4.2. Алгебраические методы восстановления изображений

Соотношение (4.4) для цифровых изображений фактически представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно . Поэтому задача восстановления исходного изображения  при известной ФРТ  может быть сведена к  решению такой системы.

Удобно представить соотношения (4.3) и (4.4) в матричной форме, используя лексикографическое упорядочивание. Для этого двумерный массив наблюдаемого изображения  размера  преобразуем в  вектор-столбец  размера . Преобразование осуществляется разверткой массива  по строкам. Аналогичным образом преобразуются в  вектор-столбцы ,  и  искаженное при отсутствии шума изображение , исходное изображение  и  шум . Размеры векторов  ,  и  равны . Связь между лексикографически упорядоченными изображениями определяется соотношением

,                       (4.15)

где искаженное изображение

.                     (4.16)

Символ  обозначает прямоугольную матрицу размером , с помощью которой вектор  исходного изображения  преобразуется в искаженное изображение . Матрица  имеет блочную структуру [4.2], элементы которой представляют собой  отсчеты ФРТ. Задачи восстановления изображений алгебраическими методами при наличии и отсутствии шумов наблюдения имеют качественные различия.

Если шумами наблюдения можно пренебречь, то задача восстановления изображения сводится к нахождению оценки (решения)   матричного уравнения (4.16), удовлетворяющей условию

 .                   (4.17)

Если бы  была квадратной матрицей и существовала бы обратная матрица , то, очевидно, что решение системы имело бы вид

.               (4.18)

Однако матричное уравнение (4.16) представляет собой недоопределенную систему линейных алгебраических уравнений, т.к. количество неизвестных  больше числа уравнений  (размеры исходного изображения всегда больше размеров искаженного изображения). Поэтому матрица  является прямоугольной матрицей размером . В этом случае для отыскания решения  используются различные методы псевдообращения матриц, которые описаны в [4.3]. Если недоопределенная система (4.16) разрешима, то она имеет несколько решений. Возникает проблема выбора единственного решения из множества возможных, которое и будет принято в  качестве оценки  . Среди всех возможных решений недоопределенной разрешимой системы (4.16) в качестве оценки  выбирается решение, минимизирующее норму ошибки восстановления

,                (4.19)

где  - символ транспонирования;  - вектор ошибки восстановления. Критерий (4.19) называется критерием наименьших квадратов. Доказано [4.3], что норма ошибки будет минимальной, если оценка

,

где  - обобщенная обратная матрица. В общем случае норма ошибки не равна нулю.

Точное восстановление исходного изображения при отсутствии шумов возможно, во-первых, когда искаженное изображение получено в результате циклической свертки исходного изображения и ФРТ. Во-вторых, когда объекты исходного изображения расположены в центре кадра и наблюдаются на фоне постоянной яркости, причем расстояние от объектов до границ кадра больше апертуры ФРТ. В том и другом случаях число неизвестных будет равно числу уравнений, т.к. объекты, расположенные вне кадра, не будут влиять на яркость наблюдаемого изображения. Иными словами, точное восстановление при отсутствии шума возможно тогда, когда ограничение размеров кадра наблюдаемого изображения не приводит к потере информации об исходном изображении.

Для  искаженных изображений, наблюдаемых в присутствии шумов, к элементам вектора-столбца  добавляются отсчеты вектора-столбца . Это делает систему уравнений, как правило, неразрешимой. Неразрешимость системы означает, что не существует оценки исходного изображения, при которой она перейдет в тождество. Можно найти лишь приближенное решение  неразрешимой системы, которое определяется из условия минимума нормы ошибки  [4.4, 4.5]

.            (4.21)

В этом случае оптимальным оператором (в смысле критерия наименьших квадратов (4.21)), формирующим оценку , также является обобщенная обратная матрица . Причем этот оператор является единственным оператором, обеспечивающим минимум нормы  оценки .

Таким образом, в обоих рассмотренных случаях обобщенное обращение матриц дает оптимальное решение, удовлетворяющее критериям  наименьших квадратов (4.19) или (4.21). Следует подчеркнуть, что, несмотря на одинаковые названия, по сути это два разных критерия. Для разрешимой недоопределенной системы (4.16)) (когда выбирается одно решение из множества возможных) ошибка  равна нулю. В противном случае ошибка  всегда отлична от нуля, т.к. точное решение системы отсутствует.

Основным недостатком алгебраических алгоритмов восстановления изображений является необходимость выполнения трудоемких операций обращения, умножения и транспонирования матриц огромных размеров. Напомним, что размер матрицы  равен произведению числа отсчетов исходного и наблюдаемого изображений. Кроме того, обращение матриц больших размеров представляет собой трудную задачу. Эта задача значительно упрощается, если искаженное изображение формируется из исходного путем циклической свертки с ФРТ. К сожалению, для реальных задач восстановления изображений это условие не выполняется. Альтернативой алгебраическим методам являются методы линейной фильтрации изображений.