7.1. Сегментация изображений на основе пороговой обработки

Пороговая обработка, вероятно, самый простой метод сегментации, что привлекает к нему большое внимание специалистов. Метод ориентирован на обработку изображений, отдельные однородные участки которых различаются средней яркостью. Простейшим и вместе с тем часто применяемым видом сегментации является бинарная сегментация, когда имеется только два типа однородных участков. При этом преобразование каждой точки исходного изображения  в выходное  выполняется по правилу:

                 (7.1)

где - единственный параметр обработки, называемый порогом. Уровни выходной яркости  и , могут быть произвольными, они лишь выполняют функции меток, при помощи которых осуществляется разметка получаемой карты - отнесение ее точек к классам  или  соответственно. Если образуемый препарат подготавливается для визуального восприятия, то часто их значения соответствуют уровням черного и белого. Если существует более двух классов, то при пороговой обработке должно быть задано семейство порогов, отделяющих яркости различных классов друг от друга.

Центральным вопросом пороговой сегментации является определение порогов, которое должно выполняться автоматически. Применяемые в настоящее время методы автоматического определения порогов подробно описаны в обзоре [7.1]. Разнообразие методов очень велико, однако в основном они базируются на анализе гистограммы исходного изображения.

Пусть ,  - гистограмма исходного цифрового изображения. Примем, что его диапазон яркостей заключен в пределах от 0 (уровень черного) до 255 (уровень белого). Первоначальная идея гистограммного метода определения порога основывалась на предположении о том, что распределения вероятностей для каждого класса унимодальны (содержат по одному пику), а точки границ, разделяющих участки разных классов на изображении, малочисленны. Этим предположениям должна отвечать гистограмма, которая имеет многомодальный характер. Отдельные моды соответствуют различным классам, а разделяющие их впадины - малочисленным по количеству входящих в них точек граничным областям. Пороги сегментации находятся при этом по положению впадин. Рис. 7.1 иллюстрирует сказанное выше применительно к случаю двух классов. В действительности воспользоваться такими простыми соображениями для выбора порога удается крайне редко. Дело в том, что реальные гистограммы обычно сильно изрезаны, что иллюстрирует приводимый па рис.7.2, в результат эксперимента. Это служит первым препятствием для определения точек минимума. Вторым препятствием является то, что границы между однородными участками на изображении бывают размыты, вследствие чего уровень гистограммы в тех ее частях, которые отображают точки границы, возрастает. Очевидно, это приводит к уменьшению провалов в гистограмме или даже их исчезновению.

Рис.7.1.К выбору порога бинарной сегментации

Один из эффективных путей преодоления этих трудностей состоит и определении порога на основе так называемого дискриминантного критерия. Рассмотрим этот подход применительно к двум классам, поскольку обобщение на случай большего числа классов не составляет принципиальной проблемы. Итак, считаем, что распределение ,построено для изображения, содержащего два типа участков, причем существует оптимальная граница , разделяющая их наилучшим образом в некотором смысле. Для определения оптимального порога строим дискриминантную функцию , , аргумент которой  имеет смысл пробного порога. Его значение, максимизирующее функцию , является оптимальным порогом . Рассмотрим построение дискриминантной функции.

Пусть  - гипотетическое значение порога, разбивающее распределение ,  на два класса. При этом обычно не играет большой роли, к какому из классов будут отнесены точки изображения, имеющие яркость , в силу малочисленности граничных точек, разделяющие участки разных классов. Вероятность того, что наугад взятая точка кадра принадлежит классу , равна

                       (7.2)

Аналогично вероятность ее принадлежности к классу  определяется формулой

                               (7.3)

причем в силу нормировки распределения вероятностей имеет место равенство

Далее считаем, что участок распределения , , ограниченный точкой , описывает часть изображения, принадлежащую , а участок ,  - принадлежащую . Это позволяет ввести в рассмотрение два распределения  и , соответствующих  и , конструируя их из распределения  при помощи выражений:

Здесь делением на вероятности  и  обеспечивается нормировка вводимых условных распределений.

Для образованных таким образом распределений вероятностей могут быть найдены моменты. Выражения для математических ожиданий  и  имеют вид

                                                                     (7.4)

   (7.5)

где  — ненормированное математическое ожидание для ,  — математическое ожидание для всего кадра.

Аналогично, дисперсия дня всего кадра  определяется выражением

                    (7.6)

Для построения дискриминантной функции дополнительно вводим еще один энергетический параметр , называемый межклассовой дисперсией:

(7.7)

Безразмерная дискриминантная функция определяется выражением

                   (7.8)

Оптимальным, как говорилось выше, считается порог, отвечающим требованию

                (7.9)

Поясним смысл критерия (7.9). Знаменатель  в выражении (7.8) является дисперсией всего кадра и, следовательно, от величины пробного порога , разбивающего изображение на классы, не зависит. Поэтому точка максимума выражения (7.8) совпадает с точкой максимума числителя, т.е. определяется характером зависимости межклассовой дисперсии (7.7) от порога . При его стремлении к нулю вероятность , как следует из (7.2), также стремится к нулю. Поскольку при этом все изображение относится к классу , имеет место тенденция . Следовательно, оба слагаемых в (7.7) становятся равными нулю. Это же наблюдается и при другом крайнем значении порога =255. В силу неотрицательности величин, входящих в (7.7) и (7.9), и равенства функции  нулю на краях области определения, внутри этой области существует максимум, абсцисса которого и принимается за оптимальный порог. Следует отметить качественный характер этих соображений. Более детальные исследования показывают, например, что при обработке некоторых изображений дискриминантная функция  имеет несколько максимумов даже при наличии на изображении только двух классов. Это, в частности, проявляется, когда суммарные площади участков, занятых классами  и ,существенно различны. Поэтому задача в общем случае несколько усложняется необходимостью определить абсолютный максимум функции .

С вычислительной точки зрения для выполнения алгоритма необходимо найти для всего изображения математическое ожидание  и дисперсию . Далее при каждом значении  определяются вероятности  и  с использованием (7.2) и (7.3) (или условия нормировки), а также математические ожидания классов  и  при помощи соотношений (7.4), (7.5). Найденные таким образом величины дают возможность определить значение .

Объем вычислений можно сократить, если выполнить некоторые преобразования формулы (7.7) для межклассовой дисперсии. Используя формулы (7.2)...(7.5), нетрудно получить соотношение для математических ожиданий:

             (7.10)

Раскрывая далее в (7.7) квадраты разностей, после преобразований с использованием соотношения (7.10), можно получить:

                               (7.11)

Выражая из (7.10) величину  и подставляя ее в (7.11), окончательно находим:

        (7.12)

В соотношение (7.12), используемое в качестве рабочего, входят лишь две величины - вероятность  и ненормированное математическое ожидание , что существенно уменьшает объем вычислений при автоматическом отыскании оптимального порога.

На рис. 7.2 приведены результаты эксперимента, иллюстрирующие описанный метод автоматической бинарной сегментации. На рис.7.2, а показан аэрофотоснимок участка земной поверхности "Поле", а на рис.7.2, б – результат его бинарной сегментации, выполненной на основе автоматического определения порога при помощи дискриминантного метода. Гистограмма распределения исходного изображения показана на рис.7.2, в, а дискриминантная функция , вычисленная по полученной гистограмме - на рис. 7.2, г. Сильная изрезанность гистограммы, порождающая большое количество минимумов, исключает возможность непосредственного определения единственного информационного минимума, разделяющего классы друг от друга. Функция же  является существенно более гладкой и к тому же в данном случае унимодальной, что делает определение порога весьма простой задачей. Оптимальный порог, при котором получено сегментированное изображение, =100. Результаты показывают, что описанный метод нахождения порога, являясьразвитием   гистограммного подхода, обладает сильным сглаживающим действием по отношению к изрезанности самой гистограммы.

Коснемся вопроса о пороговой сегментации нестационарных изображений. Если средняя яркость изменяется внутри кадра, то пороги сегментации должны быть также изменяющимися. Часто в этих случаях прибегают к разбиению кадра на отдельные области, в пределах которых изменениями средней яркости можно пренебречь. Это позволяет применять внутри отдельных областей принципы определения порогов, пригодные для работы со стационарными изображениями. На обработанном изображении наблюдаются в этом случае области, на которые разбито исходное изображение, отчетливо видны границы между областями. Это – существенный недостаток метода.

Более трудоемка, но и более эффективна процедура, использующая скользящее окно, при которой каждое новое положение рабочей области отличается от предыдущего только на один шаг по строке или по столбцу. Находимый на каждом шаге оптимальный порог относят к центральной точке текущей области. Таким образом, при этом методе порог изменяется в каждой точке кадра, причем эти изменения имеют характер, сопоставимый с характером нестационарности самого изображения. Процедура обработки, конечно, существенно усложняется.

Компромиссной является процедура, при которой вместо скользящего окна с единичным шагом применяют "прыгающее" окно, перемещающееся на каждом этапе обработки на несколько шагов. В "пропущенных" точках кадра порог может определяться с помощью интерполяции (часто применяют простейшую линейную  интерполяцию)  по его найденным значениям в ближайших точках.

а

б

в                                             г

Рис.7.2.Пример бинарной сегментации с автоматическим определением порога

Оценивая результативность пороговой сегментации по рис. 7.2, б, следует отметить, что данный метод дает возможность получить определенное представление о характере однородных областей, образующих наблюдаемый кадр. Вместе с темочевидно его принципиальное несовершенство, вызванное одноточечным характером принимаемых решений. Поэтому в последующих разделах обратимся к статистическим методам, позволяющим учитывать при сегментации геометрические свойства областей – размеры, конфигурацию и т.п. Отметим сразу же, что соответствующие геометрические характеристики задаются при этом своими вероятностными моделями и чаще всего в неявном виде.