12.3. Алгоритм обратного проецирования

Простейшим алгоритмом реконструкции изображений в компьютерной томографии является алгоритм обратного проецирования, в соответствии с которым оценка плотности вычисляется следующим образом. Проекция  функции двух переменных  для каждого значения угла  представляет собой одномерную функцию. Ее можно преобразовать в двумерную (рис. 12.6), зафиксировав угол  и растянув (выполнив обратное проецирование) по всей плоскости  в соответствии с выражением

.                          (12.14)

Рис. 12.6. «Растянутые» проекции функции (12.13) при  (a) и  (б)

Очевидно, что сечение двумерной функции  плоскостью, перпендикулярной плоскости  и проекция которой на плоскость  с осью  составляет угол , равно . Далее складываем все обратные проекции  для . В результате получим суммарное изображение, которое используется в качестве оценки функции плотности . Суммарное изображение определяется соотношением

.                    (12.15)

При восстановлении томограмм методом обратного проецирования по дискретным проекционным данным необходимо использовать интерполяцию, так как линия, вдоль которой необходимо вычислить интеграл (12.15), чтобы найти оценку  для дискретных значений координат , определяется уравнением (12.12)

 Рис. 12.7. Линия, вдоль которой вычисляется интеграл

На рис. 12.7 показаны эта линия и прямоугольная сетка, в узлах которой известны проекционные данные, полученные с помощью равномерно распределенных параллельных лучей. Очевидно, что линия, вдоль которой вычисляется интеграл, не проходит через узлы сетки. Обычно используют метод интерполяции по ближайшему значению, при этом интеграл (12.15) заменяется на сумму

,                      (12.16)

где  выбирается из условия минимума значения выражения . Выражение под знаком абсолютной величины является дискретным аналогом уравнения прямой (12.1).

Операция обратного проецирования имеет простую геометрическую интерпретацию. На рис. 12.8, а показана схема получения трех проекций под углами  по двумерному изображению , которое описывается функцией (12.13). Полученные проекции  растягиваем в соответствии с (12.14) и суммируем. Результат реконструкции функции  по трем проекциям показан на рис. 12.8, б. Откуда видно, что, несмотря на искажения в виде полос, изображение, восстановленное лишь по трем проекциям, имеет много общего с функцией . Полосы являются результатом «растягивания» проекций. По их направлениям можно оценить углы проекций. При обратном проецировании каждая точка на изображении превращается в многолучевую звезду, число лучей которой равно удвоенному числу проекций. С увеличением числа проекций эти лучи будут сливаться и восстанавливаемое изображение все больше будет похоже на функцию , однако оно с ней никогда не совпадет

Рис. 12.8. Схема восстановления томограммы по алгоритму обратного проецирования: а - получение проекций; б - суммирование обратных проекций

Рис. 12.9. Пример восстановления томографического изображения методом обратного проецирования: а - эталонное изображение ; б - проекциив...д - результаты восстановления алгоритмом обратного проецирования по 15. 45 и 180 проекциям(см. также с. 319).

Рис. 12.9. Окончание

На рис. 12.9, в...д показаны результаты применения алгоритма обратного проецирования для восстановления изображения «Фантом» (рис. 12.9, а) по 15, 45 и 180 равноотстоящим по углу  проекциям. Изображения типа «Фантом» обычно используются для тестирования различных алгоритмов восстановления. Изображение радоновского образа для 180 проекций приведено на рис. 12.9, б. Число лучей равно 128. Полосы на восстановленных томограммах уже не заметны, и практически все детали рис. 12.9, а можно рассмотреть. Качество восстановления значительно улучшается при увеличении числа проекций с 15 до 45. Томограмма, восстановленная по 180 проекциям, практически не отличается от томограммы, восстановленной по 45 проекциям. Однако четкость изображения остается неудовлетворительной. Использование только алгоритма обратного проецирования для восстановления, очевидно, должно приводить к размыванию изображения, так как этот алгоритм по сути является дискретным аналогом метода классической томографии. Значение , так же как и в классической томографии, вычисляется путем сложения проекций, проходящих через как бы «неподвижную» точку . Как будет показано ниже, суммарное изображение  представляет собой результат низкочастотной фильтрации исходного изображения .

Таким образом, идея алгоритма обратного проецирования состоит в том, что оценку плотности  в любой точке с координатами  находят путем суммирования лучей, проходящих через эту точку.

Можно сделать следующие выводы.

1. Метод компьютерной томографии всегда состоит из двух этапов. На первом - формируются проекционные данные (радоновский образ). На втором — с помощью некоторого алгоритма по полученной информации восстанавливается изображение поперечного сечения исследуемого объекта.

2. Между проекционными данными  и восстанавливаемым изображением  существует однозначная связь, определяемая интегральным уравнением (12.6) или (12.8). Поэтому для нахождения алгоритма восстановления томограммы  по  необходимо найти решение интегрального уравнения. Изображения, полученные методом обратного проецирования, имеют низкую четкость, так как не являются этим решением.

3. Полученные проекционные данные представляют собой дискретное изображение , значения отсчетов которого равны интегралам (12.6) или (12.8). Дискретность изображения  по параметрам  и  обусловлена технической реализацией томографов. Конечное число интегралов, очевидно, приведет к погрешностям восстановления томограммы.