6.3. Стереоскопическая система

Рассмотрим ситуацию, когда две камеры, находящиеся в разных точках,  регистрируют одну и ту же  сцену. Пара изображений, получаемых при этом, называется стереопарой. Обратимся сначала к простейшему случаю. Пусть одинаковые камеры расположены так, что их оптические оси параллельны, а прямая, проходящая через оптические центры, перпендикулярна оптическим осям (эта прямая называется базовой линией, а ее отрезок, заключенный между оптическими центрами – базой).  Положим длину базы равной . Выберем такую глобальную систему координат, начало которой   расположено на базовой линии посередине между оптическими центрами камер, ось  параллельна оптическим осям, а ось  направлена вдоль базовой линии (рис. 6.3). Пусть начала координат в плоскостях изображений камер совпадают с главными точками (), а единицы измерения координат в глобальной системе и в плоскостях изображения камер одинаковы ().

Выберем точку  с глобальными координатами . Координаты ее проекции в плоскости изображения первой (левой) камеры обозначим через , а в плоскости изображения второй (правой) камеры – через . (Проекции одной и той же точки  в плоскостях изображений разных камер называются сопряженными точками.) Нетрудно проверить, что

,  , .

Заметим, что в направлении, перпендикулярном направлению базовой линии, координаты сопряженных точек (-координаты) совпадают. Это обстоятельство имеет большое значение при автоматизированном поиске сопряженных точек на стереопаре, позволяя существенно сократить размеры зоны поиска. Из первых двух соотношений следует, что

.                                             (6.6)

Рис.6.3. Простейшая стереоскопическая система

Это означает, что, зная геометрию съемки и выполнив измерения координат проекций одной и той же точки в плоскостях изображения камер, можно вычислить глубину (координату ) этой точки. Более того, полученные соотношения позволяют вычислить полностью трехмерные координаты точки:

, .                     (6.7)

Разность  называется диспарантностью.  Из (6.6) и (6.7)  следует, что ошибки в координатах проекций сильнее сказываются при малой диспарантности и, следовательно, расстояния до далеких объектов измеряются менее точно, чем до близких. С другой стороны, при фиксированной дальности диспарантность пропорциональна размеру базы, следовательно, точность измерений повышается с увеличением базы. Далее мы, однако, увидим, что увеличение базы может привести к ошибкам, которые не компенсируются увеличением точности измерений.

Теперь рассмотрим общий случай, когда оптические оси камер не параллельны, и направление смещения оптического центра одной камеры относительно оптического центра другой произвольно (рис.6.4). Введем для каждой камеры свою стандартную систему координат, так как это было сделано в разделе 6.1. Пусть  первой камере соответствует система координат , а второй –  (рис. 6.4). Пусть вектор  характеризует координаты некоторой точки  трехмерного пространства в системе первой камеры, а вектор  - в системе второй. Переход от глобальной системы координат к стандартным системам первой и второй камер осуществляется с помощью преобразований  и  соответственно. Учитывая это, легко показать, что связь между векторами  и  задается соотношением

,                                     (6.8)

где  - ортогональная матрица, описывающая ориентацию системы координат второй камеры относительно первой, а - вектор трансляции, определяющий положение оптического центра второй камеры в системе координат первой. Матрицу  и вектор  принято называть внешними параметрами системы регистрации.

Рис.6.4. Система двух произвольно ориентированных камер

Используя (6.2) из (6.8) можно получить соотношение, связывающее координаты сопряженных точек (в координатах фотоприемника):

,                              (6.9)

где(см. (6.2))

,  .                     (6.10)

(Предполагается, что регистрация может выполняться двумя различными камерами, внутренние параметры которых определяются матрицами  и ).

Уравнения (6.8) и (6.2) позволяют оценить трехмерные координаты точки  в системе координат любой из камер, если известны внешние параметры системы камер и удается измерить координаты изображений этой точки в плоскостях изображения камер (т.е. оценить векторы  и ). Поскольку компоненты векторов  и  могут содержать ошибки, реально соотношение (6.9) принимает вид:

,

где  - вектор невязки, обусловленный наличием ошибок измерений.

Учитывая это, для оценивания неизвестных  и  можно воспользоваться методом наименьших квадратов (МНК), суть которого состоит в том, чтобы найти такие оценки  и , которые бы минимизировали сумму квадратов компонент (норму) вектора невязки: . Приравнивая частные производные  по  и  нулю (условие достижения экстремума) получим систему, состоящую из двух скалярных уравнений

,

разрешая которую относительно  и  получим

.      (6.11)

Теперь, используя (6.2), можно вычислить вектор трехмерных координат точки  в системе любой из камер:

,    .    (6.12)

Из всего изложенного выше следует, что для оценивания трехмерных координат некоторой точки по стереопаре необходимо: а) знать внутренние параметры камер (задача калибровки), б) знать параметры взаимного расположения камер (задача взаимного ориентирования), в) найти и  определить на изображениях координаты соответствующих данной точке сопряженных точек (задача поиска сопряженных точек).