12.7. Итерационные алгоритмы восстановления томограмм

Для решения задачи восстановления томограмм по проекциям могут быть использованы итерационные алгоритмы, рассмотренные в главе 4.

Напомним, что итерационные алгоритмы обладают следующими существенными достоинствами:

1) при их построении не требуется определять обратный оператор;

2) достаточно просто синтезируются нелинейные итерационные алгоритмы, учитывающие априорную информацию о восстанавливаемом изображении;

3) при реализации этих методов возможна работа в интерактивном режиме, позволяющая сделать компромиссный выбор между качеством восстановления и временем обработки.

Прежде чем рассмотреть итерационные методы восстановления томограмм, найдем связь между томограммой  и суммарным изображением . Двумерное обратное преобразование Фурье в полярных координатах определяется соотношением (12.28), которое для удобства приведем здесь повторно

   (12.31)

С другой стороны, суммарное изображение характеризуется соотношением (12.22), которое с учетом (12.17) и (12.23) имеет вид

    (12.32)

Сравнивая (12.31) и (12.32), получаем выражение, определяющее связь между двумерными фурье-образами суммарного изображения  и томограммой :

,

которое, в декартовых координатах имеет вид

,                 (12.33)

где .

Из (12.33) следует, что суммарное изображение представляет собой результат низкочастотной фильтрации томограммы, так как фильтр  ослабляет верхние частоты. Поэтому суммарное изображение получается расфокусированным (или нечетким, см. рис. 12.9 и 12.16). Коэффициент передачи инверсного фильтра для восстановления томограммы по суммарному изображению имеет вид

.                       (12.34)

Таким образом, возможен еще один алгоритм для восстановления томограмм:

1) по проекциям вычисляем суммарное изображение  в соответствии с формулой (12.15);

2) выполняем инверсную фильтрацию в частотной или в пространственной области

,

где  - импульсная характеристика инверсного фильтра.

Соотношение (12.34) справедливо для бесконечного числа проекций. На практике его можно использовать, если число проекций превышает несколько десятков. При небольшом числе проекций инверсный фильтр может быть найден на основании методики определения коэффициента передачи  для дискретных данных, которая рассмотрена, например, в работе [12.2]. На рис. 12.18 приведены результаты инверсной фильтрации суммарных изображений «Томограмма» (рис. 12.18, а) и «Фантом» (рис. 12.18, б).

Рис. 12.18. Результаты восстановления томограмм инверсным фильтром по 45 проекциям

Поскольку суммарное изображение является расфокусированным изображением томограммы, для ее восстановления могут быть использованы итерационные алгоритмы, рассмотренные, например, в главе 4.

Линейный алгоритм Ван Циттерта для восстановления томограмм имеет вид

;                                         (12.35)

,

где  - импульсная характеристика фильтра, формирующего суммарное изображение из томограммы;  - коэффициент, определяющий сходимость итерационного алгоритма и влияющий на ее скорость.

Рис. 12.19. Результаты восстановления томограмм линейным и нелинейным итерационными алгоритмами

Аналогичным образом задается нелинейный итерационный алгоритм, учитывающий априорные данные о восстанавливаемом изображении:

              (12.35')

где

- операторы пространственного ограничения и ограничения на неотрицательность томограммы.

На рис. 12.19 приведены результаты восстановления изображений «Томограмма» и «Фантом» линейным (рис. 12.19, а и в) и нелинейным (рис. 12.19, б и г) итерационными алгоритмами по 45 проекциям при  и для ста итераций. Очевидно, что применение нелинейного алгоритма позволяет повысить качество восстановления томограммы, особенно на краях.

Следует напомнить, что общим недостатком итерационных алгоритмов является их низкая вычислительная эффективность, обусловленная итеративным характером вычислений. Однако ряд итерационных алгоритмов нашел применение в компьютерной томографии. К сожалению, отсутствуют формальные подходы, позволяющие определить целесообразность использования именно итерационных алгоритмов. Вопросы о том, когда их следует использовать и сколько итераций необходимо выполнить, решаются в каждом конкретном случае исходя из практического опыта.