12.1. Получение проекций

В основе большинства томографов лежит идея, состоящая в том, что внутреннюю структуру объекта можно представить, получив ряд параллельных поперечных сечений. Поэтому главная задача компьютерной томографии - получить двумерное (плоское) изображение поперечного сечения исследуемого объекта, которая и будет рассмотрена далее.

Метод получения двумерного томографического изображения содержит два этапа. На первом этапе формируются проекционные данные, на втором — по проекционным данным восстанавливается изображение поперечного сечения.

Чтобы определить внутреннюю структуру объекта, необходимо получить информацию о ней. Для этого используют излучение, проникающее сквозь объект. Современные медицинские компьютерные томографы имеют различные типы аппаратной реализации сканирования объектов. В основном это системы с веерным или параллельным пучком. В первом случае лучи расходятся от источника рентгеновского излучения в одной плоскости, но под различными углами, образуя веер. Детекторы излучения располагаются на дуге с другой стороны исследуемого объекта. Этот метод сканирования позволяет регистрировать проекционные данные с большой скоростью, что существенно уменьшает искажения, вызванные движением пациента. Для реализации второго метода необходима линейка излучателей, формирующая параллельные лучи также в одной плоскости. Стоимость такой системы весьма высока. Кроме того, надо проводить калибровку линейки излучателей с целью уменьшения яркостных искажений получаемых томограмм. Однако алгоритмы восстановления томографических изображений по проекционным данным для параллельного пучка проще, чем для веерного. Поэтому далее мы ограничимся рассмотрением именно этих алгоритмов. Подробное описание других методов сканирования и восстановления приведено в работах [12.1, 12.2].

Пусть нам необходимо определить плотность распределения вещества  в сечении объекта. Исследуемый объект в пределах тонкого поперечного слоя просвечивается параллельным пучком хорошо сфокусированных рентгеновских лучей (рис. 12.1.). Направление лучей составляет некоторый угол  с осью . Лучи ослабляются веществом, находящимся внутри объекта, пропорционально его плотности. С противоположной стороны объекта располагается устройство (линейка детекторов), регистрирующее интенсивность каждого луча, прошедшего через объект. При этом полагается, что лучи распространяются в объекте вдоль прямой линии , определяемой уравнением

,                              (12.1)

где  - расстояние от начала координат до соответствующего луча (рис. 12.1). Тогда интенсивность луча на выходе из объекта равна интегралу от искомой функции  вдоль траектории луча :

,                 (12.2)

где траектория  описывается уравнением (12.1);  - дельта-функция. Регистрируемое излучение  называется радоновским образом, а преобразование (12.2) — преобразованием Радона. Далее радоновский образ , вычисленный для фиксированного угла , будем называть проекцией.

Рис. 12.1. Схема получения проекций

Связь между координатами  исходной и  повернутой на угол  прямоугольными системами координат определяется соотношениями [12.3]:

                          (12.3)

Очевидно, что в повернутой на угол  системе координат уравнение прямой (12.1) и соотношение (12.2) имеют вид:

                          (12.4)

.             (12.5)

Следует отметить, что при замене переменных в двойных интегралах, т.е. при переходе от переменных  к переменным , связанных однозначным функциональным преобразованием

подынтегральная функция домножается на модуль якобиана преобразования [12.4]:

.

Очевидно, что якобиан преобразования (12.3) равен 1.

Двумерный интеграл в (12.5) можно свести к одномерному, воспользовавшись фильтрующим свойством дельта-функции:

.                       (12.6)

Проекции  вычисляются под всевозможными углами  и для тех значений , при которых двумерная функция  отлична от нуля. На практике величина  ограничивается физическими размерами исследуемого объекта, а угол  изменяется в пределах от 00 до 1800 , так как при изменении угла на 1800 просвечивание ведется в строго обратном направлении, поэтому

.                           (12.7)

Удобно ввести в рассмотрение окружность радиусом , охватывающую исследуемое поперечное сечение. В этом случае интеграл (12.6) равен:

,              (12.8)

где .

Таким образом, каждое значение радоновского образа  есть интеграл от тех значений функции , которые она принимает вдоль луча , определяемого параметрами  и .

Важно отметить, что аргументы  радоновского образа существенно отличаются от полярной системы координат , которая связана с прямоугольной системой координат  следующими выражениями:

                                    (12.9)

Для полярной системы координат, так же как и для системы координат  справедливо, что функция двух переменных  удовлетворяет условию

,                                       (12.10)

аналогичному (12.7) для радоновских образов.

При задании двумерной функции  в полярных координатах  мы определяем ее значение для любой пары вещественных чисел, которые являются координатами точки на плоскости. Для полярных переменных выполняется условие  при любых значениях углов , и , так как, во-первых, точка  соответствует началу координат, во- вторых, функция , описывающая некоторую физическую величину, может иметь только одно значение в заданной точке на плоскости. Напротив, в общем случае для радоновских образов:  при , так как радоновские образы  и представляют собой интегралы, вычисленные вдоль прямых, проходящих через начало координат под различными углами  и . Поэтому пара вещественных чисел  из области определения радоновских образов не может быть интерпретирована как точка на плоскости в полярных координатах.

Определим связь между пространствами ,  и . С учетом (12.9) уравнение прямой (12.1) в полярных координатах имеет вид

.                             (12.11)

Из (12.11) следует: если луч выходит из начала координат под углом  к оси , то прямая , перпендикулярная этому лучу и проходящая через точку с координатами  (или), находится на расстоянии

                              (12.12)

от начала координат (см. рис. 12.2.а). Таким образом, кривая (12.12) в пространстве является геометрическим местом точек, которому соответствуют прямые, проходящие через точку с координатами  (или). На рис. 12.2, б приведена эта кривая (12.11) для прямых, проходящих через точку с координатами .

В компьютерных томографах проекции вычисляются для конечного числа пар , так как в реальных устройствах технически невозможно получить бесконечное число проекций и измерять интенсивность излучения для всех возможных значений . Поэтому проекционные данные  в практических приложениях представляют собой дискретную функцию двух переменных . Далее мы будем рассматривать случай, когда отсчеты функции берутся с равномерным шагом  и  по соответствующим переменным  и . Положим, что источники излучения образуют параллельный пучок лучей. Число источников и соответственно число лучей равно , а число проекций — , где квадратные скобки  обозначают операцию взятия целой части вещественного числа. Таким образом, проекционные данные на практике представляют собой двумерный массив размером , заданный на прямоугольной сетке, где  - число строк  — число столбцов (рис. 12.3). Томограмма восстанавливается также для дискретных значений пространственных координат . Обычно томограмма вычисляется на прямоугольной равномерной сетке отсчетов, образующих строки и столбцы, причем , где  — шаг дискретизации, одинаковый для пространственных переменных . Проблема выбора параметров , ,  и  будет рассмотрена в разделе 12.5.

Рис. 12.2. Связь между  и -пространствами

Рис. 12.3. Прямоугольная сетка в пространстве

В качестве примера вычислим радоновский образ для двух гауссовских импульсов, описываемых соотношением

.                           (12.13)

На изображении эти импульсы выглядят как окружности, пространственное положение которых задается параметрами  и , а радиус – параметром . Подставляя (12.13) в (12.6), находим [12.5]:

.

Рис. 12.4. Функция (а)  и ее радоновский образ (б)

Функция (12.13) и соответствующий ей радоновский образ изображены на рис. 12.4. На рис. 12.4, б число лучей равно 128, а число проекций — 180. Очевидно, что кривые на рис. 12.4, б представляющие собой радоновские образы гауссовских импульсов, подобны кривой (12.12). Из рис. 12.4 также следует, что функция и радоновский образ совсем не похожи друг на друга. Однако между радоновским образом и функцией, порождающей его, имеется взаимно однозначное соответствие, которое и лежит в основе всех алгоритмов реконструкции томографических изображений.