времени.

Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с телом, в котором происходит какой-либо процесс, называют собственным временем этого тела. Его обозначают $\Delta t_{0}$. Как следует из (6.4), собственное время самое короткое. Время $\Delta t$ того же процесса в другой системе отсчета зависит от скорости $V$ этой системы относительно тела, в котором происходит процесс. Эта зависимость особенно сильно проявляется для значений скорости $V$, сравнимых со скоростью света (рис. 6.6).

Пример.
Часы движутся в $K$-системе отсчета прямолинейно и равномерно со скоростью $v$. В начальный момент $t=0$ их показания совпадали с часами $K$-системы. На сколько секунд отстанут движущиеся часы за время $t=60$ мин (это время по часам K-системы), если: а) $v=1800 \mathrm{км} / ч$ (реактивный самолет); б) $v=$ $=4 / 5 c$, где $c$ – скорость света в вакууме?

Пусть в момент $t$ по часам $K$-системы движущиеся часы показывали $t_{0}$, причем, согласно $(6.4), t_{0}=t \sqrt{1-(v / c)^{2}}$, тогда искомое время
\[
t-t_{0}=t\left(1-\sqrt{1-(v / c)^{2}}\right) .
\]
a) При $v \ll c$, согласно формуле бинома Ньютона,
\[
\sqrt{1-(v / c)^{2}} \approx 1-1 / 2(v / c)^{2} \text { и } t-t_{0}=1 / 2(v / c)^{2} t=5 \cdot 10^{-9} \text { с. }
\]
б) $t-t_{0}=2 / 5 t=24$ мин.

Таким образом, в отличие от ньютоновской механики течение времени в действительности зависит от состояния движения. Не существует единого мирового времени, и понятие «промежуток времени между двумя данными событиями» оказывается относительным. Утверждение, что между двумя данными событиями прошло столько-то секунд, приобретает смысл только тогда, когда указано, к какой системе отсчета это утверждение относится.

Это объясняется тем, что время $2 \cdot 10^{-6}$ с – это собственное время $\left(\Delta t_{0}\right)$, жизни мюонов, т е время по часам, движущимся вместе с мюонами Время же по земным часам должно быть, согласно (64), гораздо больше (скорость этих частиц близка к скорости света) и оказывается достаточным, чтобы мюоны могли достигнуть поверхности Земли.

В заключение несколько слов о так называемом «парадоксе часов», или «парадоксе близнецов». Пусть имеются двое одинаковых часов $A$ и $B$, из которых часы $A$ неподвижны в некоторой инерциальной системе отсчета, а часы $B$ сначала удаляются от часов $A$ и затем возвращаются к ним. Предполагается, что в начальный момент, когда часы находились вместе, они показывали одно и то же время.

С «точки зрения» часов $A$ движущимися являются часы $B$, поэтому они идут медленнее и по возвращении отстанут от часов $A$. С «точки же зрения» часов $B$, наоборот, движутся часы $A$, поэтому по возвращении отстанут именно они. Явное противоречие – э этом суть «парадокса».

В действительности в этих рассуждениях допущена принципиальная ошибка. Эта ошибка касается рассуждения с «точки зрения» часов $B$, ибо система отсчета, связанная с этими часами, является неинерциальной (она сначала удаляется с ускорением, а затем приближается), и мы не имеем права в данном случае использовать результаты, относящиеся только к инерциальным системам отсчета. Детальный расчет, выходящий за рамки специальной теории относительности, показывает, что часы, движущиеся с ускорением (в нашем случае часы $B$ ), идут медленнее, поэтому при возвращении отстанут именно они.

Лоренцево сокращение. Пусть стержень $A B$ движется относительно $K$-системы отсчета с постоянной скоростью $V$ (рис. 6.7) и длина стержня равна $l_{0}$ в системе отсчета $K^{\prime}$, связанной со стержнем. Наша задача – определить длину $l$ данного стержня в $K$-системе.

Проделаем для этого следующий мысленный эксперимент. Сделаем на оси $x K$-системы метку $M$ и установим около нее часы. Зафиксируем по этим часам время пролета $\Delta t_{0}$ стержня мимо метки $M$. Тогда можно утверждать, что искомая длина стержня в $K$-системе
\[
l=V \Delta t_{0} \text {. }
\]

Для наблюдателя, связанного со стержнем, время пролета будет иным. Действительно, для него часы, показав-

шие пролетное время $\Delta t_{0}$, движутся со скоростью $V$, а значит, показывают «чужое» время. «Свое» время пролета $\Delta t$ для этого наблюдателя будет, согласно (6.4), больше. Это время он может найти из соотношения
\[
l_{0}=V \Delta t \text {. }
\]

Из этих двух уравнений, с учетом (6.4) получим

или
\[
l / l_{0}=\Delta t_{0} / \Delta t=\sqrt{1-\beta^{2}},
\]

где $\beta=V / c$. Длину $l_{0}$, измеренную в системе отсчета, где стержень неподвижен, называют собственной длиной.
Таким образом, продольный размер движущегося стержня оказывается меньше его собственной длины, т. е. $l<l_{0}$. Это явление называют лоренцевым сокращением. Заметим, что данное сокращение относится только к продольным размерам тел (размерам в направлении движения), поперечные
Рис. 6.8
Рис. 6.9

же размеры, как было установлено, не меняются. Сравнительно с формой тела в системе отсчета, где оно покоится, его форма в движущейся системе отсчета может характеризоваться как сплющенная в направлении движения.

Из формулы (6.5) следует, что степень сокращения зависит от скорости $V$. Эта зависимость особенно существенно проявляется для значений скорости $V$, сравнимых со скоростью света (рис. 6.8).

Рассмотрим несколько примеров, связанных с лоренцевым сокращением.

Пример 1. Стержень, собственная длина которого $l_{0}=5,0$ м, движется в продольном направлении со скоростью $V$ относительно $K$. системы отсчета. При каком значении $V$ длина стержня в $K$-системе будет $l=3,0$ м (эта ситуация показана на рис. 6.9)?

Чтобы наблюдать такое сокращение длины, скорость стержня, согласно (6.5), должна быть $V=c \sqrt{1-\left(l / l_{0}\right)^{2}}=4 / 5$ с.

Пример 2. Стержень $A$ движется мимо неподвижного в $K$-системе отсчета стержня $B$ со скоростью $v$, как показано на рис. 6.10. Оба стержня имеют одинаковую собственную длину $l_{0}$. Найдем в $K$-системе отсчета промежуток времени $\Delta t$ между моментами совпадения левых и правых
Рис. 6.10
концов стержней.

Длина движущегося в $K$-системе стержня $A$ равна $l=$ $=l_{0} \sqrt{1-(v / c)^{2}}$, и с помощью рис. 6.10 нетрудно сообразить, что искомый промежуток времени
\[
\Delta t=\left(l_{0}-t\right) / v=\left(1-\sqrt{1-(v / c)^{2}}\right) l_{0} / v .
\]

Пример 3. Две частицы, двигавшиеся в $K$-системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью $v=4 / 5 c$, попали в неподвижную мишень с промежутком времени $\Delta t=5 \cdot 10^{-9}$ с (в данной системе отсчета). Каким было собственное расстояние между частицами до попадания в мишень?

Расстояние между частицами в $K$-системе отсчета $l=v \Delta t$. Поэтому искомое расстояние, согласно формуле (6.5),
\[
l_{0}=v \Delta t / \sqrt{1-(v / c)^{2}}=2 \mathrm{~m} .
\]

Итак, в разных инерциальных системах отсчета длина одного и того же стержня оказывается различной. Иными словами, длина – понятие относительное, имеющее смысл только по отношению той или иной системы отсчета. Утверждение, что длина тела столько-то метров, не имеет смысла, пока не указано, к какой именно системе отсчета отнесена эта величина.

При малых же скоростях $(V \ll c)$, как следует из (6.5) и видно из рис. $6.8, l \approx l_{0}$ и длина тела приобретает практически абсолютный смысл.

Необходимо отметить, что лоренцево сокращение, как и замедление времени, должно быть взаимным. Это значит, что если мы будем сравнивать два движущихся относительно друг друга стержня, собственная длина которых одинакова, то с «точки зрения» каждого из этих стержней длина другого стержня будет короче, причем в одинаковом отношении. Если бы это было не так, то имелась бы возможность экспериментально отличить

инерциальные системы отсчета, связанные с этими стержнями, что, однако, противоречит принципу относительности.

Это говорит о том, что лоренцево сокращение является также чисто кинематическим эффектом – т теле не возникает каких-либо напряжений, вызывающих деформацию.

Подчеркнем, что лоренцево сокращение тел в направлении их движения, равно как и замедление времени, представляет собой реальный и объективный факт, отнюдь не связанный с какими-либо иллюзиями наблюдателя. Все значения размеров данного тела или промежутков времени, полученные в разных системах отсчета, являются равноправными (все они «правильные»). Трудность понимания этих утверждений связана исключительно с нашей привычкой, основанной на повседневном опыте, считать понятия длины и промежутков времени абсолютными понятиями, когда в действительности это не так. Понятия длины и промежутка времени столь же относительны, как понятия движения и покоя.