СЕПАРАБЕЛЬНОСТЬ И НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Определение 4.16. -арное ограничение  сепарабельно тогда и только тогда, когда его можно представить в виде декартова произведения унарных ограничений:

,                    (4.25)

или, что то же самое, как пересечение цилиндрических продолжений [см. (3.62)]:

.                    (4.26)

Следует отметить, что если  — нормально, то нормальны и соответствующие маргинальные ограничения (см. предложение 3.14). Отсюда вытекает, что множества  в выражении (4.25) — маргинальные ограничения, индуцированные ограничением . Действительно, из (4.25) следует, что

,             (4.27)

и поэтому, используя (3.57), получаем

.              (4.28)

В дальнейшем, если не оговорено противное, будем предполагать, что ограничение  нормально.

Пример 4.17. Матрицу отношения ограничения, приведенную ниже, можно представить как максминное произведение вектор-столбца (унарное отношение) и вектор-строки(унарное отношение). Отсюда следует, что ограничение, о котором идет речь, сепарабельно:

Пример 4.18. Ограничения, определенные в примерах 4.8 и 4.9, не сепарабельны.

Прямым следствием сепарабельности является.

Предложение 4.19. Если  сепарабельно, то сепарабельно и любое маргинальное ограничение, индуцированное ограничением .

Следствием соотношения (4.25) является также.

Предложение 4.20. Сепарабельное ограничение  – наибольшее из ограничений, которым соответствуют маргинальные ограничения .

Понятие сепарабельности тесно связано с понятием невзаимодействия нечетких переменных:

Определение 4.21. Нечеткие переменные  являются невзаимодействующими тогда и только тогда, когда ограничение  сепарабельно.

Напомним, что обычные (не нечеткие) переменные  мы называем невзаимодействующими потому (см. (2.18)), что при выполнении равенства

                         (4.29)

-арное уравнение назначения

                       (4.30)

можно представить в виде последовательности  унарных уравнений назначения

                                                      (4.31)

Приведем основное следствие невзаимодействия нечетких переменных, частным случаем которого является разложение (2.19).

Предложение 4.22. Если нечеткие переменные невзаимодействующие, то -арное уравнение назначения (4.30) можно представить в виде последовательности  унарных уравнений назначения (4.31), имея в виду, что если  — совместимость  с , а ,  — совместимость  с , то

.                    (4.32)

Доказательство. Из определений совместимости, невзаимодействия и сепарабельности сразу получаем

                   (4.33)

Предложение доказано.

Замечание 4.23. Продолжая аналогию с саквояжем (см. замечание 4.6), невзаимодействующие нечеткие переменные  можно уподобить  отдельным мягким саквояжам с ярлыками . Ограничение, связанное с саквояжем  характеризуется функцией совместимости . Тогда полная функция совместимости для саквояжей  записывается в виде (4.32) (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Аналогия с саквояжем для невзаимодействующих нечетких переменных.

Замечание 4.24. (См. определение 4.1.) Невзаимодействие переменных подразумевает отсутствие каких бы то ни было ограничений, в которых присутствуют все величины , где  — базовая переменная для , . Например, если связаны ограничением

,

то  — взаимодействующие переменные, т. е. переменные, не являющиеся невзаимодействующими (см. замечание 3.20).

Если  — взаимодействующие переменные, то по-прежнему можно представить -арное уравнение назначения в виде последовательности  унарных уравнений назначения. Однако в этом случае ограничение на  как правило, зависит от значений переменных. Поэтому  уравнений назначения принимают вид (см. (2.21))

                         (4.84)

где  — ограничение на  при фиксированных  (см. определение 4.11).

Пример 4.25. Рассмотрим пример 4.10 и положим ,  и . Тогда

                  (4.35)

так что

                                                  (4.36)

Как и в случае системы (4.31), справедливость системы (4.34) подтверждает

Предложение 4.26. Если  — взаимодействующие нечеткие переменные при ограничении , а ,  — совместимость  с условным ограничением  в (4.34), то

,                     (4.37)

где   — совместимость  с .

Доказательство. По определению условного ограничения [см. (4.20)] имеем для всех ,,

.                     (4.38)

С другой стороны, из определения маргинального ограничения (см. (4.16)) следует, что для всех  и всех  выполнено

            (4.39)

откуда следует, что

           (4.40)

Объединяя (4.40) с определением

,                                    (4.41)

получаем

.                         (4.42)

Предложение доказано.

На этом мы заканчиваем обсуждение некоторых свойств нечетких переменных, имеющих отношение к понятию лингвистической переменной. В следующем параграфе мы сформулируем понятие лингвистической переменной и рассмотрим некоторые ее свойства.