5. ПОНЯТИЕ ЛИНГВИСТИЧЕСКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

При неформальном обсуждении понятия лингвистической переменной в §1 мы сформулировали, что лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что ее значениями являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке. Поскольку слова в общем менее точны, чем числа, понятие лингвистической переменной дает возможность приближенно описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. В частности, нечеткое множество, представляющее собой ограничение, связанное со значениями лингвистической переменной, можно рассматривать как совокупную характеристику различных подклассов элементов универсального множества. В этом смысле роль нечетких множеств аналогична той роли, которую играют слова и предложения в естественном языке. Например, прилагательное красивый отражает комплекс характеристик внешности индивидуума. Это прилагательное можно также рассматривать как название нечеткого множества, представляющего собой ограничение, обусловленное нечеткой переменной красивый. С этой точки зрения термины очень красивый, некрасивый, чрезвычайно красивый, вполне красивый и т. д. — названия нечетких множеств, образованных путем действия модификаторов очень, не, чрезвычайно, вполне и т. п. на нечеткое множество красивый. В сущности эти нечеткие множества вместе с нечетким множеством красивый играют роль значений лингвистической переменной Внешность.

Важным аспектом понятия лингвистической переменной является то, что эта переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная, в том смысле, что значениями лингвистической переменной являются нечеткие переменные. Например, значениями лингвистической переменной Возраст могут быть: молодой, немолодой, старый, очень старый, немолодой и не старый, вполне старый и т. п. Каждое из этих значений является названием нечеткой переменной. Если  — название нечеткой переменной, то ограничение, обусловленное этим названием, можно интерпретировать как смысл нечеткой переменной . Так, если ограничение, обусловленное нечеткой переменной старый, представляет собой нечеткое подмножество множества  вида

,  ,            (5.1)

то это нечеткое множество можно считать смыслом нечеткой переменной старый (рис. 5.1).

Другой важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что лингвистической переменной соответствуют два правила: (1) синтаксическое правило, которое может быть задано в форме грамматики, порождающей названия значений переменной; (2) семантическое правило, которое определяет алгоритмическую процедуру для вычисления смысла каждого значения. Эти правила составляют существенную часть описания структуры лингвистической переменной.

Рис. 5.1. Функции совместимости для значений  и.

Поскольку лингвистическая переменная — переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная, то и ее описание должно быть сложнее данного в определении 4.1 описания нечеткой переменной.

Определение 5.1. Лингвистическая переменная характеризуется набором , в котором  — название переменной;  (или просто ) обозначает терм-множество переменной , т. е. множество названий лингвистических значений переменной , причем каждое из таких значений является нечеткой переменной  со значениями из универсального множества  с базовой переменной ;  — синтаксическое правило (имеющее обычно форму грамматики), порождающее названия  значений переменной , а – семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной  ее смысл , т. е. нечеткое подмножество универсального множества . Конкретное название , порожденное синтаксическим правилом , называется термом. Терм, состоящий из одного слова или нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг с другом, называется атомарным термом. Терм, состоящий из одного или более атомарных термов, называется составным термом. Конкатенация некоторых компонент составного терма является подтермом. Если  — термы в , то  можно представить в виде объединения

                                           (5.2)

При необходимости явно указать на то, что  был порожден грамматикой , будем писать .

Смысл  терма  определяется как ограничение  на базовую переменную , обусловленное нечеткой переменной :

,                                            (5.3)

имея в виду, что  и, следовательно, можно рассматривать как нечеткое подмножество множества , имеющее название . Связь между ее лингвистическим значением и базовой переменной иллюстрируется на рис. 1.3.

Замечание 5.2. Для того чтобы избежать большого количества символов, целесообразно присваивать несколько значений некоторым символам, встречающимся в определении 5.1, полагаясь при этом на контекст для разрешения возможных неопределенностей. В частности:

а) Символ   мы будем часто использовать для обозначения как названия самой переменной, так и общего названия ее значений. Аналогично,  будет обозначать как общее название значений переменной, так и название самой переменной.

б) Будем пользоваться одним и тем же символом для обозначения множества и его названия. Так, символы ,и  будут взаимозаменяемыми, хотя, строго говоря,  как название  (или ) не то же самое, что нечеткое множество . Другими словами, когда мы говорим, что терм  (например, молодой) есть значение переменной  (например, Возраст), то имеем в виду, что действительное значение есть , а  — просто название этого значения.

Пример 5.3. Рассмотрим лингвистическую переменную Возраст, т. е. , и пусть . Лингвистическим значением переменной Возраст может быть, например, старый, причем значение старый является атомарным термом. Другим значением может быть очень старый, т. е. составной терм, в котором старый — атомарный терм, а очень и  старый — подтермы.

Значение более или менее молодой переменной Возраст — составной терм, в котором терм молодой — атомарный, а более или менее — подтерм. Терм-множество переменной Возраст можно записать следующим образом:

                 (5.4)

Здесь каждый терм является названием нечеткой переменной в универсальном множестве . Ограничение, обусловленное термом, скажем , есть смысл лингвистического значения старый. Таким образом, если определяется согласно (5.1), то смысл лингвистического значения старый определяется выражением

,                          (5.5)

или проще (см. замечание 5.2)

.                               (5.6)

Аналогичным образом смысл такого лингвистического значения, как очень старый, можно выразить так (см. рис. 5.1):

.                (5.7)

Уравнение назначения в случае лингвистической переменной принимает вид

,           (5.9)

откуда следует, что смысл, назначенный терму , выражается равенством

.                                                 (5.9)

Другими словами, смысл терма  получается путем применения семантического правила  к значению терма , назначенному согласно правой части уравнения (5.8). Более того, из определения (5.3) следует, что  идентично ограничению, обусловленному термом .

Замечание 5.4. В соответствии с замечанием 5.2(а) уравнение назначения будет обычно записываться в виде

,                                                        (5.10)

а не в форме (5.8). Например, если  , а старый — терм в  мы напишем

,                                                            (5.11)

понимая это так, что старый — ограничение на значения базовой переменной , определяемое (5.1), — назначается лингвистической переменной Возраст. Важно отметить, что знак равенства в (5.10) не обозначает симметрического отношения, как в случае арифметического равенства. Так, бессмысленно записывать (5.11) в виде

.

Чтобы проиллюстрировать понятие лингвистической переменной, мы рассмотрим сначала очень простой пример, в котором  содержит лишь небольшое число термов, а синтаксическое и семантическое правила тривиальны.

Пример 5.5. Рассмотрим лингвистическую переменную Число, конечное терм-множество которой имеет вид

,                    (5.12)

где каждый терм представляет собой ограничение на значения базовой переменной  в универсальном множестве

.                                                           (5.13)

Предполагается, что эти ограничения — нечеткие подмножества множества  и определяются они следующим образом:

,                                (5.14)

,         (5.15)

.                 (5.16)

Таким образом,

    (5.17)

и аналогично для других термов в . Смысл равенства (5.17) в том, что немного есть название нечеткой переменной, которая является значением лингвистической переменной Число. Смысл лингвистического значения немного или, что то же самое, ограничение, обусловленное этим термом, есть нечеткое подмножество универсального множества  и определяется правой частью равенства (5.17).

Чтобы назначить такое значение, как немного, лингвистической переменной Число, мы напишем

.                                                              (5.18)

Пример 5.6. В этом случае мы предполагаем, что имеем дело с составной лингвистической переменной , которой поставлена в соответствие базовая переменная , принимающая значения из универсального множества , где

причем

,  ,                                                 (5.21)

Кроме того, мы предполагаем, что терм-множество переменной  состоит лишь из двух термов:

,             (5.22)

где приближенно равны и более или менее равны — названия бинарных нечетких отношений, определенных матрицами

                 (5.23)

и

                   (5.24)

В этих матрицах отношения -й элемент есть значение совместимости пары  с рассматриваемым ограничением. Например, элемент  в матрице приближенно равны,

равный , есть значение совместимости упорядоченной пары  с бинарным ограничением приближенно равны.

Чтобы назначить значение, скажем, приближенно равны лингвистической переменной , мы напишем

,                                         (5.25)

где, как и в (5.18), имеется в виду, что в качестве значения переменной  назначается бинарное нечеткое отношение приближенно равны, являющееся бинарным ограничением на значения базовой переменной в универсальном множестве (5.20).

Рис. 5.2. Аналогия с саквояжем для лингвистической переменной

Замечание 5.7. Используя аналогию с саквояжем (см. замечание 4.3), лингвистическую переменную в смысле определения 5.1 можно уподобить жесткому саквояжу, в который можно помещать мягкие саквояжи, как показано на рис. 5.2. Мягкий саквояж соответствует нечеткой переменной, которая является лингвистическим значением переменной , а  играет роль ярлыка на мягком саквояже.