3.1. Оптимальная линейная фильтрация. Уравнение Винера-Хопфа

Пусть   - значение яркости изображения - полезного сигнала на пересечении -ой строки и  -го столбца, а наблюдаемое на входе фильтра изображение описывается моделью:

.                (3.1)

Здесь   - значение помехи в точке с координатами  ,  - функция, описывающая взаимодействие сигнала и помехи, а  и   - соответственно число строк и столбцов в кадре.

В дальнейшем будем придерживаться принятой при цифровой обработке изображений декартовой системы координат с началом в левом верхнем углу кадра и с положительными направлениями из этой точки вниз и вправо. На рис. 3.1 показаны примеры окрестностей различных типов, изображенные в виде совокупностей точек. Центром окрестностей, рабочей точкой, в которой осуществляется обработка, является точка с координатами  (на рис. 3.1 не зачернена). В зависимости от типа окрестности различают каузальную, некаузальную и полукаузальную фильтрацию изображений.

Понятие каузальности (причинно-следственной зависимости) связывают с соотношением координат текущей точки   и точек, входящих в окрестность. Если обе координаты (номер строки и номер столбца) всех точек окрестности не превышают соответствующих координат текущей точки, то окрестность и использующая ее обработка называются каузальными. Пример такой окрестности представлен на рис. 3.1.а.

Некоторые точки окрестности, приведенной на рис. 3.1.б, удовлетворяют принципу каузальности. Вместе с тем, здесь имеются и такие точки, обе координаты которых превышают соответствующие координаты рабочей точки. Фильтрация, опирающаяся на использование окрестностей с сочетанием таких свойств, называется некаузальной.

Окрестности, показанной на рис. 3.1.в, соответствует полукаузальная фильтрация. Одна из координат всех точек окрестности - в данном примере номер строки - не превышает соответствующей координаты рабочей точки. Вторая же координата - в примере номер столбца - у некоторых точек также не превышает соответствующей координаты рабочей точки. Однако среди точек окрестности имеются и такие, у которых эта вторая координата превышает соответствующую координату рабочей точки.

Смысл, заложенный в данную классификацию, состоит в том, что, согласно принципу причинности, на формирование отклика физически осуществимого фильтра не могут оказывать влияния элементы входного сигнала, не поступившие к моменту формирования выходного отсчета. Этот принцип естественным образом «работает» в динамических системах, где все происходящие в них процессы являются временными процессами. При цифровой обработке изображений часто приходится иметь дело с ранее сформированными изображениями, уже хранящимися в памяти устройства обработки. В этом смысле соотношение координат, строго говоря, уже не играет такой принципиальной причинной роли, как при обработке сигналов в реальном масштабе времени. Вместе с тем, традиционно сложилась описанная выше классификация процедур обработки изображений, которой, в определенной мере, будем придерживаться и мы в последующем изложении.

При линейной фильтрации выходной эффект определяется линейной комбинацией входных данных:

.                 (3.2)

В этом выражении   - результат фильтрации полезного сигнала  в точке кадра с координатами  ; - множество точек (точнее - множество их координат), образующих окрестность;  - весовые коэффициенты, совокупность которых представляет собой  двумерную импульсную характеристику (ИХ). Если область  конечна, то импульсная характеристика имеет конечную длину и фильтр называется КИХ-фильтром. В противном случае импульсная характеристика имеет бесконечную длину, а фильтр название БИХ-фильтра. В выражении (3.2) принято, что ИХ не зависит от координат точки  , в которой определяется выходной эффект. Процедуры обработки изображений, обладающие свойством независимости от координат, называются однородными.

Наиболее распространенным критерием оптимальности, применяемым для оценки качества обработки, является критерий минимума среднего квадрата ошибок. Применительно к фильтрации запишем его выражение в виде:

,             (3.3)

где  - символ математического ожидания. Согласно (3.3) отыскание оптимального фильтра заключается в определении его ИХ таким образом, чтобы средний квадрат ошибки , выражающей различие между сигналом   и оценкой  , формируемой фильтром, был минимальным. Математическое ожидание вычисляется по всем случайным величинам, содержащимся в (3.3), что означает ориентацию критерия на учет средних ошибок.

Оптимизационную задачу (3.3) нетрудно свести к решению уравнения или системы уравнений. Для этого вычислим производную от левой части этого выражения по коэффициенту   и приравняем ее нулю. Учитывая, что операции дифференцирования, суммирования и математического ожидания являются линейными и поэтому перестановочны, приходим к выражению:

.          (3.4)

Входящие в него математические ожидания являются, как нетрудно видеть, отсчетами корреляционных функций, для которых введем следующие обозначения:

,     .

С их учетом (3.4) примет более компактный вид:

                  (3.5)

Считая автокорреляционную   и взаимно корреляционную   функции известными, замечаем, что (3.5) представляет собой линейное относительно искомых коэффициентов   алгебраическое уравнение. Число неизвестных в этом уравнении равняется числу точек    в окрестности   и является конечным в случае КИХ-фильтра и бесконечным при БИХ-фильтрации. Ограничимся в данном параграфе рассмотрением КИХ-фильтрации. Линейное алгебраическое уравнение со многими неизвестными имеет бесконечное множество решений. Если повторить дифференцирование  (3.3)  по остальным   неизвестным, то получим  еще    уравнений, отличающихся друг от друга левыми частями  и коэффициентами   в правых частях, т.к. определяющие их корреляции вычисляются каждый раз в различных точках. В результате образуется система   линейных алгебраических уравнений с  неизвестными, называемая в теории фильтрации уравнением Винера-Хопфа:

                     (3.6)

Если разрешить ее относительно всех  неизвестных   , то будет найдена искомая импульсная характеристика линейного фильтра, минимизирующего средний квадрат ошибок фильтрации.

Определим средний квадрат ошибок оптимальной фильтрации. Для этого необходимо выполнить возведение в квадрат в выражении (3.3) и учесть в полученном выражении уравнение Винера-Хопфа (3.6). В результате нетрудно получить:

,                        (3.7)

где  - средний квадрат ошибок фильтрации.

Остановимся на анализе изменения средней яркости изображения при его фильтрации. Вычислив математическое ожидание от обеих частей (3.2), находим:

,                         (3.8)

где принято, что средняя яркость  входного изображения   не зависит от координат и, как результат, получено, что и средняя яркость   выходного изображения  также постоянна во всех точках кадра. Очень часто при обработке стремятся сохранить среднюю яркость изображения. Как следует из полученного выражения, достичь этого удается при выполнении равенства

,                       (3.9)

которое является дополнительным требованием к импульсной характеристике фильтра. Поэтому оптимизационную задачу (3.3) необходимо решать с учетом данного ограничения типа равенства.

Вместо этого часто перед фильтрацией осуществляют вычитание средней яркости   из входного изображения. Как следует из  (3.8), среднее значение яркости на выходе фильтра при этом также равно нулю независимо от свойств импульсной характеристики. Это позволяет решать систему уравнений  (3.6), игнорируя преобразование средней яркости. Желаемое же ее значение восстанавливается после фильтрации простым прибавлением к выходному эффекту.