Правило modus ponens как частный случай композиционного правила вывода

Как мы увидим ниже, правило modus ponens можно рассматривать как частный случай композиционного правила вывода. Чтобы установить эту связь, мы сначала обобщим понятие материальной импликации с пропозициональных переменных на нечеткие множества.

В традиционной логике материальная импликация определяется как логическая связка для пропозициональных переменных. Так, если  и  - пропозициональные переменные, то таблица истинности для , или, что эквивалентно, ЕСЛИ , ТО , записывается в таком виде (см. табл. 6.8):

Таблица 8.4

В обычных рассуждениях, однако, выражение ЕСЛИ , ТО  употребляется в ситуациях, в которых  и  - нечеткие множества (или нечеткие предикаты), а не пропозициональные переменные. Например, в случае высказывания ЕСЛИ Джон болен, ТО Джон капризен, которое можно сокращенно записать как боленкапризен, болен и капризен в сущности - названия нечетких множеств.

То же самое справедливо по отношению к высказыванию ЕСЛИ яблоко красное, ТО яблоко спелое, где красное и спелое играют роль нечетких множеств.

Чтобы обобщить понятие материальной импликации на нечеткие множества, предположим, что  и  - два возможно различных универсальных множества, а ,  и  - нечеткие подмножества ,  и  соответственно. Сначала определим смысл высказывания ЕСЛИ , ТО , ИНАЧЕ  и затем определим ЕСЛИ , ТО  как частный случай высказывания ЕСЛИ , ТО , ИНАЧЕ .

Определение 8.3. Высказывание ЕСЛИ , ТО , ИНАЧЕ  есть бинарное нечеткое отношение в , определяемое следующим образом:

ЕСЛИ , ТО , ИНАЧЕ . (8.23)

То есть если ,  и  - унарные нечеткие отношения в ,  и , тогда ЕСЛИ , ТО , ИНАЧЕ  - бинарное нечеткое отношение в , которое является объединением декартова произведения  и  (см. (3.45)) и декартова произведения отрицания  и .

Далее высказывание ЕСЛИ , ТО  можно рассматривать как частный случай высказывания ЕСЛИ , ТО , ИНАЧЕ  при допущении, что  - полное множество . Таким образом,

ЕСЛИ , ТО  ЕСЛИ , ТО , ИНАЧЕ .                       (8.24)

В сущности это равнозначно интерпретации высказывания ЕСЛИ , ТО  высказыванием ЕСЛИ , ТО , ИНАЧЕ безразлично.

Полезно заметить, что в терминах матриц отношения ,  и  равенство (8.23) можно выразить как сумму попарных произведений, содержащих  и (и  и )в виде вектор-столбца и вектор-строки соответственно. Так,

ЕСЛИ , ТО , ИНАЧЕ .             (8.25)

Пример 8.4. Проиллюстрируем (8.23) и (8.24) следующим примером. Предположим, что

,                   (8.26)

,                   (8.27)

,              (8.28)

.                      (8.29)

Тогда

,                      (8.30)

что можно представить в виде матрицы отношения

ЕСЛИ , ТО , ИНАЧЕ .              (8.31)

Аналогично

или, эквивалентно,

ЕСЛИ , ТО .                       (8.32)

Замечание 8.5. Следует отметить, что в определении высказывания ЕСЛИ , ТО  мы неявно предполагали, что  и  - невзаимодействующие в том смысле, что не существует ограничения, содержащего одновременно базовые переменные  и . Этого не будет в случае обычного (не нечеткого) высказывания ЕСЛИ , ТО , которое можно выразить как ЕСЛИ , ТО  при выполнении ограничения . Если обозначить это ограничение через , отношение, представляющее рассматриваемое высказывание, будет иметь вид

ЕСЛИ , ТО .                  (8.33)

Замечание 8.6. В определении отношения  мы полагали, что ЕСЛИ , ТО  есть частный случай высказывания ЕСЛИ , ТО , ИНАЧЕ  при . Если мы положим  равным  (пустое множество), а не , то правая часть (8.23) сведется к декартову произведению , которое можно интерпретировать как  СПАРЕННОЕ С  (а не  ВЛЕЧЕТ ).

Так, по определению

 СПАРЕННОЕ С                     (8.34)

и, следовательно,

 СПАРЕННОЕ С  плюс  СПАРЕННОЕ С               (8.35)

В общем случае выражение вида

              (8.36)

описывается словами следующим образом:

 СПАРЕННОЕ С , плюс ... плюс  СПАРЕННОЕ С .                     (8.37)

Следует заметить, что выражение типа (8.37) можно использовать для представления нечеткого графика как объединения нечетких точек (см. рис. 8.4). Например, нечеткий график  можно представить в виде

,                 (8.38)

где  и  - точки в  и  соответственно, а «» и «», , представляют собой нечеткие множества с названиями близко к  и близко к  (см. (7.12)).

Рис. 8.4. Представление нечеткого графика как объединения нечетких точек.

Замечание 8.7. Связь между выражением (8.24) и общепринятым определением материальной импликации становится яснее, если учесть, что

,                      (8.39)

и, следовательно, выражение (8.24) можно переписать в виде

ЕСЛИ , ТО .                   (8.40)

Далее, если  - обычное (не нечеткое) подмножество , то

,                 (8.41)

и, следовательно, ЕСЛИ , ТО  сводится к

ЕСЛИ , ТО .                 (8.42)

Это выражение аналогично по форме известному выражению для  в случае пропозициональных переменных, а именно

.                     (8.43)

Переходя к рассмотрению связи между правилом modus ponens и композиционным правилом вывода, определим сначала обобщенное правило modus ponens.

Определение 8.8. Пусть ,  и  - нечеткие подмножества множеств ,  и  соответственно. Предположим, что значение  назначено ограничению , а отношение   (определенное по формуле (8.24)) назначено ограничению , т. е.

,                 (8.44)

.                (8.45)

Как было показано раньше, эти уравнения назначения в отношениях можно разрешить относительно ограничения на  следующим образом:

.                       (8.46)

Выражение этого вывода в форме

и составляет формулировку обобщенного правила modus ponens.

Замечание 8.9. Приведенная формулировка отличается от традиционной формулировки правила modus ponens в двух отношениях: во-первых, здесь допускается, что ,  и  - нечеткие множества, и, во-вторых,  необязательно идентично . Чтобы рассмотреть случай, когда  и  - не нечеткое множество, подставим выражение для  в уравнение (8.46). В результате получим

,                (8.50)

где вместо обозначений строка и столбец употребляются обозначения  и  соответственно;  и  обозначают матрицы отношения для , имеющие вид вектор-строки и вектор-столбца соответственно; произведение матриц понимается как максминное произведение.

Далее, поскольку  - обычное (не нечеткое) множество, то

,              (8.51)

и поскольку  - нормальное множество (см. (3.23)),

.                    (8.52)

Следовательно,

,                   (8.53)

что находится в соответствии с выводом, который получается по правилу modus ponens.

Пример 8.10. Проиллюстрируем (8.49) простым примером. Предположим, что

,                   (8.54)

,                 (8.55)

,                        (8.56)

.              (8.57)

Тогда (см. (2.32))

                   (8.58)

и

             (8.59)

грубым приближением которого может быть более или менее большой. Таким образом, в рассматриваемом случае обобщенное правило modus ponens дает

                  (8.60)

Замечание 8.11. Вследствие определения  в виде

степень принадлежности точки  нечеткому множеству  будет высокой, если мала степень принадлежности  множеству . Это приводит к тому, что если  - нечеткое множество, то множества  и  перекрываются, причем вывод из предпосылок  и  есть не , а

,                      (8.61)

где член  появляется в связи с этим перекрытием.

Чтобы избежать этого явления, возможно придется определить  способом, при котором различаются численные значения истинности из интервала  и такое значение истинности, как неизвестно (см. (6.52)). Следует отметить также, что для высказывания  СПАРЕННЫЙ С  (см. 8.34)), мы имеем

,                  (8.62)

если  - нормальное нечеткое множество.