ГЛАВА 10. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОРФОЛОГИЯ И ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ

Одним из сравнительно новых направлений в анализе изображений является применение аппарата математической морфологии. Начало математической морфологии, использующей представления теории множеств и интегральной геометрии, было положено работами французских исследователей Ж. Матерона [10.1] и Дж. Серра [10.2], занимавшихся проблемами минералогии и петрографии. Цель их исследований состояла в количественном описании физических и механических свойств материалов посредством анализа их геометрической структуры. Затем математическая морфология достигла состояния серьезного инструмента обработки изображений с основным применением в материаловедении, исследовании цитологических препаратов, анализе медицинских изображений.

Конечно, объема одной главы совершенно недостаточно для сколь-нибудь последовательного изложения теоретических основ, поэтому она имеет скорее иллюстративный характер. Здесь фрагментарно обсуждаются основные операции математической морфологии и их свойства и приводятся результаты применения этих операций для обработки и анализа изображений (в основном двухградационных).

Следует заметить, что публикации, посвященные как теоретическим вопросам математической морфологии, так и ее приложениям в области обработки изображений, в русскоязычной литературе практически отсутствуют. При написании этого материала у нас возникали трудности с некоторыми русскоязычными названиями морфологических операций, адекватно передающими смысл названий, введенных в оригинальных англоязычных работах [10.2, 10.3], на которых базируется изложение. Обозначения в основном совпадают с принятыми в [10.2, 10.3].

Напомним некоторые основные понятия из теории множеств, которые потребуются в дальнейшем. Пусть  — -мерное пространство. Ниже примем, что  или , где  - -мерное евклидово пространство, a  - -мерное дискретное пространство (-мерная решетка). В применении к изображениям, как правило, рассматриваются двумерные пространства. Если  и  - множества в , то объединением множеств  и  называется множество , (т.е. множество, состоящее из таких элементов , которые принадлежат  или ), а пересечением множеств  и  называется множество . Множество называется дополнением множества . Разностью множеств  и  называется множество. Множество  называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначается такое множество как . Справедливы следующие соотношения:

                                          (10.1)

Определим на  индикаторную функцию множества  следующим образом:

Определим также меру множества :

- для непрерывного пространства  и

- для дискретного пространства .

Для изображений эти определения означают, что мерой множества  является его площадь в непрерывном случае и количество узлов решетки, входящих в множество, — в дискретном.