3.5.2. Марковская фильтрация одномерных последовательностей

Рассмотрим одномерную задачу фильтрации, когда входные данные представлены в виде одномерной последовательности наблюдений:

                    (3.39)

Здесь все обозначения имеют тот же смысл, что и в (3.37) для двумерных сигналов. Для пояснения сути марковской фильтрации рассмотрим простейший вариант задачи: будем считать помеху независимым процессом (т.е.  - последовательность случайных независимых чисел), а сигнал - простой марковской последовательностью. На пояснении последнего остановимся подробнее. Последовательность является марковской, если ее совместное распределение вероятностей может быть представлено в виде:

.                    (3.40)

Данное выражение содержит в правой части одномерное распределение  для нулевого элемента последовательности и цепочку так называемых одношаговых распределений вероятностей перехода , представляющих собой разновидность условных распределений. Соотношение (3.40) описывает свойство ограниченного последействия, проявляемое в том, что условное распределение  элемента  зависит лишь от единственного соседнего элемента  . Последовательность как бы “прошита” цепочкой непосредственных соседних связей. Элементы, удаленные друг от друга более чем на один шаг, непосредственным вероятностным механизмом не связаны. Это, впрочем, совсем не означает их независимости, зависимость проявляется опосредованно, через цепочку прямых связей.

Часто индексы , входящие в (3.40), ассоциируют с дискретным временем, а последовательность  называют случайным процессом. Тогда о соотношении (3.40) говорят, что оно описывает процесс в прямом времени. Известно, что марковский процесс  обладает марковским свойством и в обратном времени, что позволяет записать его распределение вероятностей в виде:

.               (3.41)

В соотношение (3.41) входит распределение последнего элемента и цепочка одношаговых распределений перехода в обратном времени , не совпадающих с .

Марковские процессы обладают разделяющим свойством, позволяющим представить их распределение еще в одной форме, полезной для разработки оптимальных процедур фильтрации. В соответствии с этим свойством любой элемент последовательности  разделяет ее на два условно независимых множества  и , которые при известном значении  условно независимы [3.7], т.е. имеют место равенства:

       (3.42)

Последнее соотношение дает возможность построения некаузального фильтра, формирующего результат фильтрации при помощи очень удобных, экономичных  вычислительных процедур. Это является результатом того, что апостериорное распределение вероятностей для произвольного  элемента последовательности может быть представлено в виде [3.7]:

.                  (3.43)

В правую часть (3.43) входят три частичных АРВ элемента , различающиеся составом входных данных, на которых основаны эти АРВ. Здесь ,  - векторы прошлых и будущих данных соответственно, причем оба содержат текущий элемент . Основанные на них  в отдельности АРВ могли бы послужить основой для образования каузальной и антикаузальной оценок полезного сигнала. В знаменателе стоит одноточечное АРВ, компенсирующее двукратное присутствие текущего наблюдения  в числителе, а коэффициент  подбирается так, чтобы обеспечивалась нормировка к единице получаемого АРВ.

Согласно (3.43) получение оценки складывается из двух этапов. На первом этапе из локальных входных данных формируются локальные АРВ, которые на втором этапе объединяются в окончательное АРВ, используемое далее для получения точечной оценки. Вычислительная сложность этого процесса в значительной степени определяется сложностью формирования локальных АРВ, главным образом находящихся в числителе формулы (3.43), т.к. получение одноточечного АРВ в знаменателе обычно является достаточно простой задачей.

Определение локальных АРВ очень сильно облегчается при использовании марковских свойств последовательностей. Оказывается, что они могут вычисляться при помощи рекуррентных соотношений. Так, например АРВ  вычисляется на основе рекуррентного уравнения в прямом времени:

.            (3.44)

Здесь  - область интегрирования, определяемая областью значений последовательности , а  - нормирующий коэффициент. Для вычисления текущего АРВ  необходимо, согласно (3.44), использовать АРВ , являющееся одним из итогов работы фильтра в предыдущей точке. В удобстве этого выражения для практической реализации и состоит одно из основных преимуществ марковской фильтрации. Наряду с ограниченным объемом вычислений, предписанных (3.44), при работе на каждом шаге не требуется использовать полное множество входных данных, поскольку в выражение (3.44) входит только текущий элемент обработки . Аналогично выглядит и рекуррентное соотношение для локального АРВ  с тем лишь отличием, что оно развивается в обратном времени от конца интервала наблюдения к его началу. Оба рекуррентных соотношения должны быть дополнены граничными условиями, определяющими одноточечные АРВ  и , что, как упоминалось выше, не представляет сложной задачи.

В целом, процедура фильтрации, основанная на приведенных соотношениях, выглядит следующим образом. Сначала выполняется обработка последовательности в прямом времени, в результате чего во всех точках формируется АРВ , затем осуществляется развертка в обратном времени, в ходе которой формируются локальные АРВ . Далее снова осуществляется развертка в прямом (или в обратном) времени, в ходе которой вычисляются одноточечные   и полные  АРВ. Одновременно в каждой точке определяется точечная оценка, например, как координата максимума АРВ. Состав вычислений очень удобен для параллельной реализации. При наличии параллельных вычислительных устройств можно одновременно в различных вычислителях определять различные локальные АРВ и затем в режиме последовательной обработки объединять все локальные результаты. Само это объединение происходит независимо для всех точек последовательности, что позволяет финальную процедуру формирования окончательных точечных оценок выполнять снова параллельно во всех точках.