2.4. Преобразование гистограмм, эквализация

При всех поэлементных преобразованиях происходит изменение закона распределения вероятностей, описывающего изображение. Рассмотрим механизм этого изменения на примере произвольного преобразования с монотонной характеристикой, описываемой функцией   (рис.2.8), имеющей однозначную обратную функцию . Предположим, что случайная величина  подчиняется плотности вероятности  . Пусть  - произвольный малый интервал значений случайной величины  , а  - соответствующий ему интервал преобразованной случайной величины  .

Попадание величины    в интервал    влечет за собой попадание величины   в интервал  , что означает вероятностную эквивалентность этих двух событий. Поэтому, учитывая малость обоих интервалов, можно записать приближенное равенство:

,

где модули учитывают зависимость вероятностей от абсолютных длин интервалов (и независимость от знаков приращений   и  ). Вычисляя отсюда плотность вероятности преобразованной величины, подставляя вместо   его выражение через обратную функцию и выполняя предельный переход при  ( и, следовательно, ), получаем :

.                    (2.4)

Это выражение позволяет вычислить плотность вероятности продукта преобразования, которая, как видно из него, не совпадает с плотностью распределения исходной случайной величины. Ясно, что существенное влияние на плотность  оказывает выполняемое преобразование, поскольку в (2.4) входит его обратная функция и ее производная.

Соотношения становятся несколько сложнее, если преобразование описывается не взаимно-однозначной функцией [2.2]. Примером такой более сложной характеристики с неоднозначной обратной функцией может служить пилообразная характеристика  рис. 2.4, к. Однако, в общем, смысл вероятностных преобразований при этом не изменяется.

Все рассмотренные в данной главе поэлементные преобразования изображений можно рассмотреть с точки зрения изменения плотности вероятности, описываемого выражением (2.4). Очевидно, что ни при одном из них плотность вероятности выходного продукта не будет совпадать с плотностью вероятности исходного изображения (за исключением, конечно, тривиального преобразования ). Нетрудно убедиться, что при линейном контрастировании сохраняется вид плотности вероятности, однако в общем случае, т. е. при произвольных значениях параметров  линейного преобразования, изменяются параметры плотности вероятности преобразованного изображения.

Определение вероятностных характеристик изображений, прошедших нелинейную обработку, является прямой задачей анализа. При решении практических задач обработки изображений может быть поставлена обратная задача: по известному виду плотности вероятности   и  желаемому виду   определить требуемое преобразование  , которому следует подвергнуть исходное изображение. В практике цифровой обработки изображений часто к полезному результату приводит преобразование изображения к равновероятному распределению [2.3]. В этом случае

          (2.5)

где    и  - минимальное и максимальное значения яркости преобразованного изображения. Определим характеристику преобразователя, решающего данную задачу. Пусть   и   связаны функцией (2.2), а    и   - интегральные законы распределения входной и выходной величин. Учитывая  (2.5), находим:

.

Подставляя это выражение в условие вероятностной эквивалентности

=,

после простых преобразований получаем соотношение

,                  (2.6)

представляющее собой характеристику (2.2) в решаемой задаче. Согласно  (2.6) исходное изображение проходит нелинейное преобразование, характеристика которого   определяется интегральным законом распределения самого исходного изображения. После этого результат приводится к заданному динамическому диапазону при помощи операции линейного контрастирования.

Аналогичным образом могут быть получены решения других подобных задач, в которых требуется привести законы распределения изображения к заданному виду. В [2.4] приведена таблица таких преобразований. Одно из них, так называемая гиперболизация распределения, предполагает приведение плотности вероятности преобразованного изображения к гиперболическому виду:

           (2.7)

Если учесть, что при прохождении света через глаз входная яркость логарифмируется его сетчаткой, то итоговая плотность вероятности оказывается равномерной. Таким образом, отличие от предыдущего примера заключается в учете физиологических свойств зрения. Можно показать, что изображение с плотностью вероятности  (2.7) получается на выходе нелинейного элемента с характеристикой

                      (2.8)

также определяемой интегральным законом распределения исходного изображения.

Таким образом, преобразование плотности вероятности предполагает знание  интегрального распределения для исходного изображения. Как правило, достоверные сведения о нем отсутствуют. Использование для рассматриваемых целей аналитических аппроксимаций также малопригодно, т.к. их небольшие отклонения от истинных распределений могут приводить к существенному отличию результатов от требуемых. Поэтому в практике обработки изображений преобразование распределений выполняют в два этапа.

На первом этапе измеряется гистограмма исходного изображения. Для цифрового изображения, шкала яркостей которого, например, принадлежит целочисленному диапазону 0...255, гистограмма представляет собой таблицу из 256 чисел. Каждое из них показывает количество точек в кадре, имеющих данную яркость. Разделив все числа этой таблицы на общий размер выборки, равный числу используемых точек изображения, получают оценку распределения вероятностей яркости изображения. Обозначим эту оценку   . Тогда оценка интегрального распределения получается по формуле:

.                                               

На втором этапе выполняется само нелинейное преобразование (2.2), обеспечивающее необходимые свойства выходного изображения. При этом вместо неизвестного истинного интегрального распределения используется его оценка, основанная на гистограмме.  С учетом этого все методы поэлементного преобразования изображений, целью которых является видоизменение законов распределения, получили название гистограммных методов. В частности, преобразование, при котором выходное изображение имеет равномерное распределение, называется эквализацией (выравниванием) гистограмм.

Отметим, что процедуры преобразования гистограмм могут применяться как к изображению в целом, так и к отдельным его фрагментам. Последнее может быть полезным при обработке нестационарных изображений, содержание которых существенно различается по своим характеристикам на различных участках. В этом случае лучшего эффекта можно добиться, применяя гистограммную обработку к отдельным участкам.

Использование соотношений  (2.4)-(2.8) , справедливых для изображений с непрерывным распределением яркости, является не вполне корректным для цифровых изображений. Необходимо иметь в виду, что в результате обработки не удается получить идеальное распределение вероятностей выходного изображения, поэтому полезно проводить контроль его гистограммы.

На рис.2.9 приведен пример эквализации, выполненной в соответствии с изложенной методикой. Характерной чертой многих изображений, получаемых в реальных изображающих системах, является значительный удельный вес темных участков и сравнительно малое число участков с высокой яркостью. Эквализация призвана откорректировать картину, выровняв интегральные площади участков с различными яркостями. Сравнение исходного (рис.2.9.а) и обработанного (рис.2.9.б) изображений показывает, что происходящее при обработке перераспределение яркостей приводит к улучшению визуального восприятия.