4. ПОНЯТИЕ НЕЧЕТКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Теперь мы можем обобщить понятия, введенные в § 2, на так называемые нечеткие переменные. Нам будет удобно формализовать понятие нечеткой переменной аналогично тому, как это было сделано в определении 2.1 понятия обычной (не нечеткой) переменной.

Определение 4.1. Нечеткая переменная характеризуется тройкой , где  — название переменной, — универсальное множество (конечное или бесконечное), — общее название элементов множества ,  — нечеткое подмножество множества , представляющее собой нечеткое ограничение на значения переменной , обусловленное. [Как и в случае обычных (не нечетких) переменных, вместо  мы будем, как правило, писать сокращенно, или , где  — общее название значений переменной , и будем называть  ограничением на  или ограничением, обусловленным .] Неограниченная обычная (не нечеткая) переменная  является для базовой переменной.

Уравнение назначения для имеет вид

                                                             (4.1)

и отражает то, что элементу  назначается значение  с учетом ограничения .

Ту степень, с которой удовлетворяется это равенство, будем называть совместимостью значения  с  и обозначать ее через . По определению

,                                       (4.2)

где  — степень принадлежности ограничению.

Замечание 4.2. Важно отметить, что совместимость значения  не есть то же самое, что вероятность значения . Совместимость  с  — это лишь мера того, насколько значение  удовлетворяет ограничению ; она не имеет никакого отношения к тому, насколько вероятно или невероятно это значение.

Замечание 4.3. Используя аналогию с саквояжем (см. замечание 2.4), нечеткую переменную можно уподобить саквояжу с ярлыком, имеющему мягкие стенки. Тогда  — надпись на ярлыке (название саквояжа),  — список предметов, которые в принципе можно поместить в саквояж, а  — часть этого списка, в которой для каждого предмета  указано число, характеризующее степень легкости, с которой предмет  можно поместить в саквояж  (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Аналогия с саквояжем для унарной нечеткой переменной

Чтобы упростить обозначения, удобно использовать один и тот же символ для  и  и положиться на контекст для разрешения возможных неопределенностей. Покажем это на следующем примере.

Пример 4.4. Рассмотрим нечеткую переменную, именуемую бюджет. Пусть , а определяется следующим образом (см. рис. 4.2):

.                     (4.3)

Тогда в уравнении назначения

                                                          (4.4)

совместимость значения  с ограничением равна

.                                               (4.5)

Как и в случае обычных (не нечетких) переменных, если  — нечеткие переменные в  соответственно, то  есть -арная составная переменная в . Соответственно этому в -арном уравнении назначения вида

                                         (4.6)

, – общее название значений переменной,  — общее название элементов множества ;  – -арное нечеткое отношение в , представляющее собой ограничение, обусловленное переменной .

Рис. 4.2. Функция совместимости нечеткой переменной бюджет.

Совместимость  с  определяется так:

,                                         (4.7)

где  — функция принадлежности ограничения на .

Пример 4.5. Предположим, что ;  близость по горизонтали; близость по вертикали; и ограничение на  имеет вид

.                    (4.8)

Тогда совместимость значения  в уравнении назначения

                                             (4.9)

равна

.                                     (4.10)

Замечание 4.6. В аналогии с саквояжем (см. замечание 4.3) -арную составную нечеткую переменную можно уподобить мягкому саквояжу , имеющему  отделений . Функция совместимости  характеризует степень легкости, с которой предметы  можно поместить в соответствующие отделения   одновременно (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Аналогия с саквояжем для бинарной нечеткой переменной.

Основной вопрос, который возникает при рассмотрении -арного уравнения назначения, связан с разложением этого уравнения на последовательность  унарных уравнений назначения, как в (2.21). В случае нечетких переменных процесс разложения несколько более сложен и мы займемся им после того, как определим маргинальные и условные ограничения.