8.2.2. Ранговое обнаружение ЛКП

Для обнаружения ЛКП воспользуемся двухвыборочным алгоритмом Вилкоксона [8.4]. При этом формируем две выборки, одна из которых является опорной и принадлежит области фона, другая - рабочая. В нее включаем элементы изображения, относительно которых решается вопрос о принадлежности к контурным точкам. При этом входящие в  элементы могут быть как точками фона, так и контурными точками изображения. Способы получения этих выборок могут быть различными. Необходимо лишь обеспечивать их независимость, а при формировании рабочей выборки руководствоваться, кроме того, видом геометрической структуры яркостного перепада после его преобразования декоррелирующим оператором. Другими словами, в состав вектора  следует включать те элементы преобразованного изображения, которые соответствуют ожидаемому положению положительных и отрицательных сигнальных выбросов.

Рассмотрим сначала построение рангового обнаружителя в более простых условиях, когда все сигнальные импульсы имеют положительную полярность. Для каждого элемента  рабочего вектора  и всех элементов опорной выборки  составляем вариационный ряд, в котором входящие в него величины располагаются в порядке возрастания. Номер , определяющий число опорных элементов, предшествующих рабочему элементу  в этом ряде, называется его рангом. Далее определяем ранговую статистику

,                                    (8.23)

сравнение которой с порогом  приводит к решению о наличии или отсутствии ЛКП согласно правилу:

            (8.24)

При фактическом отсутствии ЛКП элементы обоих векторов  и образуют однородное множество случайных величин, подчиняющихся одному и тому же закону распределения . В этом случае элемент рабочей выборки  с равными шансами занимает любое положение в вариационном ряду, а это означает, что случайная величина   подчиняется равновероятному закону распределения:

.

Подчеркнем, что условием равновероятности является независимость и однородность выборки. Что особенно важно, на данное распределение не оказывает влияния конкретный вид распределения декоррелированного фона .

Но тогда и закон распределения  решающей статистики  при фактическом отсутствии в  яркостного перепада не зависит от распределения фона . Следовательно, от   не зависит и вероятность ложного обнаружения ЛКП, которому соответствует верхнее условие в процедуре (8.24). Для практического применения особенно важно, что и выбор порога ранговой процедуры , который подчиняют требованию получения желаемой величины вероятности ложного обнаружения, также не связан с распределением фона .

Таким образом, применение рангового алгоритма автоматически стабилизирует вероятность ложного обнаружения, делая ее независимой от вида (и тем более от параметров) закона распределения фона. Подчеркнем, что это свойство достигается только при условии, что все случайные величины, образующие выборки  и , независимы, поскольку в противном случае в закон распределения  будут входить параметры, описывающие зависимость элементов.

При наличии полезного сигнала элементы вектора  статистически превышают элементы , поэтому закон распределения ранга  перестает быть равномерным: вероятности больших значений  увеличиваются за счет уменьшения вероятностей малых значений. Эта тенденция проявляется тем сильнее, чем больше величина яркостного перепада . Тем больше становится и вероятность выполнения верхнего неравенства в (8.24), которая теперь является вероятностью правильного обнаружения.

Для расчета характеристик обнаружения необходимо иметь закон распределения решающей статистики  как при отсутствии, так и при наличии яркостного перепада. При достаточно больших значениях  и  распределение  в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей стремится к гауссовскому, полностью определяемому своими математическим ожиданием и дисперсией. Реально гауссовским приближением можно пользоваться при  и  [8.4]. Однако даже нахождение моментов распределения  удается выполнить только при отсутствии полезного сигнала. Вместе с тем именно это является наиболее важным, поскольку знание  при отсутствии сигнала дает возможность определения порога  по заданному значению вероятности ложного обнаружения . В работе [8.4] показано, что с учетом гауссовского приближения порог находится по формуле

,                         (8.25)

где  - процентная точка гауссовского распределения, соответствующая вероятности . Как и следовало ожидать, величина порога зависит только от объемов рабочей и опорной выборок и вероятности ложного обнаружения.

Вернемся теперь к обнаружению ЛКП с учетом биполярного характера полезного сигнала, возникающего после воздействия на него процедуры декорреляции. Отрицательные значения половины всех сигнальных выбросов не будут способствовать отмеченному выше перераспределению вероятностей  для этих элементов. Более того, вероятности больших значений ранга будут, наоборот, уменьшаться за счет роста вероятностей малых значений. Таким образом, для сигнальных элементов, содержащих отрицательные выбросы, наблюдается тенденция, противоположная той, которая имеет место для положительных выбросов и на которой основано действие обнаружителя. Для исключения этого явления необходимо перед процедурой ранжирования ожидаемые элементы сигнала с отрицательными значениями умножать на коэффициент -1. Очевидно, это снимает отмеченный недостаток описанной процедуры. Вместе с тем при определенных условиях не возникает каких-либо проблем в работе обнаружителя при отсутствии в рабочей выборке  полезного сигнала, т.е. обеспечивается стабильность вероятности ложного обнаружения при выборе порога в соответствии с (8.25). Условие, при котором сохраняется непараметрическое свойство обнаружителя, состоит в симметрии плотности распределения  фона. Действительно, в этом случае умножение некоторых элементов выборки на -1 не изменяет ее однородности.

Представление об эффективности обнаружителя ЛКП дают характеристики обнаружения. Как и в радиолокации — это зависимости вероятности правильного обнаружения ЛКП  от относительной величины яркостного перепада , где  — дисперсия исходного (коррелированного) фона. Пример характеристик обнаружения приведен на рис. 8.4. В качестве параметра в каждое из семейств входит вероятность ложного обнаружения ЛКП .

Рис. 8.4. Характеристики рангового обнаружения яркостных перепадов: а - диагональное расположение ЛКП; б - расположение ЛКП вдоль строк или столбцов

Как уже говорилось, вероятность ложного обнаружения определяется расчетным путем в гауссовском приближении для распределения ранговой статистики . Определение же моментов этого распределения при наличии ЛКП представляет сложную задачу. Трудность связана с тем, что в этом случае выборка, участвующая в процедуре, не является однородной, поскольку в нее входят как опорные, так и рабочие элементы. Поэтому для нахождения вероятности правильного обнаружения  приходится использовать метод статистического моделирования. При  нахождении приведенных на рис. 8.4 характеристик обнаружения выполнялось моделирование яркостного перепада, наблюдавшегося на гауссовском фоне с изотропной корреляционной функцией вида (8.22) при коэффициенте одношаговой корреляции. Объем выборки для нахождения каждого значения составлял 500. Несколько изрезанный характер зависимостей является признаком их статистической природы и не вполне достаточного объема статистического эксперимента.

Приведенные зависимости соответствуют двум ориентациям яркостного перепада – вдоль диагоналей (рис. 8.4, а) и вдоль координатных направлений (рис. 8.4, б). Из их сравнения видно, что эффективность обнаружения диагональных перепадов заметно выше, чем расположенных вдоль строк или столбцов. Дело в том, что оператор декорреляции по разному воздействует на яркостные перепады, имеющие различное расположение относительно координатных осей. Это, конечно, его недостаток, объясняемый не вполне изотропным характером его механизма. К сожалению, в настоящее время не найдены декоррелирующие операторы, обладающие полностью изотропными характеристиками.

Результаты эксперимента, иллюстрирующего ранговое обнаружение ЛКП, показаны на рис. 8.5. Здесь использована модель объекта в виде квадрата, средняя яркость  которого выше, чем средняя яркость фона . Флюктуации фона моделировались гауссовским полем, имеющим корреляционную функцию (8.22) с коэффициентом одношаговой корреляции  и дисперсией . Нетрудно убедиться, что при этом .

На рис. 8.5, б и 8.5, в приведена исходная картина, на которую в виде белых точек нанесены результаты срабатывания рангового обнаружителя при двух значениях вероятности ложного обнаружения. Видно, что снижение вероятности ложного срабатывания приводит к пропорциональному уменьшению числа ложно отмеченных белых точек. Более детальный анализ результатов эксперимента показывает, что количество ложных отметок соответствует теоретически ожидаемому значению этой величины.

Вторая серия экспериментов, представленная на рис. 8.6, позволяет сравнить выделение контурных линий оператором Превитта и ранговым обнаружителем. Исходная картина, показанная на рис. 8.6, а, как и в предыдущем эксперименте, содержит изображение объекта в виде светлого квадрата, наблюдаемого на гауссовском коррелированном изотропном фоне.

Рис .8.5. Ранговое обнаружение ЛКП: а - исходное изображение: б — результат обнаружения; при; в результат обнаружения при

Особенность же этой картины состоит в наличии сильного модулирующего пятна, действие которого поражает и область расположения объекта. На рис. 8.6, б приведен бинаризованный результат действия оператора Превитта. Порог бинаризации подбирался таким образом, чтобы при относительно неплохой передаче контура объекта (для этого порог должен быть не слишком высоким) количество ложных срабатываний было не очень большим (это, наоборот, требует повышения порога). Результат действия рангового оператора обнаружения представлен на рис. 8.6, в при вероятности ложного срабатывания .

Оператор Превитта требует специального участия наблюдателя для подбора порога. При этом не гарантируется заданная степень засорения полученного в результате препарата. Ранговый обнаружитель является полностью автоматическим. Качество выделения объекта во втором случае оказывается бесспорно более высоким, обнаружитель проявляет способность "заглянуть" под модулирующее пятно.

Рис. 8.6. Выделение контуров на неоднородном изображении: а - исходное изображение; б — выделение контура оператором Превитта; в -выделение контура ранговым обнаружителем

Отметим в заключение, что описанный в данном разделе подход к выделению ЛКП не следует рассматривать как завершенный безукоризненный вариант контурной обработки изображений. В большей степени он иллюстрирует необходимость и целесообразность применения к решению данной задачи методов, известных из смежных наук.