ЗНАЧЕНИЯ ИСТИННОСТИ

неизвестно и не определено

Среди возможных значений истинности лингвистической переменной Истинность два значения привлекают особое внимание, а именно пустое множество  и единичный интервал , которые соответствуют наименьшему и наибольшему элементам (по отношению включения) решетки нечетких подмножеств интервала . Важность именно этих значений истинности обусловлена тем, что их можно интерпретировать как значения истинности не определено и неизвестно соответственно. Для удобства будем обозначать эти значения истинности символами  и , понимая при этом, что  и  определяются выражениями

                                          (6.51)

и

         (6.52)

Значения неизвестно и не определено, интерпретируемые как степени принадлежности, используются также в представлении нечетких множеств типа 1. В этом случае имеются три возможности выражения степени принадлежности точки  в : 1) число из интервала ; 2)  (не определено); 3)  (неизвестно).

Рассмотрим простой пример. Пусть

.                         (6.53)

Возьмем нечеткое подмножество множества  вида

.               (6.54)

В этом случае степень принадлежности элемента  множеству  есть неизвестно, а степень принадлежности  есть не определено. В более общем случае  может быть

,                 (6.55)

где имеется в виду, что степень принадлежности элемента  множеству  частично неизвестна, причем член  интерпретируется следующим образом:

.                     (6.56)

Важно четко понимать разницу между  и . Когда мы говорим, что степень принадлежности точки  множеству  есть , мы имеем в виду, что функция принадлежности  не определена в точке . Предположим, например, что  — множество действительных чисел, а  — функция, определенная на множестве целых чисел, причем , если  — четное, и  , если  — нечетное. Тогда степень принадлежности числа  множеству  есть , а не 0. С другой стороны, если бы  была определена на множестве действительных чисел и  тогда и только тогда, когда  — четное число, то степень принадлежности числа  множеству  была бы равна 0.

Поскольку мы умеем вычислять значения истинности высказываний и, или и не по заданным лингвистическим значениям истинности высказываний  и , нетрудно вычислить и значения , , , когда . Предположим, например, что

,                                         (6.57)

.                                         (6.58)

Применяя принцип обобщения, как в (6.25), получим

,             (6.59)

где

                                               (6.60)

После упрощения (6.59) сводится к выражению

.                    (6.61)

Другими словами, значение истинности высказывания  и , где , есть нечеткое подмножество интервала , степень принадлежности которому точки  равна  (функции принадлежности ) на интервале .

Рис. 6.4. Конъюнкция и дизъюнкция значений истинности высказывания  со значением истинности неизвестно ().

Аналогично находим, что значение истинности высказывания  или  выражается в виде

.          (6.62)

Следует отметить, что выражения (6.61) и (6.62) легко получить с помощью описанной выше графической процедуры (см. (6.38) и далее). Пример, иллюстрирующий это, показан на рис. 6.4.

Обращаясь к случаю , находим

                    (6.63)

и аналогично для .

Поучительно проследить, что происходит с приведенными выше соотношениями, когда мы применяем их к частному случаю двузначной логики, т. е. к случаю, когда универсальное множество имеет вид

,                  (6.64)

или в более привычном виде

,                (6.65)

где  означает истинный, а  — ложный. Поскольку  есть , мы можем отождествить значение истинности неизвестно со значением истинный или ложный, т. е.

.                 (6.66)

Результирующая логика имеет четыре значения истинности , ,  и  и является обобщением двузначной логики в смысле замечания 6.5.

Поскольку универсальное множество значений истинности состоит лишь из двух элементов, целесообразно построить таблицы истинности для операций ,  и  в этой четырехзначной логике непосредственно, т. е. без использования общих формул (6.25), (6.29) и (6.31). Так, применяя принцип обобщения к операции , сразу получаем

                                                                    (6.67)

                           (6.68)

                   (6.69)

    (6.70)

и поэтому расширенная таблица истинности для операции  имеет следующий вид (см. табл. 6.5).

Таблица 6.5

Выбросив из нее элементы , получим табл. 6.6.

Таблица 6.6.

Аналогично, для операции  получим табл. 6.7

Таблица 6.7

Как и следовало ожидать, эти таблицы согласуются с таблицами истинности для операций  и  в обычной трехзначной логике [46].

Описанный выше подход проливает некоторый свет на определение операции  в двузначной логике — в некотором смысле спорный вопрос, который мотивировал развитие модальной логики [45], [47]. В частности, вместо общепринятого определения связки  мы можем определить ее как связку в трехзначной логике с помощью неполной таблицы истинности (табл. 6.8), которая отражает интуитивно понятную

Таблица 6.8

идею о том, что если  истинно  и  ложно, то значение истинности высказывания  неизвестно. Теперь можно поставить вопрос: как следует заполнить пустые клетки в табл. 6.8, чтобы в результате применения принципа обобщения получить значение (2,3)-го элемента, равное ? Итак, обозначая неизвестные (2,1)-й и (2,2)-й элементы через  и  соответственно, мы должны получить

        (6.71)

откуда с необходимостью следует,  что

.                (6.72)

На этом пути мы приходим к обычному определению связки ⟹ в двузначной логике в виде следующей таблицы истинности:

Как показывает рассмотренный выше пример, понятие значения истинности неизвестно в сочетании с принципом обобщения помогает уяснить некоторые из понятий и соотношений обычных двузначной и трехзначной логик. Эти логики, конечно, можно рассматривать как вырожденные случаи нечеткой логики, в которой значением истинности неизвестно является весь единичный интервал, а не множество 0 + 1.