ПРОЕКЦИИ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Если  есть -арное нечеткое отношение в , то его проекция (тень) на  есть -арное нечеткое отношение  в , которое определяется следующим образом (ср. с (2.12)):

      (3.57)

где — последовательность индексов ; ; — дополнение ; а

где верхняя грань берется по значениям всех тех , которые входят в . Следует отметить, что если  — обычное (не нечеткое) отношение, то (3.57) сводится к (2.9).

Пример 3.11. Для нечеткого отношения, определенного матрицей отношения (3.54), имеем

и

Ясно, что различные нечеткие отношения в могут иметь идентичные проекции на . Однако для данного нечеткого отношения  в существует единственное наибольшее отношение  в , проекция которого на есть . Из (3.57) следует, что функция принадлежности отношения  имеет вид

                           (3.58)

при этом следует учитывать, что равенство (3.58) справедливо для всех , таких, что -й, …, -й аргументы  равны соответственно первому, второму... -му аргументу . Отсюда следует, что значение функции в точке равно значению этой функции в точке , если только . Исходя из этого будем называть отношение  цилиндрическим продолжением отношения , причем само  является основанием отношения (см. рис. 3.2).

Предположим, что есть -арное отношение в , — его проекция на , а  — цилиндрическое продолжение отношения . Поскольку  —наибольшее отношение в , проекция которого равна , то  удовлетворяет отношению вложенности

                                                          (3.59)

для всех  и, следовательно,

                              (3.60)

для произвольных  (подпоследовательностей индексов из ).

Рис. 3.2. — основание цилиндрического множества .

В частности, если положить , то выражение (3.60) примет вид

                                 (3.61)

где — проекции  на соответственно, a  — их цилиндрические продолжения. Но из определения декартова произведения [см. (3.45)] следует, что

                           (3.62)

откуда вытекает

Предложение 3.12. Если есть -арнoе нечеткое отношение в и  — его проекции на , то (см. рис.3.3)

                                            (3.63)

С помощью понятия цилиндрического продолжения можно дать интуитивную интерпретацию композиции нечетких отношений. Так, предположим, что  и  — бинарные нечеткие отношения в  и соответственно. Пусть  и  — цилиндрические продолжения  и в . Тогда из определения композиции  (см. (3.55)) следует, что

 на .                      (3.64)

Если  и  таковы, что

 на на ,                   (3.65)

то  становится соединением  и . Основное свойство соединения  и  можно сформулировать следующим образом.

Рис. 3.3. Декартово произведение и пересечение цилиндрических множеств.

Предложение 3.13. Если и — нечеткие отношения в и соответственно, а — соединение и , то

 на  ,                         (3.66)

и

 на .                          (3.67)

Таким образом, и  можно восстановить, зная соединение и .

Доказательство. Пусть  и  обозначают функции принадлежности нечетких отношений  и  соответственно. Тогда правые части выражений (3.66) и (3.67) можно записать в виде

                       (3.68)

                         (3.69)

В силу дистрибутивности и коммутативности операций и  (3.68) и (3.69) можно переписать в виде

                        (3.70)

и

                       (3.71)

Более того, из определения соединения следует равенство (3.65) и, значит,

                       (3.72)

Из этого равенства и определения операции  получаем

           (3.73)

и

.           (3.74)

Следовательно,

           (3.75)

и

            (3.76)

что и означает выполнение (3.66) и (3.67). Предложение доказано.

Основное свойство проекций, которое нам понадобится в § 4, следующее.

Предложение 3.14. Если  — нормальное отношение (см. (3.23)), то и каждая из его проекций — нормальное отношение.

Доказательство. Пусть  есть -арное отношение в , и пусть  — его проекция (тень) на , где . Поскольку  нормально, то, согласно (3.23), имеем

,                                                   (3.77)

или в сокращенной записи

С другой стороны, по определению  [см. (3.57)]

или

и, следовательно, высота  равна

          (3.78)

Предложение доказано.