3. НЕЧЁТКИЕ МНОЖЕСТВА И ПРИНЦИП ОБОБЩЕНИЯ

Как мы увидим в §4, нечеткая переменная  отличается от переменной в обычном смысле (не нечеткой) тем, что ей соответствует некоторое ограничение , представляющее собой нечеткое подмножество универсального множества. Поэтому, прежде чем приступить к обсуждению понятия нечеткой переменной, рассмотрим некоторые характерные свойства нечетких множеств и сформулируем принцип обобщения, который позволяет расширить область определения преобразования или отношения в , включив в нее наряду с точками из  произвольные нечеткие подмножества множества .

НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ

Нечеткое подмножество  универсального множества  характеризуется функцией принадлежности , которая ставит в соответствие каждому элементу число  из интервала, характеризующее степень принадлежности элемента  подмножеству .

Носителем нечеткого множества  называется множество таких точек в , для которых величина  положительна. Высотой нечеткого множества  называется величина . Точкой перехода нечеткого множества  называется такой элемент множества , степень принадлежности которого множеству  равна .

Пример 3.1. Пусть универсальное множество  представляет собой интервал , и переменная , принимающая значения из этого интервала, интерпретируется как «возраст».

Нечеткое подмножество универсального множества , обозначаемое термином «старый», можно определить функцией принадлежности вида

                   (3.1)

В этом примере носителем нечеткого множества старый является интервал , высота множества старый близка к 1, а точкой перехода является значение .

Чтобы упростить представление нечетких множеств, мы будем использовать следующие обозначения.

Обычное (не нечеткое) конечное множество

                                        (3.2)

будем записывать в виде

                                       (3.3)

или

                                                          (3.4)

где знак  обозначает объединение, а не арифметическое суммирование. Таким образом, запись (3.3) можно рассматривать как представление множества  в виде объединения составляющих его одноточечных множеств.

Обобщая (3.3), нечеткое подмножество универсального множества  будем записывать следующим образом:

                                (3.5)

или

                                                   (3.6)

где   — степень принадлежности элемента  нечеткому множеству . В случаях когда   — числа, может возникнуть двоякое толкование записи , связанное с невозможностью различить компоненты  и . Чтобы избежать этого, будем разделять такие значения  и  чертой:

                 (3.7)

или

                                     (3.8)

Пример 3.2. Пусть , или в принятых обозначениях

                           (3.9)

В этом случае нечеткое подмножество  универсального множества  можно записать в виде

             (3.10)

причем эта запись понимается вполне однозначно. С другой стороны, если

                           (3.11)

то во избежание неопределенностей  следует записать в виде

                         (3.12)

Пример 3.3. Если универсальное множество состоит из чисел от 1 до 10, т. е.

                                  (3.13)

то его нечеткое подмножество, обозначаемое словом несколько, можно определить следующим образом:

   (3.14)

Пример 3.4. В случае счетного универсального множества

                             (3.15)

нечеткое множество, обозначаемое словом малый, можно записать так:

      (3.16)

Подобно записи (3.3), запись (3.5) можно интерпретировать как представление нечеткого множества в виде объединения составляющих его нечетких одноточечных множеств (или ). Из определения операции объединения нечетких множеств [см. (3.34)] следует, что в случае, когда  запись нечеткого множества  можно преобразовать следующим образом:

                                            (3.17)

Так, например, запись

                                   (3.18)

можно преобразовать в

                    (3.19)

Если носитель нечеткого множества  имеет мощность континуума, то будем использовать такую запись:

                                                        (3.20)

имея в виду, что  — степень принадлежности элементамножеству , а знак обозначает объединение нечетких одноточечных множеств .

Пример 3.5. Пусть универсальное множество представляет собой интервал , а переменная , принимающая значения из этого интервала, интерпретируется как возраст. Тогда нечеткое подмножество, определяемое словом старый (функция принадлежности которого дается формулой (3,1)), можно записать как

                    (3.21)

Отметим, что точкой перехода для этого нечеткого множества, т. е. значением , для которого

                                        (3.22)

является .

Будем говорить, что нечеткое множество нормально, если его высота равна единице, т. е.

                                              (3.23)

В противном случае нечеткое подмножество  субнормально. Так, нечеткое множество старый, определяемое формулой (3.21), нормально, нормально и нечеткое множество несколько, определяемое формулой (3.14). С другой стороны, нечеткое подмножество не малое и не большое универсального множества , имеющее вид:

         (3.24)

субнормально. Следует отметить, что субнормальное нечеткое множество можно нормировать, поделив функцию  на величину .

Нечеткое подмножество универсального множества  может быть подмножеством другого нечеткого или обычного подмножества множества . Более точно,  есть подмножество или содержится в  тогда и только тогда, когда  для любого , т. е.

                    (3.25)

Пример 3.6. Если

                                 (3.26)

то .