6.5. Взаимное ориентирование

В предыдущем параграфе показано, как с помощью тестовой сцены не только оценить внутренние параметры камеры, но и определить ее положение относительно системы координат, в которой задана тестовая сцена. Последнее позволяет нам, откалибровав две камеры по одной тестовой сцене, определить их взаимное положение (см. (6.8)). Однако если внутренние параметры камер определены их конструкцией и могут считаться постоянными, то взаимное положение камер во многих практических случаях может изменяться в процессе регистрации сцены. В связи с этим возникает задача взаимного ориентирования, не предполагающая наличия тестовой сцены.

Рассмотрим снова пару камер, внутренние параметры которых известны, но неизвестны внешние параметры (матрица  и вектор ). Умножив обе части выражения (6.8) слева сначала векторно на , а затем скалярно на , получим

.

Это соотношение формально выражает тот факт, что векторы ,  и  лежат в одной плоскости, проходящей через три точки: оптические центры камер  и  и точку наблюдения .  Выражая  через  из (6.10) получим:

                 (6.21)

или, учитывая свойства смешанного произведения векторов,

.              (6.22)

Эквивалентные соотношения (6.21) и (6.22) являются основой для  оценивания матрицы  и вектора . Предположим, что известны координаты  пар сопряженных точек и, соответственно,  пар векторов  и   .

Рассмотрим метод оценивания  и , использующий (6.22). Так как это соотношение справедливо для любой пары сопряженных точек, мы имеем систему из  уравнений относительно неизвестных  и , которую можно представить в виде:

,   где  .              (6.23)

Система (6.23) является однородной линейной по . Это означает, что вектор трасляции можно  оценить  только с точностью до постоянного множителя. Вводя условие нормировки , количество возможных решений можно ограничить двумя, отличающимися знаком. Вопрос о выборе знака будет рассмотрен позже. Система (6.23) содержит пять неизвестных, так как матрица  в силу условий нормировки и ортогональности зависит от трех параметров, а вектор  с учетом введенной нормировки – от двух. Поэтому число уравнений в системе, следовательно и число пар известных сопряженных точек  должно быть не менее пяти.

Поскольку на практике в матрицу  входят не точные значения координат сопряженных точек, а результаты их измерений, которые могут содержать ошибки,  реально система (6.23) имеет ненулевую правую часть, т.е.

,

где , как и в п.6.2, - вектор невязки, обусловленный наличием ошибок измерений.

Согласно МНК в качестве оценок матрицы вращения и вектора трансляции следует выбрать такие  и , которые минимизируют значения функционала . Как упоминалось ранее, при условии  квадратичная форма  достигает минимума  по  ( - минимальное собственное число матрицы ), если  - собственный вектор матрицы, соответствующий . Поэтому процедуру оценивания  и  можно разбить на два этапа. На первом находится матрица , минимизирующая . На втором оценивается собственный вектор матрицы , соответствующий . Существует множество алгоритмов и их программных реализаций для вычисления собственных векторов, поэтому второй этап не вызывает трудностей.

Значительно более сложной задачей является задача оценивания матрицы . Один из возможных алгоритмов состоит в следующем [6.6]. Известно [6.1, п.14.10], что матрица  может быть представлена в виде , где

 ,   ,

.

Углы ,  и   и есть те три неизвестных параметра, от которых зависит матрица . На практике всегда известен диапазон, в котором они  могут лежать. Выполняя в этом диапазоне полный перебор по всем углам с достаточно грубым шагом (например, 1°) можно приблизиться к значениям, удовлетворяющим требованиям минимизации функционала  по . Затем в окрестности этих значений для уточнения положения минимума можно воспользоваться одним  из известных методов минимизации [6.5, гл.V] (например, наискорейшего спуска, Ньютона, Маркуардта).

Наконец, получив оценки  и , можно, используя (6.11), оценить и -координаты наблюдаемых точек. Из способа задания систем координат (см. рис.6.4)  следует, что  и  должны быть положительными. Этим условием и определяется выбор правильного знака вектора трансляции .

В заключение необходимо сказать, что развитием темы взаимного ориентирования является задача самокалибровки системы камер, целью которой является оценивание как внутренних так и внешних параметров. Не останавливаясь на этой задаче подробно, отметим только, что в системе, состоящей из двух, даже одинаковых, камер, данных для самокалибровки недостаточно. Добавление третьей камеры с теми же внутренними параметрами делает самокалибровку возможной. Подробное исследование этого вопроса можно найти в [6.7].

Отметим, что задача определения взаимного положения камер может иметь и другую трактовку. Предположим, что движущаяся камера непрерывно регистрирует некоторую сцену. Тогда, анализируя последовательность изображений и решая эту задачу, можно определить характер движения камеры в пространстве.