ВЫЧИСЛЕНИЯ С ЛИНГВИСТИЧЕСКИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ

Во многих приложениях теории вероятностей, например, при вычислении средних значений, дисперсий и т. п., часто встречаются линейные комбинации вида ( арифметическая сумма)

,                       (7.26)

где  — действительные числа, а  — значения вероятностей из интервала [0, 1]. Если  — числа из интервала [0, 1], то вычисление значения комбинации  при заданных  и  не представляет труда. Однако оно становится нетривиальным, когда рассматриваемые вероятности являются лингвистическими по своей природе, т. е. когда

,                       (7.27)

где  — такие лингвистические значения вероятностей, как правдоподобно, неправдоподобно, очень правдоподобно, близко к  и т. п. Соответственно  —недействительное число, как в (7.26), а нечеткое подмножество действительной оси, причем функция принадлежности подмножества  зависит от функций принадлежности .

В предположении, что нечеткие переменные  - невзаимодействующие (не считая ограничения (7.15)), ограничение, обусловленное набором , принимает вид (см. (7.16))

.                  (7.28)

Пусть  - функция принадлежности ограничения  и пусть  — функция принадлежности ограничения . Тогда, применяя принцип обобщения (3.90) к (7.26), можно выразить  в виде нечеткого множества ( арифметическая сумма)

,                 (7.29)

которое с учетом (7.28) можно записать как

,                (7.30)

понимая при этом, что  в (7.30) удовлетворяют ограничению

.                                 (7.31)

Таким образом мы можем представить линейную комбинацию значений лингвистических вероятностей нечетким подмножеством действительной оси.

Выражение для  можно записать другим более удобным для вычислений способом. Так, пусть  обозначает функцию принадлежности множества ,  причем . Тогда из (7.30) следует, что

               (7.32)

при ограничениях

,                       (7.33)

.                              (7.34)

В этом случае вычисление  сводится к решению задачи нелинейного программирования с линейными ограничениями. Более точно эту задачу можно сформулировать следующим образом: максимизировать  при следующих ограничениях ( арифметическая сумма):

                                      (7.35)

Пример 7.4. Проиллюстрируем изложенное следующим очень простым примером. Предположим, что

,                           (7.36)

,                      (7.37)

где

                    (7.38)

.                       (7.39)

тогда [см. (7.5)]

.              (7.40)

Предположим, что мы хотим вычислить математическое ожидание ( арифметическая сумма) вида

.                    (7.41)

используя (7.23), получаем

          (7.42)

при ограничениях

                                                       (7.43)

Теперь с учетом (7.40), если , имеем

,                   (7.44)

и, следовательно, (7.42) сводится к

                                      (7.45)

или, в более явной форме,

.                         (7.46)

Из этого результата следует, что нечеткость нашего знания вероятности  приводит к соответствующей нечеткости математического ожидания (см. рис. 7.2)

.

Рис. 7.2. Вычисление лингвистического значения переменной .

Если предположить, что универсальное множество значений вероятности есть, то есть выражение для  можно получить непосредственно, используя принцип обобщения в форме (3.97). В качестве иллюстрации предположим, что

,                         (7.47)

                         (7.48)

( арифметическая сумма)

,                                                                   (7.49)

где символ  используется во избежание путаницы со знаком объединения.

Подставляя (7.47) и (7.48) в (7.49), получаем

    (7.50)

Раскрывая скобки в правой части (7.50), следует иметь в виду ограничение , которое означает, что член вида

               (7.51)

сводится к

    (7.52)

Таким образом, мы получаем

,       (7.53)

т. е. выражение для  как нечеткого подмножества действительной оси .