3.3. Рекуррентная каузальная фильтрация изображений

Проблема борьбы с шумом не решается полностью применением масочных фильтров по следующим причинам. Во-первых, ограниченность размера окрестности, используемой масочным фильтром, приводит к его потенциально ограниченной способности к подавлению шума. Это проявляется при значительном уровне шума на изображении - в меньшей степени при оптимальном выборе КИХ, сильнее при неоптимальной КИХ. Можно, конечно, увеличивать размер окрестности, прибегая к использованию  КИХ-фильтров с более длинными импульсными характеристиками. Однако при этом усиливается второй недостаток масочного фильтра, состоящий в его и без того достаточно высокой вычислительной трудоемкости.

В настоящее время отсутствуют методы двумерной фильтрации, в которых сочетаются предельно достижимое качество фильтрации и низкие требования к вычислительным ресурсам ЭВМ, реализующей обработку. Существует много подходов к решению данной проблемы, но все они для достижения компромисса между точностью и реализуемостью прибегают к тем или иным приближениям. Рассмотрим один из них [3.1].

Идея заключается в использовании двумерного БИХ-фильтра с таким видом импульсной характеристики, при которой его практическая реализация была бы простой, и с такими параметрами этой импульсной характеристики, при которых эффективность фильтрации приближалась бы к потенциально возможной. Создать фильтр с такими свойствами удается на основе аналогии с одномерным фильтром Калмана.

Наиболее простым примером одномерной фильтрации является калмановская фильтрация однородной стационарной гауссовской последовательности, имеющей корреляционную функцию экспоненциального вида

.

Здесь   - дисперсия последовательности, а  - коэффициент ее одношаговой корреляции, определяемый параметром  , имеющим смысл ширины спектра последовательности. При ее наблюдении на фоне гауссовского белого шума оптимальный каузальный фильтр реализуется рекуррентным алгоритмом, который в стационарном (установившемся) режиме фильтрации имеет вид:

.                     (3.12)

Нетрудно установить, что импульсная характеристика этого фильтра имеет экспоненциальный вид:

,              (3.13)

где   - параметр, лежащий в пределах  , и получивший название коэффициента усиления фильтра Калмана. Первое слагаемое в алгоритме (3.12) определяет вклад в оценку сигнала на текущем -м шаге фильтрации, вносимый оценкой предыдущего шага, и называется одношаговым прогнозом. Второе учитывает влияние текущего наблюдения  и называется новой информацией. Коэффициент усиления  определяет чувствительность фильтра к этой новой информации. При высоком уровне шума параметр    приближается к нулю. При этом, кроме общего снижения ИХ, увеличивается параметр  , приближаясь к единице. Это означает удлинение импульсной характеристики и, следовательно, сужение полосы пропускаемых фильтром частот. Очевидно, эти свойства ИХ способствуют эффективной фильтрации шума. При снижении шума, наоборот,  стремится к единице, - к нулю, что соответствует расширению полосы частот до бесконечности. Здесь уместно отметить, что фильтрация не только ослабляет действие шума, но, к сожалению, и вносит так называемые динамические искажения в полезный сигнал. Механизм этих искажений очень прост и заключается в неравной передаче на выход фильтра различных спектральных компонент сигнала. Фильтр Калмана “ведет себя” вполне разумно, когда при исчезновении шума на входе расширяет полосу пропускаемых частот до бесконечности, поскольку именно при этом условии исчезают и динамические ошибки фильтрации.

Отталкиваясь от (3.13) как от одномерного аналога, будем находить двумерную БИХ для каузальной фильтрации изображений от некоррелированного шума в виде двумерной экспоненты:

  .      (3.14)

Здесь, как и в случае одномерного фильтра,  - коэффициент одношаговой корреляции изображения по строке и по столбцу, которые будем здесь считать одинаковыми. Для определения параметра   (или  ), остающегося единственным неизвестным параметром двумерного фильтра, воспользуемся уравнением Винера-Хопфа в форме (3.4), переписав его в виде: 

.

Замечая, что выражение в круглых скобках является ошибкой фильтрации, представим эту формулу в виде:

.               (3.15)

Смысл данного выражения состоит в том, что при оптимальной линейной фильтрации ошибка ортогональна всем элементам наблюдаемых данных, используемых при фильтрации. Но тогда нетрудно убедиться и в ортогональности ошибки и результата фильтрации (получаемой оценки)

,                   (3.16)

для чего достаточно вычислить левую часть этого выражения с учетом (3.2) и (3.15).

Для дальнейшего необходимо воспользоваться в (3.16) принятым представлением импульсной характеристики (3.14), в результате данное соотношение превращается в уравнение относительно искомого параметра  . В него входят корреляционная функция сигнала и взаимно-корреляционная функция сигнала и наблюдаемых данных. Поэтому необходимо конкретизировать корреляционную функцию сигнала, в качестве которой воспользуемся биэкспоненциальным представлением:

.                    (3.17)

С учетом этого, считая, что кадр имеет бесконечные размеры (это позволяет принять бесконечными соответствующие пределы суммирования в (3.2)), можно получить следующее алгебраическое уравнение

             (3.18)

относительно параметра  , численное решение которого не представляет проблемы. Анализируя (3.18), легко заметить, что при   это уравнение

удовлетворяется при  , а при   его решением является  . Эти предельные значения можно интерпретировать как изменения частотно-полосовых характеристик двумерного фильтра, аналогичные поведению параметров фильтра Калмана в подобных предельных ситуациях.

Подставив в (3.7) выражения ИХ (3.14) и корреляционной функции (3.17), можно получить следующую формулу для среднего квадрата ошибок фильтрации:

.

Подставив далее выражение ИХ (3.14) в (3.2), можно привести выражение отклика фильтра к виду :

.       (3.19)

Рекуррентный характер алгоритма (3.19) является важным положительным качеством рассматриваемого фильтра. Как следует из (3.19), его работа требует выполнения на каждом шаге обработки всего трех операций умножения и трех суммирования, причем структура алгоритма универсальна и, в частности, не зависит от отношения сигнал/шум. Для сравнения, масочный фильтр с размером окрестности  33 элементов требует выполнения на каждом шаге при общем виде КИХ девяти умножений и восьми суммирований. Таким образом, по количеству операций рекуррентный фильтр выигрывает у простейшего масочного практически в три раза. Очевидно, что попытка улучшить качество фильтрации масочным фильтром за счет увеличения размера применяемой окрестности приводит к увеличению числа операций и дальнейшему увеличению его проигрыша по этой характеристике.

При фильтрации реальных изображений ограниченного размера возникает граничная проблема получения оценок в точках нулевой строки и нулевого столбца. Естественным решением является использование здесь обычной (одномерной) калмановской фильтрации.

Пример применения описанного двумерного фильтра показан на рис. 3.3, где представлен результат эксперимента с тем же портретом и при том же отношении сигнал/шум  -5 дБ, что и при испытании масочного фильтра.

Поэтому здесь не приводится показанное на рис.3.2.а входное изображение с шумом. Результат двумерной рекуррентной фильтрации представлен на рис.3.3.а, а на рис.3.3.б для сравнения повторен результат оптимальной масочной фильтрации (рис.3.2.б). Визуальная оценка говорит в пользу двумерного рекуррентного фильтра, поскольку уровень остаточного шума на рис.3.3.а ниже. Сравнение по среднему квадрату ошибок совпадает с субъективной оценкой: величина  при масочной фильтрации составляет, как говорилось ранее, 0.309, а при двумерной рекуррентной - 0.29. Различие заметно усиливается при более высоком уровне шума. Так, при отношении сигнал/шум -10 дБ имеем соответственно   равным 0.57 и 0.43.

Необходимо отметить, однако, следующее. Вместе с уменьшением уровня шума при двумерной рекуррентной фильтрации наблюдается более значительная утрата резкости обработанного изображения. Это является проявлением упоминавшихся выше динамических искажений, более сильных при бесконечной импульсной характеристике, чем при конечной.

Во-вторых, рассмотренный двумерный фильтр не является абсолютно оптимальным, поскольку его структура определена волевым решением при выборе ИХ в виде (3.14). Поэтому и получаемое при его помощи ослабление шума не является предельным.