МАРГИНАЛЬНЫЕ И УСЛОВНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ

Подобно вероятностным распределениям, ограничение , обусловленное набором , индуцирует маргинальные ограничения , обусловленные наборами вида , где последовательность индексов  есть подпоследовательность последовательности индексов . В сущности  - минимальное (т. е. наиболее «ограничительное») ограничение, обусловленное набором , которое удовлетворяет импликации

.                        (2.8)

Так, данный набор  есть элемент ограничения  тогда и только тогда, когда существует -набор , -я, …, -я, компоненты которого равны  соответственно. В терминах характеристических функций ограничений  и  это утверждение можно выразить следующим равенством:

,               (2.9)

или более компактно:

 ,                  (2.10)

где  - дополнение последовательности индексов  до ,  - дополнение -набора  до -набора , , а  обозначает операцию взятия  по  из . Всюду в этой работе символы  и  обозначают операции взятия  и  соответственно; так, для любых действительных ,

                 (2.11)

В соответствии с этими обозначениями символ  следует читать как . Так как  может принимать лишь два значения 0 или 1, выражение (2.10) означает, что  тогда и только тогда, когда существует такое , что .

Замечание 2.4. Существует простая аналогия, которая помогает уяснить смысл переменной и связанных с ней понятий. А именно, обычную (не нечеткую) переменную, в смысле определения 2.1, можно уподобить саквояжу с ярлыком, имеющему твердые стенки. В этом случае  соответствует названию, имеющемуся на ярлыке,  - списку предметов, которые в принципе умещаются в саквояже, a  - части этого списка, в которой перечислены предметы, обычно помещаемые в саквояж. (Например, такой предмет, как лодка, не может быть в списке , такой предмет, как пишущая машинка, может быть в , но не быть в , а такой предмет, как пачка сигарет или пара ботинок, может быть в .)

В такой интерпретации уравнение назначения

соответствует тому, что предмет , удовлетворяющий ограничению  (т. е. находящийся в списке предметов, которые помещают в саквояж ), помещен в саквояж  (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Иллюстрация аналогии с саквояжем для унарной обычной (не нечеткой) переменной.

Некоторая -арная составная переменная  соответствует саквояжу с ярлыком , имеющему  отделений, обозначенных , причем перегородки между этими отделениями можно устанавливать по своему усмотрению. Ограничение  соответствует списку из -наборов предметов , таких, что  можно поместить в отделение ,  - в отделение , ... и  - в отделение  одновременно (рис. 2.2). При этом следует учесть, что различные наборы этого списка можно связать с различными расположениями перегородок между отделениями. Например, если , то при заданном положении перегородок мы можем поместить пальто в отделение , а костюм - в отделение , в то время как при другом положении перегородок мы можем поместить пальто в отделение , а коробку с туфлями - в отделение . В этом случае обе пары (пальто, костюм) и (туфли, пальто) окажутся в списке  предметов, которые умещаются в саквояже . В терминах проводимой аналогии с саквояжем -арное уравнение назначения

соответствует помещению предметов  в , … ,  в  одновременно при условии, что -набор предметов  имеется в списке . Более того, маргинальное ограничение вида  можно интерпретировать как список -наборов предметов, которые можно поместить в отделения  одновременно при условии, что в остальные отделения можно при этом поместить любые из допустимых предметов.

Рис. 2.2 Аналогия с саквояжем для бинарной обычной (не нечеткой) переменной.

Замечание 2.5. Следует отметить, что выражение (2.9) аналогично выражению для маргинального распределения вероятностей, при этом символ  соответствует операции суммирования (или интегрирования). Однако эту аналогию не следует истолковывать так, что  - действительно маргинальное распределение вероятностей.

Правую часть уравнения (2.9) удобно рассматривать как характеристическую функцию проекции отношения  на . Таким образом,

 на ,                      (2.12)

или сокращенно

,

где  обозначает операцию проектирования на , .

Пример 2.6. Для примера 2.3 получаем

Пример 2.7. На рис. 2.3 показаны ограничения на  и , индуцированные ограничением .

Рис. 2.3. Маргинальные ограничения, индуцированные ограничением .

Другой способ описания проекций состоит в следующем. Будем рассматривать ограничение  как отношение в , и пусть  - дополнительная к  последовательность индексов. Пусть , или в более компактной записи  - ограничение в  при условии . Характеристическая функция этого условного ограничения определяется выражением

,               (2.13)

или сокращенно [см. (2.10)]

,

причем аргументы  входят в правую часть этого выражения как параметры. Тогда, несмотря на то, что характеристическая функция условного ограничения численно равна характеристической функции ограничения , она определяет отношение в , а не в .

Учитывая (2.9), (2.12) и (2.13), проекцию  на  можно записать в виде

,               (2.14)

причем знак  обозначает объединение семейства ограничений , где  - набор параметров. Следовательно, (2.14) означает, что маргинальное ограничение  в  можно выразить как объединение условных ограничений , т. е.

,                 (2.15)

или сокращенно

.

Пример 2.8. Пусть , и пусть отношение  характеризуется следующей матрицей. (В этой матрице элемент  равен 1 тогда и только тогда, когда упорядоченная пара (-й элемент из , -й элемент из ) принадлежит . В сущности матрица отношения  представляет собой таблицу значений характеристической функции .)

В этом случае

и, следовательно,

.