4.4. Итерационные методы восстановления изображений

Итерационными методами называют способы решения задач, в которых, выбирая некоторое начальное приближенное решение, вычисляют следующие, более точные приближения, используя предыдущие.

Рассмотрим один из способов построения итерационных процедур, основанный на разложении в ряд частотной характеристики инверсного фильтра [4.6]. Спектр оценки исходного изображения при инверсной фильтрации определяется соотношением

.                  (4.33)

Представим передаточную функцию инверсного фильтра  в виде геометрической прогрессии:

.              (4.34)

Подставляя (4.34) в (4.33), получим

          (4.35)

Соотношение (4.35) позволяет представить процедуру нахождения оценки  в виде последовательных приближений:

                        (4.36)

где каждое последующее приближение вычисляется по предыдущему. Взяв преобразование Фурье от соотношений (4.36), получим итерационную процедуру Ван Циттера [4.11]:

           (4.37)

которую можно интерпретировать как процедуру последовательного нахождения поправок  к искаженному изображению . Если в результате последовательных приближений на  -м шаге будет найдено точное решение :  то на последующих шагах, как нетрудно убедиться, оценка изменяться не будет. В итерационном алгоритме (4.37) нахождение обратного оператора заменяется на многократное вычисление свертки.

При использовании итерационных  алгоритмов необходимо знать ответы на два вопроса - сходится ли он  и, если сходится, то к какому решению. Сходимость алгоритма (4.37) к решению (4.33) определяется сходимостью ряда бесконечной геометрической прогрессии (4.34). Этот ряд сходится при , т.е. когда передаточная функция искажающей системы удовлетворяет условию

 .                    (4.38)

Условие (4.38) выполняется для гауссовской ФРТ.  При цилиндрической ФРТ и равномерном смазе соотношение (4.33) заменяют на эквивалентное соотношение

.

Тогда итерационный алгоритм  (4.37) имеет вид [4.6]

         (4.39)

где  и  - импульсные характеристики фильтров с передаточными функциями   и   соответственно. Свертка в (4.37) и (4.39) может быть выполнена с помощь БПФ в предположении, что изображения и импульсные характеристики являются периодически продолженными.

Очевидно, что рассмотренный итерационный алгоритм является линейным и не имеет никаких преимуществ по сравнению с линейными алгоритмами. Однако этот метод позволяет эффективно бороться с краевыми эффектами и чрезмерным усилением шумов при восстановлении изображений. Итеративный процесс всегда можно остановить, если шум  и осциллирующая помеха на изображении резко усиливаются. Остановка итеративного процесса означает усечение ряда (4.34), что приводит к ограничению коэффициента усиления за пределами некоторой граничной частоты. С увеличением длины ряда возрастают граничная частота и коэффициент усиления фильтра. Этот эффект иллюстрируется рис. 4.28, где приведены одномерные сечения частотных характеристик фильтров при 10-ти и 15-ти слагаемых в ряде (4.34) (сплошные линии). Здесь же для сравнения приведено одномерное сечение частотной характеристики инверсного фильтра (штриховая линия).

Рис. 4.28. Частотные характеристики итерационного фильтра на разных шагах

На рис 4.29  приведены результаты восстановления изображения «Часы», где а и б - повторно приведенные исходное (рис.4.22.а) и искаженное в результате смаза (рис 4.22.б) изображения; в - восстановленное изображение итерационным алгоритмом (4.37) (число итераций ); г - результат восстановления по экстраполированному наблюдаемому изображению 4.26.а ( число итераций ). В качестве критерия остановки итеративного процесса использовался критерий минимума нормированной среднеквадратической ошибки оценивания:

,   (4.40)

где кадр  размером элементов расположен в центре кадра  наблюдаемого изображения. Для рис 4.29.в  , а для рис.4.29.г . Таким образом, итерационный алгоритм практически полностью компенсирует краевые эффекты. Кроме того, применение экстраполяции позволяет снизить среднеквадратическую ошибку оценивания почти в 2 раза.

Наряду с описанными выше свойствами итерационные алгоритмы могут быть легко преобразованы в нелинейные путем введения нелинейных ограничений для восстанавливаемого изображения [4.6, 4.11]. Ограничения формулируются на основе априорных данных о форме или структуре объектов на исходном изображении. К априорным данным относятся такие свойства изображения, как неотрицательность яркости, ее верхний и нижний пределы, минимальная мощность сигнала, ограниченная пространственная и спектральная протяженность  и. т.п.

Даже учет такого простейшего ограничения как верхний и нижний пределы значений яркости приводит к значительному улучшению качества восстановления, т.к. среди всех возможных решений выбирается то, которое не имеет сильных осциляций яркости.

Итерационный алгоритм, например (4.39), с ограничением имеет вид

      (4.41)

,

где  оператор ограничения.

Например, если используется оператор ограничения на неотрицательность  , то из  (4.41) следует, что в тех областях, где яркость оценки  меньше нуля, изменение оценки не происходит. Нелинейный итерационный алгоритм (4.41) будет сходится, если сходится линейный алгоритм (4.39)  и оператор  является нерасширяющимся оператором. Для пространства сигналов  это означает, что действие оператора на изображение не должно приводить к увеличению его энергии. Очевидно, что к нерасширяющимся операторам относится оператор ограничения на неотрицательность, а также оператор ограничения диапазона, который определяется следующим соотношением

                      (4.42)

Для большинства цифровых изображений диапазон изменения яркости равен . Использование нелинейного алгоритма с ограничением диапазона для восстановления изображения «Часы» (рис. 4.29.б) обеспечивает уменьшение среднеквадратической ошибки до 4%. Особенно эффективен этот алгоритм при восстановлении изображений  с распределением яркости, близким к бинарному. На рис.4.30 приведены результаты восстановления изображения «Текст», где а - исходное изображение размером  эл.;  б - часть исходного изображения, попадающая в кадра  размером   эл.; в - наблюдаемое изображение размером  эл., полученное в результате   смаза исходного изображения (, ) ; г - экстраполированное  изображение  размером      эл.; д   и   е   - изображения,  восстановленные по экстраполированному изображению итерационным линейным алгоритмом () и итерационным алгоритмом с ограничением диапазона яркости (). Ошибка вычислялась по кадру   размером  эл. На рис.4.30 размеры изображений увеличены в полтора раза.

Таким образом, использование априорных данных о диапазоне изменения яркости позволило уменьшить среднеквадратическую ошибку почти в 2.5 раза. Экстраполяция обеспечила восстановление изображения в пределах кадра исходного изображения, размеры которого больше размеров кадра  наблюдаемого изображения.