3.4.1. Двумерное дискретное преобразование Фурье

Обозначим через

                   (3.20)

двумерное поле (двумерный сигнал), описывающее дискретное изображение размера  строк  и   столбцов. Вне указанных границ этот сигнал не определен. Выполним периодическое продолжение данного финитного сигнала, введя двумерный периодический сигнал

.                 (3.21)

Если сигнал   существует только внутри прямоугольника  со сторонами элементов (рис. 3.4.а), то сигнал   определен на всей плоскости  и является на ней прямоугольно-периодическим (рис. 3.4.б).

Любой периодический сигнал может быть представлен в виде ряда Фурье, но, в отличие от одномерных сигналов, двумерные описываются двумерным рядом Фурье, имеющим вид:

.  (3.22)

Базисные функции этого двумерного представления - двумерные комплексные экспоненты (иногда называемые комплексными синусоидами)

                   (3.23)

имеющие, как и сигнал , прямоугольную периодичность с тем же периодом  . Здесь  (,) - двумерный номер базисной функции, а величины   имеют смысл пространственных частот. Иногда пространственными частотами называют целочисленные величины  и .

Коэффициенты Фурье ряда  (3.22) образуют двумерный частотный спектр сигнала   и определяются формулой прямого преобразования Фурье:

               (3.24)

Выражение (3.22), восстанавливающее сигнал  по его спектру , является обратным преобразованием Фурье. В справедливости преобразований  (3.22) и (3.24), называемых двумерным ДПФ, можно убедиться, подставив (3.24) в (3.22) и приведя правую часть полученного равенства к значению левой, т.е. к  .

Заметим, что для точного представления дискретного сигнала  с двумерным периодом   элементов согласно формулам БПФ достаточно конечного  числа базисных функций (3.23) - ряд (3.22) является конечным. Это и понятно, поскольку сам представляемый сигнал содержит в одном периоде конечное число точек, т.е. имеет конечное число степеней свободы. Ясно, что число степеней свободы в спектре не может отличаться от числа степеней свободы в самом сигнале.

Остановимся на наиболее существенных свойствах двумерного дискретного спектра Фурье. Вычислим спектральные коэффициенты (3.24) в частотных точках  :

               (3.25)

Поскольку при любых целых значениях   и  последний множитель в полученном выражении равен единице, то отсюда имеем равенство:

,

означающее прямоугольную периодичность двумерного ДПФ. Следовательно, картина двумерного ДПФ подобна картине двумерного периодически продолженного сигнала, качественно показанной на рис. 3.4.б (если на ней пространственные координаты   заменить частотными  ). Однако необходимо иметь в виду, что спектральные коэффициенты , как это следует из (3.24), являются комплексными числами, в том числе и при вещественном сигнале  . Но тогда возникает вопрос. Общее количество спектральных компонент, как установлено, равно . Комплексное число эквивалентно паре вещественных чисел - действительной и мнимой частям при алгебраическом или модулю и фазе при экспоненциальном представлении. Следовательно, полный спектр описывается   вещественными числами, что вдвое превышает размерность самого сигнала  . В этом, на первый взгляд, содержится противоречие. Оно находит свое разъяснение при дальнейшем изучении свойств двумерного ДПФ.

Преобразуем соотношение (3.25) следующим образом. Во-первых, вместо частот   подставим частоты  . Во-вторых, выполним комплексное сопряжение обеих частей, что не нарушит равенства. В результате нетрудно получить выражение:

,

которым устанавливается однозначная связь между спектральными коэффициентами в двух различных точках спектрального прямоугольника  . Полученным соотношением и снимается противоречие, поскольку количество независимых спектральных коэффициентов уменьшается благодаря данной спектральной симметрии в два раза. Согласно установленному свойству, спектрально-сопряженной зависимостью связаны между собой спектральные коэффициенты, принадлежащие левому верхнему и правому нижнему углам прямоугольника  . Аналогично также связаны между собой коэффициенты Фурье из правого верхнего и левого нижнего участков спектрального прямоугольника .

В заключение данного пункта укажем, что при практическом применении двумерного ДПФ - как прямого, так и обратного, совсем не требуется оперировать периодическими сигналами и спектрами, как это предполагается, казалось бы, преобразованиями (3.22) и (3.24). От этой необходимости избавляют сами соотношения (3.22) и  (3.24). В самом деле, прямое преобразование Фурье (3.24) содержит в правой части значения периодически продолженного сигнала  лишь в пределах одного “главного” прямоугольника . Но в этих пределах исходный   и периодически продолженный  сигналы полностью совпадают, что дает возможность использовать в формуле  (3.24) исходный сигнал . Аналогичные пояснения можно сделать и относительно обратного преобразования (3.22), откуда следует, что практически в процессе вычислений оперировать следует “основным” участком спектра, относящимся к спектральной  области  .

Из сделанных пояснений, имеющих лишь исключительно вычислительное значение, не следует делать вывода об искусственности и ненужности рассмотренных математических моделей периодических полей. При обработке изображений возникают многочисленные задачи, правильное толкование и решение которых возможно только на основе этих математических интерпретаций. Одной из таких важнейших задач является цифровая двумерная фильтрация в спектральной области, осуществление которой связано с выполнением так называемой циклической свертки.