ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ В НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКЕ

Чтобы заложить основу для нечеткой логики, необходимо расширить содержание таких логических операций, как отрицание, дизъюнкция, конъюнкция и импликация применительно к высказываниям, которые имеют не числовые, а лингвистические значения истинности. Другими словами, мы должны уметь вычислять значение истинности высказывания  и , зная лингвистические значения истинности высказываний  и . При рассмотрении этой проблемы полезно иметь в виду, что если  — нечеткое подмножество универсального множества  и , то два следующих утверждения эквивалентны:

    (6.6)

Таким образом, вопрос «Что является значением истинности высказывания  и , если заданы лингвистические значения истинности и ?» аналогичен вопросу, который мы поставили в § 3: «Какова степень принадлежности элемента множеству, если заданы степени принадлежности элемента  множествам  и ?»

Чтобы ответить на последний вопрос, мы использовали принцип обобщения. Будем придерживаться той же процедуры для обобщения смысла отрицания не, а также связок и, или и влечет применительно к лингвистическим значениям истинности.

В частности, если  — точка в , представляющая значение истинности высказывания «» (или просто ), где  — элемент универсального множества , то значение истинности высказывания не (или) определяется выражением

.                           (6.7)

Предположим теперь, что  — не точка в , а нечеткое подмножество интервала , представленное в виде

,              (6.8)

где  — точки в , а  — их степени принадлежности множеству . Тогда, применяя принцип обобщения (3.80) к (6.7), получим выражения для  как нечеткого подмножества интервала , т. е.

.           (6.9)

В частности, если значение истинности  есть истинно, т. е.

,                       (6.10)

то значение истинности ложно можно записать в виде

.                    (6.11)

Например, если

,            (6.12)

то значение истинности высказывания не  имеет вид

.

Замечание 6.1. Следует отметить, что если

,                 (6.13)

то согласно (3.33), имеем

,                  (6.14)

Однако если

,                             (6.15)

то

.             (6.16)

То же самое относится и к лингвистическим неопределенностям. Например, согласно определению неопределенности очень (см. (5.38)),

.      (6.17)

С другой стороны, значение истинности высказывания очень  равно

.                (6.18)

Перейдем к бинарным связкам. Пусть  и  — лингвистические значения истинности высказываний  и  соответственно. Для простоты будем пользоваться теми же обозначениями, что и в случае, когда  и – точки в:

,                 (6.19)

,             (6.20)

,                 (6.21)

,                                          (6.22)

имея при этом в виду, что в случае, когда  и  — точки в , операции ,   и  сводятся к операциям min (конъюнкция), max (дизъюнкция) и вычитания из единицы соответственно.

Далее, если  и  — лингвистические значения истинности, заданные выражениями

,                        (6.23)

,                        (6.24)

где  и  — точки в , а  и  — соответствующие им степени принадлежности множествам  и , то, применяя принцип обобщения к , получим

         (6.25)

Таким образом, значение истинности высказывания  и  есть нечеткое подмножество интервала , носитель которого состоит из точек вида

,

с соответствующими степенями принадлежности . Отметим, что выражение (6.25) эквивалентно выражению (3.107) для функции принадлежности пересечения нечетких множеств, имеющих нечеткие функции принадлежности.

Пример 6.2. Предположим, что

                 (6.26)

и

        (6.27)

Тогда, используя (6.25), получаем

                                (6.28)

Аналогично, для значения истинности высказывания  или  получим

     (6.29)

Значение истинности высказывания  зависит от того, как определена связка  для числовых значений истинности. Так, если для случая, когда  и  — точки в , мы положим (см. (8.24))

,              (6.30)

то, применив принцип обобщения, получим (см. замечание 3.20)

          (6.31)

для случая, когда  и  — нечеткие подмножества интервала .

Замечание 6.3. Важно четко понимать разницу между связкой и в терме, скажем, истинный и не очень истинный и символом  в высказывании истинный  не истинный. В первом случае нас интересует смысл терма истинный и не истинный, и связка и определяется отношением

              (6.32)

где  — смысл терма  (см. определение 5.1). Напротив, в случае терма истинный не истинный нас в основном интересует значение истинности высказывания истинный  не истинный, которое получается из равенства (см. (6.19))

.                  (6.33)

Таким образом, в (6.32)символ  обозначает операцию пересечения нечетких множеств, а в (6.33) символ  обозначает операцию конъюнкции. Проиллюстрируем это различие на простом примере. Пусть , а  и  — нечеткие подмножества множества , определяемые следующим образом:

,                       (6.34)

.                           (6.35)

Тогда

,                    (6.36)

в то время как

.                         (6.37)

Отметим, что такое же различие имеет место и в случае отрицания не и операции , как указывалось в замечании 6.1.

Замечание 6.4. Следует отметить, что, применяя принцип обобщения (3.96) к вычислению значений ,  и , мы молчаливо предполагали, что  и  — невзаимодействующие нечеткие переменные в смысле замечания 3.20. Если  и — взаимодействующие переменные, то необходимо применять принцип обобщения не в форме (3.96), а в форме (3.97). Интересно заметить, что вопрос о возможном взаимодействии между  и  возникает даже в том случае, когда  и  — точки в , а не нечеткие переменные.

Замечание 6.5. Применяя принцип обобщения с целью определения операций , ,  и  применительно к лингвистическим значениям истинности, мы в сущности рассматриваем нечеткую логику как обобщение многозначной логики. В таком же смысле можно рассматривать классическую трёхзначную логику как обобщение двузначной логики (см. (6.64)).

Рис. 6.2. Множества уровня значений истинности высказываний  и .

Приведенные выше выражения для ,  и  становятся более ясными, если мы сначала разложим  и  по множествам уровня и затем применим принцип обобщения в форме множеств уровня (см. (3.86)) к операциям , ,  и . Это дает нам простое графическое правило вычисления значений истинности (см. рис. 6.2). Пусть интервалы  и  суть множества -уровня для  и . Тогда, используя обобщения операций ,  и  на интервалы (см. (3.100))

,                         (6.38)

,        (6.39)

,        (6.40)

можно легко найти множества -уровня для ,  и . После того как эти множества уровня найдены, легко определить ,  и , варьируя  от 0 до 1.

В качестве простой иллюстрации рассмотрим определение конъюнкции лингвистических значений истинности  и , функции принадлежности которых имеют вид, показанный на рис. 6.1.

Рис. 6.3. Вычисления значения истинности конъюнкции значений истинный и ложный.

Видно (рис. 6.3), что для всех значений

,               (6.41)

откуда следует, что (см. (3.118))

.                             (6.42)

Таким образом, зная лишь форму функций принадлежности значений истинный и ложный, можно заключить, что

,              (6.43)

что согласуется с (6.25).